高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第十章 ：第一節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理突破熱點(diǎn)題型

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1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△ 第一節(jié)　分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 [來源:] 考點(diǎn)一 分類加法計(jì)數(shù)原理 　[來源:] [例1]　(1)若x，y∈N*，且x＋y≤6，則有序自然數(shù)對(duì)(x，y)共有________個(gè)． (2)在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為________． [自主解答]　(1)因?yàn)閤，y∈N*，且x＋y≤6. 所以當(dāng)x＝1時(shí)，y有5個(gè)不同的值； 當(dāng)x＝2時(shí)，y有4個(gè)不同的值； 當(dāng)x＝3時(shí)，y有3個(gè)不同的值； 當(dāng)x＝4時(shí)，y有2個(gè)不同的值； 當(dāng)x＝5時(shí)，y有1個(gè)不同的值． 由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有5＋4＋3＋

2、2＋1＝15個(gè)符合條件的有序自然數(shù)對(duì)． (2)當(dāng)個(gè)位數(shù)為2時(shí)，十位數(shù)只能取1；當(dāng)個(gè)位數(shù)為3時(shí)，十位數(shù)有2種取法；當(dāng)個(gè)位數(shù)取4時(shí)，十位數(shù)有3種取法；…；當(dāng)個(gè)位數(shù)為9時(shí)，十位數(shù)有8種取法．依分類加法計(jì)數(shù)原理知：共有1＋2＋…＋8＝36個(gè)符合條件的兩位數(shù)． [答案]　(1)15　(2)36 【互動(dòng)探究】 本例(2)中的條件不變，求個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)且為偶數(shù)的個(gè)數(shù)． 解：當(dāng)個(gè)位數(shù)字是8時(shí)，十位數(shù)字取9，只有1個(gè)； 當(dāng)個(gè)位數(shù)字是6時(shí)，十位數(shù)字可取7,8,9，共3個(gè)； 當(dāng)個(gè)位數(shù)字是4時(shí)，十位數(shù)字可取5,6,7,8,9，共5個(gè)． 同理可知； 當(dāng)個(gè)位數(shù)字是2時(shí)，共7個(gè)； 當(dāng)個(gè)位數(shù)

3、字是0時(shí)，共9個(gè)． 由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有1＋3＋5＋7＋9＝25個(gè)符合條件的兩位數(shù)．　　　　　 【方法規(guī)律】 1．分類加法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn) (1)根據(jù)問題的特點(diǎn)能確定一個(gè)適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)． (2)完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類． 2．使用分類加法計(jì)數(shù)原理遵循的原則 有時(shí)分類的劃分標(biāo)準(zhǔn)有多個(gè)，但不論是以哪一個(gè)為標(biāo)準(zhǔn)，都應(yīng)遵循“標(biāo)準(zhǔn)要明確，不重不漏”的原則． 1．從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 解析：選D　法一：①公

4、比為2時(shí)，等比數(shù)列可為1,2,4；2,4,8；②公比為3時(shí)，等比數(shù)列可為1,3,9；③公比為時(shí)，等比數(shù)列可為4,6,9，又4,2,1和8,4,2；9,3,1；9,6,4也是等比數(shù)列，所以共8個(gè)． 法二：①當(dāng)q>1時(shí)，分別以1,2,4為首項(xiàng)的有1,2,4；1,3,9；2,4,8；4,6,9.②當(dāng)0m，n有

5、6種選擇； 第2類：m＝2時(shí)，使n>m，n有5種選擇； 第3類：m＝3時(shí)，使n>m，n有4種選擇； 第4類：m＝4時(shí)，使n>m，n有3種選擇； 第5類：m＝5時(shí)，使n>m，n有2種選擇． 由分類加法計(jì)數(shù)原理，符合條件的橢圓共有20個(gè)． 答案：20 考點(diǎn)二 分步乘法計(jì)數(shù)原理 　 　 [例2]　已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的點(diǎn)，則 (1)P可表示平面上________個(gè)不同的點(diǎn)． (2)P可表示平面上________個(gè)第二象限的點(diǎn)． [自主解答]　(1)確定平面上的點(diǎn)P(a，b)可分兩步完成： 第1步，確定a的值，共

6、有6種確定方法； 第2步，確定b的值，也有6種確定方法． 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到平面上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是66＝36. (2)確定第二象限的點(diǎn)，可分兩步完成： 第1步，確定a，由于a<0，所以有3種確定方法； 第2步，確定b，由于b>0，所以有2種確定方法． 由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到第二象限的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是32＝6. [答案]　(1)36　(2)6 【方法規(guī)律】 利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題時(shí)要注意 (1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即考慮分步的先后順序． (2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這個(gè)事件． (3)對(duì)完成各步的方法數(shù)要準(zhǔn)確確定．[來源:

