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1、
課時(shí)作業(yè)43 空間幾何體的表面積與體積
一、選擇題
1．如圖是某一幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的體積為( )
A．4 B．8
C．16 D．20
解析：由三視圖知，此幾何體是一個(gè)三棱錐，底面為一邊長(zhǎng)為6，高為2的三角形，三棱錐的高為4，所以體積為V＝624＝8.故選B.
答案：B
2．(20xx黃岡中學(xué)月考)某空間組合體的三視圖如圖所示，則該組合體的體積為( )
A．48 B．56
C．64 D．72
解析：該組合體由兩個(gè)棱柱組成，上面的棱柱體積為245＝40，下面的棱柱體積為461＝24，故組合體的體積為64.故選C.
答案：C
2、
3．以邊長(zhǎng)為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于( )
A．2π B．π
C．2 D．1
解析：以邊長(zhǎng)為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所得的圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為1.故側(cè)面積為2πrl＝2π11＝2π.
答案：A
4．如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為( )
A. B.
C. D.
解析：在△ABC中，BC邊上的高為，即棱錐A－BB1C1的高為，又S△BB1C1＝，所以VB1－ABC1＝VA－BB1C1＝＝.
答案：A
3、5．(20xx江西九江一模)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形邊長(zhǎng)為1，粗線是一個(gè)棱錐的三視圖，則此棱錐的表面積為( )
A．6＋4＋2 B．8＋4
C．6＋6 D．6＋2＋4
解析：直觀圖是四棱錐P－ABCD，如圖所示，S△PAB＝S△PAD＝S△PDC＝22＝2，S△PBC＝22sin60＝2，S四邊形ABCD＝22＝4，因此所求棱錐的表面積為6＋4＋2.故選A.
答案：A
6．(20xx河南洛陽(yáng)測(cè)試)已知點(diǎn)A，B，C，D均在球O上，AB＝BC＝，AC＝3，若三棱錐D－ABC體積的最大值為，則球O的表面積為( )
A．36π B．16π
C．12π D.π
4、解析：由題意可得，∠ABC＝，△ABC的外接圓半徑r＝，當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí)，VD－ABC＝S△ABCh(h為點(diǎn)D到底面ABC的距離)?＝h?h＝3，設(shè)R為球O的半徑，則(3－R)2＝R2－r2?R＝2.故球O的表面積為4π22＝16π.
答案：B
二、填空題
7．(20xx北京卷)某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為_(kāi)_______．
解析：通過(guò)俯視圖可知該四棱柱的底面為等腰梯形，則四棱柱的底面積S＝＝，通過(guò)側(cè)(左)視圖可知四棱柱的高h(yuǎn)＝1，所以該四棱柱的體積V＝Sh＝.
答案：
8．(20xx浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是_
5、_______cm2，體積是________cm3.
解析：
將三視圖還原成直觀圖如圖所示，它由2個(gè)長(zhǎng)方體組合而成，其體積V＝2224＝32 cm3，表面積為624＋622＝72 cm2.
答案：32 72
9．一個(gè)圓錐過(guò)軸的截面為等邊三角形，它的頂點(diǎn)和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的體積與球O的體積的比值為_(kāi)_______．
解析：設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2a，
則V圓錐＝πa2a＝πa3；
又R2＝a2＋(a－R)2，所以R＝a，
故V球＝3＝a3，
則其體積比為.
答案：
三、解答題
10．一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位：m)
(1)試畫(huà)出它
6、的直觀圖；
(2)求它的表面積和體積．
解：解：(1)直觀圖如圖所示．
(2)由三視圖可知該幾何體是長(zhǎng)方體被截去一個(gè)三棱柱，且該幾何體的體積是以A1A，A1D1，A1B1為棱的長(zhǎng)方體的體積的，
在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，則四邊形AA1EB是正方形，AA1＝BE＝1，
在Rt△BEB1中，BE＝1，EB1＝1，
所以BB1＝.
所以幾何體的表面積S＝S正方形ABCD＋S矩形A1B1C1D1＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形AA1D1D＝1＋21＋2(1＋2)1＋1＋1＝(7＋)(m2)．
所以幾何體的體積V＝121＝(m3)．
所
7、以該幾何體的表面積為(7＋)m2，體積為m3.
11．(20xx新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅲ)如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn)．
(Ⅰ)證明MN∥平面PAB；
(Ⅱ)求四面體N－BCM的體積．
解：(Ⅰ)由已知得AM＝AD＝2.
取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC的中點(diǎn)知TN∥BC，TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT.
因?yàn)锳T?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB.
(Ⅱ)因?yàn)镻A⊥平面ABCD
8、，N為PC的中點(diǎn)，所以N到平面ABCD的距離為PA.
取BC的中點(diǎn)E，連接AE，由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝.
由AM∥BC得M到BC的距離為，故S△BCM＝4＝2.
所以四面體N－BCM的體積
VN－BCM＝S△BCM＝.
1．(20xx新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是( )
A．4π B.
C．6π D.
解析：由題意可得若V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若與三個(gè)側(cè)面都相切，可求得球的半徑為2，球的直徑為4，超過(guò)直三棱柱的高，所以這個(gè)球放不進(jìn)去，
9、則球可與上下底面相切，此時(shí)球的半徑R＝，該球的體積最大，Vmax＝πR3＝＝.
答案：B
2．(20xx云南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三適應(yīng)性考試)已知三棱錐O－ABC的頂點(diǎn)A，B，C都在半徑為2的球面上，O是球心，∠AOB＝120，當(dāng)△AOC與△BOC的面積之和最大時(shí)，三棱錐O－ABC的體積為( )
A. B.
C. D.
解析：設(shè)球O的半徑為R，
因?yàn)镾△AOC＋S△BOC＝R2(sin∠AOC＋sin∠BOC)，所以當(dāng)∠AOC＝∠BOC＝90時(shí)，
S△AOC＋S△BOC取得最大值，此時(shí)OA⊥OC.
OB⊥OC，OB∩OA＝O，
所以O(shè)C⊥平面AOB，
所以VO－AB
10、C＝VC－OAB＝OCOAOBsin∠AOB＝R3sin∠AOB＝，故選B.
答案：B
3．(20xx浙江卷)如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120，若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD＝DA，PB＝BA，則四面體PBCD的體積的最大值是________．
解析：由AB＝BC＝2，∠ABC＝120，可得AC＝2，要求四面體PBCD的體積，關(guān)鍵是尋找底面三角形BCD的面積S△BCD和點(diǎn)P到平面BCD的距離h.易知h≤2.
設(shè)AD＝x，則DP＝x，DC＝2－x，S△DBC＝(2－x)2sin30＝，其中x∈(0,2)，且h≤x，所以VP－BCD＝S△BCDh＝
11、h≤x≤()2＝，當(dāng)且僅當(dāng)2－x＝x，即x＝時(shí)取等號(hào)．故四面體PBCD的體積的最大值是.
答案：
4．(20xx江蘇卷)現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．
(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？
(2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6 m，則當(dāng)PO1為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大？
解：(1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.
因?yàn)锳1B1＝AB＝6，
所以正四棱錐P－A1B1C1D1的體積V錐＝A1BPO1＝6
12、22＝24(m3)．
正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積V柱＝AB2O1O＝628＝288(m3)．
所以倉(cāng)庫(kù)的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3)．
(2)設(shè)A1B1＝a m，PO1＝h m，則00，V是單調(diào)遞增函數(shù)；
當(dāng)2
高考數(shù)學(xué) 文復(fù)習(xí)檢測(cè)：第七章 立體幾何 課時(shí)作業(yè)43 Word版含答案
