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第四節(jié) 合情推理與演繹推理
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)一 歸 納 推 理
1．歸納推理是每年高考的?？純?nèi)容，題型多為選擇題和填空題，難度稍大，屬中高檔題．
2．高考對(duì)歸納推理的考查常有以下幾個(gè)命題角度：
(1)歸納推理與等式或不等式“共舞”問題；
(2)歸納推理與數(shù)列“牽手”問題；
(3)歸納推理與圖形變化“相融”問題．
[例1] (1)(2013陜西高考)觀察下列等式：
12＝1，
12－22＝－3，
12－22＋32＝6，
12－22＋32－42＝－10，
……
照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為____
2、____．
(2)(2013湖北高考)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第n個(gè)三角形數(shù)為＝n2＋n.記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：
三角形數(shù) N(n,3)＝n2＋n，
正方形數(shù) N(n,4)＝n2，
五邊形數(shù) N(n,5)＝n2－n，
六邊形數(shù) N(n,6)＝2n2－n，
……
可以推測(cè)N(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)＝________.
(3)(2014青島模擬)某種平面分形圖如下圖所示，一級(jí)分形圖是由一點(diǎn)出發(fā)的三條線段，長(zhǎng)度均為1，兩兩夾角為120；二級(jí)分形圖是
3、在一級(jí)分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長(zhǎng)度為原來的線段，且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120，…，依此規(guī)律得到n級(jí)分形圖．
一級(jí)分形圖 二級(jí)分形圖 三級(jí)分形圖
①n級(jí)分形圖中共有________條線段；
②n級(jí)分形圖中所有線段長(zhǎng)度之和為________．
[自主解答] (1)觀察規(guī)律可知，第n個(gè)式子為12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.
(2)N(n，k)＝akn2＋bkn(k≥3)，其中數(shù)列{ak}是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；數(shù)列{bk}是以為首項(xiàng)，－為公差的等差數(shù)列．所以N(n,24)＝11n2－10n，當(dāng)
4、n＝10時(shí)，N(10，24)＝11102－1010＝1 000.
(3)①分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條線段，由題圖知，一級(jí)分形圖有3＝(32－3)條線段，二級(jí)分形圖有9＝(322－3)條線段，三級(jí)分形圖中有21＝(323－3)條線段，按此規(guī)律n級(jí)分形圖中的線段條數(shù)an＝(32n－3)(n∈N*)．
②分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長(zhǎng)度為原來的線段，∴n級(jí)分形圖中第n級(jí)的所有線段的長(zhǎng)度為bn＝3n－1(n∈N*)，∴n級(jí)分形圖中所有線段長(zhǎng)度之和為Sn＝30＋31＋…＋3n－1＝3＝9－9n.
[答案] (1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1 (2
5、)1 000 (3)①32n－3?、?－9n
歸納推理問題的常見類型及解題策略
(1)與等式或不等式“共舞”問題．觀察所給的幾個(gè)等式或不等式兩邊式子的特點(diǎn)，注意是縱向看，發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律．
(2)與數(shù)列“牽手”問題．先求出幾個(gè)特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包含的范圍，從而由特殊的結(jié)論推廣到一般結(jié)論．
(3)與圖形變化“相融”問題．合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡裕?
1．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x>0)，觀察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝
6、f(f3(x))＝，
……
根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：
當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
解析：根據(jù)題意知，分子都是x，分母中的常數(shù)項(xiàng)依次是2,4,8,16，…，可知fn(x)的分母中常數(shù)項(xiàng)為2n，分母中x的系數(shù)為2n－1，故fn(x)＝f(fn－1(x))＝.
答案：
2．(2014溫州模擬)如圖的倒三角形數(shù)陣滿足：①第1行的n個(gè)數(shù)，分別是1,3,5，…，2n－1；②從第2行起，各行中的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和；③數(shù)陣共有n行．當(dāng)n＝2 012時(shí)，第32行的第17個(gè)數(shù)是________．
[來源:]
解析：每行的第1個(gè)數(shù)
7、分別是1,4,12,32，…，記為數(shù)列{an}，它的通項(xiàng)公式為an＝n2n－1，則第32行的第1個(gè)數(shù)為a32＝32232－1＝236，而在第32行的各個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且公差為232，所以第17個(gè)數(shù)是236＋(17－1)232＝236＋24232＝2236＝237.[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
答案：237
3．仔細(xì)觀察下面○和●的排列規(guī)律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……，若依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的○和●，那么在前120個(gè)○和●中，●的個(gè)數(shù)是________．
解析：進(jìn)行分組○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……
8、，則前n組兩種圈的總數(shù)是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.
