高考數學 理科一輪【學案24】正弦定理和余弦定理應用舉例

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1、 學案24　正弦定理和余弦定理應用舉例 導學目標： 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題． 自主梳理 1．仰角和俯角 與目標視線同在一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角．(如圖所示) 2．方位角 一般指北方向線順時針到目標方向線的水平角，如方位角45，是指北偏東45，即東北方向． 3．方向角：相對于某一正方向的水平角．(如圖所示) ①北偏東α即由指北方向順時針旋轉α到達目標方向． ②北偏西α即由指北方向逆時針旋轉α到達目標方向． ③南偏西等其他方

2、向角類似． 4．坡角 坡面與水平面的夾角．(如圖所示) 5．坡比 坡面的鉛直高度與水平寬度之比，即i＝＝tan α(i為坡比，α為坡角)． 6．解題的基本思路 運用正、余弦定理處理實際測量中的距離、高度、角度等問題，實質是數學知識在生活中的應用，要解決好，就要把握如何把實際問題數學化，也就是如何把握一個抽象、概括的問題，即建立數學模型． 自我檢測 1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β之間的關系是 (　　) A．α>β B．α＝β C．α＋β＝90 D．α＋β＝180 2．(20xx承德模擬)如圖所示，已知兩座燈塔A

3、和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40，燈塔B在觀察站C的南偏東60，則燈塔A在燈塔B的 (　　) A．北偏東10 B．北偏西10 C．南偏東10 D．南偏西10 3．如圖所示，為了測量某障礙物兩側A、B間的距離，給定下列四組數據，不能確定A、B間距離的是 (　　) A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γ

4、 D．α，β，b 4．在200 m高的山頂上，測得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別是30、60，則塔高為________m. 5．(20xx全國Ⅱ)△ABC中，D為邊BC上的一點，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD. 探究點一　與距離有關的問題 例1　(20xx陜西)如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個觀測點，現位于A點北偏東45，B點北偏西60的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60且與B點相距20海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/時，該救援船到達D點需要多長時間？ 變

5、式遷移1　某觀測站C在目標A的南偏西25方向，從A出發(fā)有一條南偏東35走向的公路，在C處測得與C相距31千米的公路上B處有一人正沿此公路向A走去，走20千米到達D，此時測得CD為21千米，求此人在D處距A還有多少千米？ 探究點二　測量高度問題 例2　如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內的兩個測點C與D，現測得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在點C測得塔頂A的仰角為θ，求塔高AB. 變式遷移2　某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進40米后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔的最大仰角為30，求塔高． 探究

6、點三　三角形中最值問題 例3　(20xx江蘇)某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m)，示意圖如圖所示，垂直放置的標桿BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β. (1)該小組已測得一組α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，請據此算出H的值； (2)該小組分析若干測得的數據后，認為適當調整標桿到電視塔的距離d(單位：m)，使α與β之差較大，可以提高測量精度．若電視塔實際高度為125 m，試問d為多少時，α－β最大？ 變式遷移3　(20xx宜昌模擬)如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點C在AB的延長線上，BC＝1，點P為半圓上的一個

7、動點，以DC為邊作等邊△PCD，且點D與圓心O分別在PC的兩側，求四邊形OPDC面積的最大值． 1．解三角形的一般步驟 (1)分析題意，準確理解題意． 分清已知與所求，尤其要理解應用題中的有關名詞、術語，如坡度、仰角、俯角、方位角等． (2)根據題意畫出示意圖． (3)將需求解的問題歸結到一個或幾個三角形中，通過合理運用正弦定理、余弦定理等有關知識正確求解．演算過程中，要算法簡練，計算正確，并作答． (4)檢驗解出的答案是否具有實際意義，對解進行取舍． 2．應用舉例中常見幾種題型 測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等．

8、 (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為 (　　) A. B. C. D. 2．(20xx揭陽模擬)如圖，設A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45，∠CAB＝105后，就可以計算出A、B兩點的距離為 (　　) A．50 m B．50 m C．

9、25 m D. m 3．△ABC的兩邊長分別為2,3，其夾角的余弦值為，則其外接圓的半徑為 (　　) A. B. C. D．9 4．(20xx滄州模擬)某人向正東方向走x km后，向右轉150，然后朝新方向走3 km，結果他離出發(fā)點恰好是 km，那么x的值為 (　　) A. B．2 C.或2 D．3 5．一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60方向，另一燈

