精編高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第1章 復(fù)習(xí)點(diǎn)撥：數(shù)學(xué)歸納法常見錯(cuò)誤剖析

精編北師大版數(shù)學(xué)資料 數(shù)學(xué)歸納法常見錯(cuò)誤剖析 初學(xué)數(shù)學(xué)歸納法常出現(xiàn)下面的錯(cuò)誤，剖析如下： 1、不用假設(shè)致誤 例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：1。 錯(cuò)證：①當(dāng)時(shí)，左邊＝1，右邊＝＝1， 所以等式成立。 ②假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立。 即。 那么當(dāng)時(shí)， ， 也就是說(shuō)當(dāng)時(shí)，等式成立。 由①②知：對(duì)任何等式都成立。 剖析：用數(shù)學(xué)歸納法證明第②步驟時(shí)，在從“”到“的過(guò)程中，必須把的命題作為已給定的條件，要在這個(gè)條件基礎(chǔ)上去導(dǎo)出時(shí)的命題所以在推導(dǎo)過(guò)程中。故必須把時(shí)的命題用上，本解法錯(cuò)因是對(duì)假設(shè)設(shè)而不用。 正解：①當(dāng)時(shí)，左邊＝1，右邊＝＝1， 所以等式成立。 ②假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立。 即。 那么當(dāng)時(shí)， ＝ 。 即當(dāng)時(shí)，等式成立。 由①②知：對(duì)任何等式都成立。 2、盲目套用數(shù)學(xué)歸納法中的兩個(gè)步驟致誤 例2當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，能否被8整除？若能用數(shù)學(xué)歸納法證明。若不能請(qǐng)舉出反例。 證明：⑴當(dāng)n=1時(shí)，7＋1＝8能被8整除。命題成立。 ⑵假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立。即能被8整除。 則 當(dāng)n=k+1時(shí)，不能8整除. 由（1）（2）知n為正奇數(shù)。7不能被8整除 分析：錯(cuò)因;機(jī)械套用數(shù)學(xué)歸納法中的兩個(gè)步驟，而忽略了n是整奇數(shù)的條件。 證明前要看準(zhǔn)已知條件。 正解（2）n=k時(shí)命題成立，即7能被8整除。 當(dāng)n=k+2時(shí)， ＝49（7 因7能被8整除。且48能被8整除。所以能被8整除。 所以當(dāng) n=k+2時(shí) 命題成立 。 由⑴⑵知當(dāng) 為正奇數(shù)時(shí)，7能被8整除。 三 沒有搞清從k 到k+1的跨度 例3：求證： 錯(cuò)證：（1）當(dāng) ＝1時(shí)，不等式成立。 （2） 假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即 則當(dāng)n=k+1時(shí)， 就是說(shuō)當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。 點(diǎn)評(píng)：上述證明中，從k 到k+1的跨度，只加了一項(xiàng)是錯(cuò)誤的，分母是相臨的自然數(shù)，故應(yīng)是，跨度是三項(xiàng)。 正確證法：（1）當(dāng)＝1時(shí)，左邊＝，不等式成立。 （2）假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即， 則當(dāng)n=k+1時(shí)， ＝（）＋＋ >1＋ =1＋。 這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。