答案：14
考點(diǎn)二
類 比 推 理
[例2]如圖所示，面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長(zhǎng)記為ai(i＝1,2,3,4)，此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到第i條邊的距離記為hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，則1h1＋2h2＋3h3＋4h4＝.類比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的第i個(gè)面的面積記為Si(i＝1,2,3,4)，此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)Q到第i個(gè)面的距離記為Hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，則H1＋2H2＋3H3＋4H4值為( )[來源:]
9、
A. B. C. D.[來源:]
[自主解答]
在平面凸四邊形中，連接P點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)，將其分成四個(gè)小三角形，根據(jù)三角形面積公式，得
S＝(a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4)＝(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4)
＝(h1＋2h2＋3h3＋4h4)．所以h1＋2h2＋3h3＋4h4＝.
類似地，連接Q點(diǎn)與三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)，將其分成四個(gè)小三棱錐，則有
V＝(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4)＝(kH1＋2kH2＋3kH3＋4kH4)＝(H1＋2H2＋3H3＋4H4)，
所以H
10、1＋2H2＋3H3＋4H4＝.
[答案] B
【方法規(guī)律】[來源:]
類比推理的一般步驟
(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性．
(2)用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想)．
已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，則am＋n＝.類比等差數(shù)列{an}的上述結(jié)論，對(duì)于等比數(shù)列{bn}(bn>0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，則可以得到bm＋n＝________.
解析：法一：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d1，則d1＝＝.所以am＋n＝am＋nd1＝a＋n＝.類比推導(dǎo)方法可知：
11、設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q，由bn＝bmqn－m，可知d＝cqn－m，所以q＝，所以bm＋n＝bmqn＝c＝.
法二：(直接類比)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d1，數(shù)列{bn}的公比為q，因?yàn)榈炔顢?shù)列中an＝a1＋(n－1)d1，等比數(shù)列中bn＝b1qn－1，因?yàn)閍m＋n＝，所以bm＋n＝.
答案：
考點(diǎn)三
演 繹 推 理
[例3] 已知函數(shù)f(x)＝＋bx，其中a>0，b>0，x∈(0，＋∞)，試確定f(x)的單調(diào)區(qū)間，并證明在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上的增減性．
[自主解答] 設(shè)00，b>0，
12、∴x2－x1>0,0b，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在上是減函數(shù)；
當(dāng)x2>x1≥ >0時(shí)，x2－x1>0，x1x2>，
13、意x∈R，有－x∈R，并且f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．
(2)f(x)在R上單調(diào)遞增，證明如下：
任取x1，x2∈R，并且x1>x2，
f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
∵x1>x2，∴2x1>2x2>0，即2x1－2x2>0.
又∵2x1＋1>0,2x2＋1>0，∴>0.
∴f(x1)>f(x2)．∴f(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)．
———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個(gè)區(qū)別——合情推理與演繹推理的區(qū)別
(1)歸納是由特殊到一般的推理；
(2)類比是由特殊到特殊的推理；
(3)演繹推理是由一般到
14、特殊的推理；
(4)從推理的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待證明；若大前提和小前提正確，則演繹推理得到的結(jié)論一定正確．
2個(gè)步驟——?dú)w納推理與類比推理的步驟
(1)歸納推理的一般步驟：
→→
(2)類比推理的一般步驟：
→→
3個(gè)注意點(diǎn)——應(yīng)用合情推理與演繹推理應(yīng)注意的問題
(1)在進(jìn)行類比推理時(shí)要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象迷惑，如果只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象的相似甚至假象就去類比，那么就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤．
(2)合情推理是從已知的結(jié)論推測(cè)未知的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過進(jìn)一步嚴(yán)格證明．
(3)演繹推理是由一般到特殊的推理，它常用來證明和推理數(shù)學(xué)問題，注意推理過程的嚴(yán)密性，書寫格式的規(guī)范性．
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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第九章 ：第四節(jié)合情推理與演繹推理突破熱點(diǎn)題型