7、] 1．從－1,0,1,2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，則可組成________個(gè)不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有________個(gè)(用數(shù)字作答)． 解析：一個(gè)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有332＝18個(gè)二次函數(shù)．若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b＝0，同上可知共有32＝6個(gè)偶函數(shù)． 答案：18　6 2. 如圖所示，某電子器件由3個(gè)電阻串聯(lián)而成，形成回路，其中有6個(gè)焊接點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果焊接點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就會(huì)不通．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通了，那么焊接點(diǎn)脫落的 可能情況

8、共有________種． 解析：電路不通可能是一個(gè)或多個(gè)焊接點(diǎn)脫落，問題比較復(fù)雜．但電路通的情況卻只有一種，即各焊接點(diǎn)全未脫落．因?yàn)槊總€(gè)焊接點(diǎn)都有脫落與未脫落兩種情況，而只要有一個(gè)焊接點(diǎn)脫落，則電路就不通，故共有26－1＝63種可能情況． 答案：63 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)三 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 　 1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題． 2．高考對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的考查主要有以下幾個(gè)命題角度： (1)與數(shù)字有關(guān)的問題； (2)涂色問題． [例3]　(1)(2013福建高考)滿足a，

9、b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為(　　) A．14 B．13 C．12 D．10 (2)(2014煙臺(tái)模擬) 如圖所示，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給該地區(qū)的地圖涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則涂色方法共有________種． [自主解答]　(1)當(dāng)a＝0時(shí)，關(guān)于x的方程為2x＋b＝0，此時(shí)有序數(shù)對(duì)(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均滿足要求； 當(dāng)a≠0時(shí)，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此時(shí)滿足要求的有序數(shù)對(duì)為(－1，－1)，(－1,0)，

10、(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)． 綜上，共有13個(gè)滿足要求的有序數(shù)對(duì)． (2)因?yàn)閰^(qū)域1與其他4個(gè)區(qū)域都相鄰，首先考慮區(qū)域1，有4種涂法，然后再按區(qū)域2,4同色和不同色，分為兩類： 第1類，區(qū)域2,4同色，有3種涂法，此時(shí)區(qū)域3,5均有2種涂法，共有4322＝48種涂法； 第2類，區(qū)域2,4不同色，先涂區(qū)域2，有3種方法，再涂區(qū)域4，有2種方法，此時(shí)區(qū)域3,5都只有1種涂法，共有43211＝24種涂法． 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有48＋24＝72種滿足條件的涂色方法． [答案]　(1)B　(2)72 與兩個(gè)計(jì)數(shù)原

11、理有關(guān)問題的常見類型及解題策略 (1)與數(shù)字有關(guān)的問題．可分類解決，每類中又可分步完成；也可以直接分步解決； (2)涂色問題．可按顏色的種數(shù)分類完成；也可以按不同的區(qū)域分步完成． 1．(2014遵義模擬)某公司新招聘進(jìn)8名員工，平均分給下屬的甲、乙兩個(gè)部門，其中兩名英語翻譯人員不能分給同一個(gè)部門；另三名電腦編程人員也不能分給同一個(gè)部門．則不同的分配方案有(　　) A．36種 B．38種 C．108種 D．114種 解析：選A　分兩步完成，第一步分組有CCC種方法；第二步分配到兩個(gè)部門有A種方法．由分步乘法原理得：共有CCCA＝36種分配方案． 2．如圖所示，將四棱

12、錐S ABCD的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法共有________種(以數(shù)字作答)． 解析：由題設(shè)，四棱錐S ABCD的頂點(diǎn)S，A，B所染的顏色互不相同，它們共有543＝60種染色方法． 當(dāng)S，A，B染好時(shí)，不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法．可見，當(dāng)S，A，B已染好時(shí)，C，D還有7種染法，故有607＝420種不同的染色方法． 答案：420 ———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————

13、— 2個(gè)區(qū)別——兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別 分類加法計(jì)數(shù)原理 分步乘法計(jì)數(shù)原理 區(qū)別一 每類辦法都能獨(dú)立完成這件事．它是獨(dú)立的、一次的且每次得到的是最后的結(jié)果，只需一種方法就完成 每一步得到的只是其中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，缺少任何一步都不可，只有各步驟都完成了才能完成這件事 區(qū)別二 各類辦法之間是互斥的，并列的，獨(dú)立的 各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)，也不能遺漏 3個(gè)注意點(diǎn)——利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn) 　(1)當(dāng)題目無從下手時(shí)，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事，然后給出完成這件事的一種或幾種方法，從這幾種方法中歸納出解題方法； (2)分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏，有時(shí)要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律； (3)復(fù)雜問題一般是先分類再分步． 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品