10、塔在船的南偏西75方向，則這只船的速度是每小時 (　　) A．5海里 B．5海里 C．10海里 D．10海里 題號 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．一船以每小時15 km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60方向，行駛4 h后，船到B處，看到這個燈塔在北偏東15方向，這時船與燈塔的距離為________． 7．(20xx臺州模擬)某校運動會開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度

11、為15的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60和30，第一排和最后一排的距離為10米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個水平面上．若國歌長度約為50秒，升旗手應以________米/秒的速度勻速升旗． 8．(20xx宜昌模擬)線段AB外有一點C，∠ABC＝60，AB＝200 km，汽車以80 km/h的速度由A向B行駛，同時摩托車以50 km/h的速度由B向C行駛，則運動開始________h后，兩車的距離最小． 三、解答題(共38分) 9．(12分)(2009遼寧)如圖，A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔

12、頂．測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75、30，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60，AC＝0.1 km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B、D的距離(計算結果精確到0.01 km，≈1.414，≈2.449)． 10．(12分)如圖所示，甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當甲船位于A1處時，乙船位于甲船的南偏西75方向的B1處，此時兩船相距20海里．當甲船航行20分鐘到達A2處時，乙船航行到甲船的南偏西60方向的B2處，此時兩船相距10海里．問乙船每小時航行多少海里？ 11．(14

13、分)(2009福建)如圖， 某市擬在長為8 km的道路OP的一側修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數y＝Asin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的圖象，且圖象的最高點為S(3,2)；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運動員的安全，限定∠MNP＝120. (1)求A，ω的值和M，P兩點間的距離； (2)應如何設計，才能使折線段賽道MNP最長？ 答案 自我檢測 1．B　2.B　3.A 4. 5．解　由cos∠ADC＝＞0知B＜， 由已知得cos B＝，sin∠ADC＝， 從而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B) ＝

14、sin∠ADCcos B－cos∠ADCsin B ＝－＝. 由正弦定理得，＝， 所以AD＝＝＝25. 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　這類實際應用題，實質就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉化為三角形問題去求解．注意：①基線的選取要恰當準確；②選取的三角形及正、余弦定理要恰當． 解　由題意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90－60＝30，∠DAB＝90－45＝45， ∴∠ADB＝180－(45＋30)＝105. 在△DAB中，由正弦定理，得＝， ∴DB＝＝ ＝＝10(海里)． 又∠DBC＝∠DBA＋∠A

15、BC＝30＋(90－60)＝60，BC＝20(海里)， 在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BDBCcos∠DBC＝300＋1 200－21020 ＝900，∴CD＝30(海里)， ∴需要的時間t＝＝1(小時)． 故救援船到達D點需要1小時． 變式遷移1　 解 如圖所示，易知∠CAD＝25＋35＝60，在△BCD中， cos B＝＝， 所以sin B＝. 在△ABC中，AC＝＝24， 由BC2＝AC2＋AB2－2ACABcos A， 得AB2－24AB－385＝0， 解得AB＝35，AB＝－11(舍)， 所以AD＝AB－BD＝15. 故此

16、人在D處距A還有15千米． 例2　解題導引　在測量高度時，要正確理解仰角、俯角的概念，畫出準確的示意圖，恰當地選取相關的三角形和正、余弦定理逐步進行求解．注意綜合應用方程和平面幾何、立體幾何等知識． 解　在△BCD中，∠CBD＝π－α－β. 由正弦定理得＝， 所以BC＝＝， 在Rt△ABC中， AB＝BCtan∠ACB＝. 變式遷移2　 解 由題意可知，在△BCD中，CD＝40， ∠BCD＝30，∠DBC＝135， 由正弦定理得， ＝， ∴BD＝＝20. 過B作BE⊥CD于E，顯然當人在E處時， 測得塔的仰角最大，有∠BEA＝30. 在Rt△BED中， 又

