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精編數(shù)學(xué)同步優(yōu)化指導(dǎo)北師大版選修22練習(xí):第1章 1.1、1.2 歸納與類比 活頁作業(yè)1 Word版含解析

  • 資源ID:44777910       資源大?。?span id="jdp2ajx" class="font-tahoma">150KB        全文頁數(shù):7頁
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精編數(shù)學(xué)同步優(yōu)化指導(dǎo)北師大版選修22練習(xí):第1章 1.1、1.2 歸納與類比 活頁作業(yè)1 Word版含解析

精編北師大版數(shù)學(xué)資料 活頁作業(yè)(一) 歸納與類比 1.有兩種花色的正六邊形地面磚,按下圖的規(guī)律,拼成若干個圖案,則第六個圖案中有陰影花色的正六邊形的個數(shù)是(  ) A.26         B.31 C.32 D.36 解析:設(shè)第n個圖案有an個陰影花色的正六邊形,則a1=61-0,a2=62-1,a3=63-2,故猜想a6=66-5=31. 答案:B 2.觀察下列各式: 1=12, 2+3+4=32, 3+4+5+6+7=52, 4+5+6+7+8+9+10=72, …… 可以得出的一般結(jié)論是(  ) A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2 B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2 D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2 解析:可以發(fā)現(xiàn):第一個式子的第一個數(shù)是1,第二個式子的第一個數(shù)是2……故第n個式子的第一個數(shù)是n;第一個式子中有1個數(shù)相加,第二個式子中有3個數(shù)相加……故第n個式子中有2n-1個數(shù)相加;第一個式子的結(jié)果是1的平方,第二個式子的結(jié)果是3的平方……故第n個式子應(yīng)該是2n-1的平方,故可以得到n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2. 答案:B 3.已知x>0,由不等式x+≥2=2,x+=++≥3=3,…, 我們可以得出推廣結(jié)論:x+≥n+1(n∈N+),則a等于(  ) A.2n B.n2 C.3n D.nn 解析:再續(xù)寫一個不等式: x+=+++≥4=4, 由此可得a=nn. 答案:D 4.已知扇形的弧長為l,半徑為r,類比三角形的面積公式S=,可推知扇形面積公式S扇等于(  ) A. B. C. D.不可類比 解析:由扇形的弧長與半徑分別類比三角形的底邊與高,可得扇形的面積公式. 答案:C 5.平面內(nèi)平行于同一直線的兩直線平行,由此類比我們可以得到(  ) A.空間中平行于同一直線的兩直線平行 B.空間中平行于同一平面的兩直線平行 C.空間中平行于同一直線的兩平面平行 D.空間中平行于同一平面的兩平面平行 解析:利用類比推理,平面中的直線和空間中的平面類比. 答案:D 6.在平面上,若兩個正三角形的邊長的比為1∶2,則它們的面積比為1∶4.類似地,在空間中,若兩個正四面體的棱長的比為1∶2,則它們的體積比為________. 解析:====. 答案:1∶8 7.已知等差數(shù)列{an}的前n項和是Sn=,由此可類比得到各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的前n項積Tn=________(用n,b1,bn表示). 解析:由等差數(shù)列中的“求和”類比等比數(shù)列中的“求積”,可知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的前n項積Tn=(b1bn). 答案:(b1bn) 8.上圖中,上起第n行,左起第n+1列的數(shù)是________. 解析:第1行第2個數(shù)為2=12, 第2行第3個數(shù)為6=23, 第3行第4個數(shù)為12=34, 第4行第5個數(shù)為20=45. 故歸納出第n行第n+1個數(shù)為n(n+1)=n2+n. 答案:n2+n 9.在橢圓中,有一結(jié)論:過橢圓+=1(a>b>0)上不在頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)P與長軸兩端點(diǎn)A1,A2連線,則直線PA1與PA2斜率之積為-,類比該結(jié)論推理出雙曲線的類似性質(zhì),并加以證明. 解:過雙曲線-=1上不在頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)P與實軸兩端點(diǎn)A1,A2連線,則直線PA1與PA2斜率之積為.證明如下: 設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),點(diǎn)A1(a,0),A2(-a,0). 橢圓中:kPA1kPA2== ==-; 雙曲線中:kPA1kPA2===. 10.已知sin230+sin290+sin2150=,sin25+sin265+sin2125=.觀察上述兩等式的規(guī)律,請你寫出一個一般性的命題,并證明. 解:一般性的命題為 sin2θ+sin2(60+θ)+sin2(120+θ)=. 