17、∵∠BDE＝180－135－30＝15. ∴BE＝DBsin 15＝20＝10(－1)． 在Rt△ABE中， AB＝BEtan 30＝(3－)(米)． 故所求的塔高為(3－)米． 例3　解題導引　平面幾何圖形中研究或求有關長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設計等問題．而這些幾何問題通常是轉化到三角形中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決．在解決某些具體問題時，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，解之．若研究最值，常使用函數思想． 解 (1)由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD， 得＋＝， 解得H＝＝＝1

18、24(m)． 因此，算出的電視塔的高度H是124 m. (2)由題設知d＝AB，得tan α＝. 由AB＝AD－BD＝－，得tan β＝. 所以tan(α－β)＝ ＝≤， 當且僅當d＝， 即d＝＝＝55時， 上式取等號，所以當d＝55時，tan(α－β)最大． 因為0<β<α<，則0<α－β<， 所以當d＝55時，α－β最大． 變式遷移3　解　設∠POB＝θ，四邊形面積為y， 則在△POC中，由余弦定理得 PC2＝OP2＋OC2－2OPOCcos θ＝5－4cos θ. ∴y＝S△OPC＋S△PCD＝12sin θ＋(5－4cos θ) ＝2sin(θ－)＋.

19、∴當θ－＝，即θ＝時，ymax＝2＋. 所以四邊形OPDC面積的最大值為2＋. 課后練習區(qū) 1．D　2.A　3.C　4.C　5.C 6．30 km　7.0.6 8. 解析 　如圖所示：設t h后，汽車由A行駛到D，摩托車由B行駛到E，則AD＝80t，BE＝50t. 因為AB＝200，所以BD＝200－80t， 問題就是求DE最小時t的值． 由余弦定理得，DE2＝BD2＋BE2－2BDBEcos 60 ＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)50t ＝12900t2－42000t＋40000. ∴當t＝時，DE最小． 9．解　在△ACD中，∠D

20、AC＝30， ∠ADC＝60－∠DAC＝30， 所以CD＝AC＝0.1.………………………………………………………………………(2分) 又∠BCD＝180－60－60＝60， 所以△ABC≌△CBD， 所以BA＝BD.……………………………………………………………………………(6分) 在△ABC中，＝， 即AB＝＝，…………………………………………………………(10分) 所以BD＝≈0.33(km)． 故B、D的距離約為0.33 km.……………………………………………………………(12分) 10．解 如圖，連接A1B2，由題意知， A1B1＝20，A2B2＝10，

21、 A1A2＝30＝10(海里)．…………………………………………………………(2分) 又∵∠B2A2A1＝180－120＝60， ∴△A1A2B2是等邊三角形， ∠B1A1B2＝105－60＝45.……………………………………………………………(6分) 在△A1B2B1中，由余弦定理得 B1B＝A1B＋A1B－2A1B1A1B2cos 45 ＝202＋(10)2－22010＝200， ∴B1B2＝10(海里)．…………………………………………………………………(10分) 因此乙船的速度大小為 60＝30(海里/小時)．…………………………………………………………(12分)

22、 11．解 方法一　(1)依題意，有A＝2，＝3， 又T＝，∴ω＝.∴y＝2sinx.(3分) 當x＝4時，y＝2sin＝3，∴M(4,3)． 又P(8,0)，∴MP＝＝5.…………………………………………………………(5分) (2)如圖，連接MP，在△MNP中，∠MNP＝120，MP＝5. 設∠PMN＝θ， 則0<θ<60. 由正弦定理得＝＝， ∴NP＝sin θ，MN＝sin(60－θ)，…………………………………………(8分) ∴NP＋MN＝sin θ＋sin(60－θ) ＝＝sin(θ＋60)．…………………………………………(12分) ∵0<θ<60，∴當

23、θ＝30時，折線段賽道MNP最長． 即將∠PMN設計為30時， 折線段賽道MNP最長．…………………………………………………………………(14分) 方法二　(1)同方法一． (2)連結MP.在△MNP中，∠MNP＝120.MP＝5， 由余弦定理得，MN2＋NP2－2MNNPcos∠MNP＝MP2.………………………………(8分) 即MN2＋NP2＋MNNP＝25. 故(MN＋NP)2－25＝MNNP≤2， ……………………………………………………………………………………………(10分) 從而(MN＋NP)2≤25，即MN＋NP≤. 當且僅當MN＝NP時等號成立． 即設計為MN＝NP時， 折線段賽道MNP最長．…………………………………………………………………(14分)