證明如下: sin2θ+sin2(60+θ)+sin2(120+θ) =++ =-[cos 2θ+cos(120+2θ)+cos(240+2θ)] =-[cos 2θ+cos 120cos 2θ-sin 120sin 2θ+cos(180+60+2θ)] =-[cos(60+2θ)-cos(60+2θ)]=. 11.設(shè)△ABC的三邊長分別為a,b,c,△ABC的面積為S,內(nèi)切圓半徑為r,則r=,類比這個結(jié)論可知:四面體ABCD的四個面的面積分別為S1,S2,S3,S4,內(nèi)切球半徑為R,四面體ABCD的體積為V,則R等于(  ) A. B. C. D. 解析:設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O,則球心O到四個面的距離都是R,所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn),分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和. 則四面體的體積為 V四面體ABCD=(S1+S2+S3+S4)R, ∴R=. 答案:C 12.設(shè)n為正整數(shù),f(n)=1+++…+,計算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,觀察上述結(jié)果,可推測一般的結(jié)論為______________. 解析:由題意f(21)=,f(22)>,f(23)>,f(24)>,故一般的結(jié)論為f(2n)≥. 答案:f(2n)≥ 13.設(shè)函數(shù)f(x)=(x>0),觀察: f1(x)=f(x)=, f2(x)=f(f1(x))=, f3(x)=f(f2(x))=, f4(x)=f(f3(x))=, …… 根據(jù)以上事實,由歸納推理可得:當(dāng)n∈N+且n≥2時,fn(x)=f(fn-1(x))=____________. 解析:依題意,先求函數(shù)結(jié)果的分母中x項系數(shù)所組成數(shù)列的通項公式,由1,3,7,15,…,可推知該數(shù)列的通項公式為an=2n-1.又函數(shù)結(jié)果的分母中常數(shù)項依次為2,4,8,16,…,故其通項公式為bn=2n.所以當(dāng)n≥2時,fn(x)=f(fn-1(x))=. 答案: 14.(2015鄭州模擬卷)平面幾何里有“設(shè)直角三角形ABC的兩直角邊分別為a,b,斜邊上的高為h,則+=”,拓展到空間,研究三棱錐的側(cè)棱長與底面上的高之間的關(guān)系可以得出的正確結(jié)論是:“設(shè)三棱錐ABCD的三個側(cè)棱兩兩垂直,其長分別為a,b,c,面BCD上的高為h,則________”. 解析:如右圖所示,設(shè)A在底面的射影為O,連接BO并延長交CD于E.連接AE,由AB⊥AC,AB⊥AD得AB⊥面ACD. ∴AB⊥AE.設(shè)AE=h1,在△ABE中,由已知可得+=. 又易證CD⊥面ABE, ∴CD⊥AE. 在△ACD中有=+, ∴++=. 答案:++= 15.(2015江西模擬卷)設(shè)f(n)=n2+n+41,n∈N+,計算:f(1),f(2),f(3),f(4),…,f(10)的值,同時作出歸納推理,并用n=40驗證猜想是否正確. 解:f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61, f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83, f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113, f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151. ∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都為質(zhì)數(shù), ∴歸納猜想:當(dāng)n∈N+時,f(n)=n2+n+41的值都為質(zhì)數(shù). 當(dāng)n=40時,f(40)=402+40+41=40(40+1)+41=4141, ∴f(40)是合數(shù). ∴由上面歸納推理得到的猜想不正確. 16.如右圖,點(diǎn)P為斜三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱BB1上一點(diǎn),PM⊥BB1交AA1于點(diǎn)M,PN⊥BB1交CC1于點(diǎn)N. (1)求證:CC1⊥MN; (2)在任意△DEF中有余弦定理DE2=DF2+EF2-2DFEFcos∠DFE.拓展到空間,類比三角形的余弦定理,寫出斜三棱柱的三個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式,并予以證明. (1)證明:∵PM⊥BB1,PN⊥BB1, ∴BB1⊥平面PMN. ∴BB1⊥MN. 又∵CC1∥BB1,∴CC1⊥MN. (2)解:在斜三棱柱ABCA1B1C1中,有S2ABB1A1= S2BCC1B1+S2ACC1A1-2SBCC1B1SACC1A1cos α. 其中α為平面CC1B1B與平面CC1A1A所成的二面角.證明如下: ∵CC1⊥平面PMN. ∴上述二面角的平面角為∠MNP. 在△PMN中, PM2=PN2+MN2-2PNMNcos∠MNP? PM2CC=PN2CC+MN2CC-2(PNCC1)(MNCC1)cos∠MNP, ∴SBCC1B1=PNCC1,SACC1A1=MNCC1, SABB1A1=PMBB1=PMCC1, ∴有S2ABB1A1=S2BCC1B1+S2ACC1A1-2SBCC1B1SACC1A1cos α.

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