《人教版高中數(shù)學選修11：3.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 課時提升作業(yè)二十三 3.3.2 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《人教版高中數(shù)學選修11：3.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 課時提升作業(yè)二十三 3.3.2 Word版含解析（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、（人教版）精品數(shù)學教學資料
課時提升作業(yè)(二十三)
函數(shù)的極值與導數(shù)
(25分鐘 60分)
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.(2015天津高二檢測)函數(shù)y=f(x)是定義在R上的可導函數(shù),則下列說法不正確的是 ( )
A.若函數(shù)在x=x0時取得極值,則f′(x0)=0
B.若f′(x0)=0,則函數(shù)在x=x0處取得極值
C.若在定義域內(nèi)恒有f′(x)=0,則y=f(x)是常數(shù)函數(shù)
D.函數(shù)f(x)在x=x0處的導數(shù)是一個常數(shù)
【解析】選B.f′(x0)=0是函數(shù)在x=x0處取得極值的必要不充分條件,故B錯誤,A,C,D均正確.
2.設函數(shù)f(x)=xex,則 (
2、 )
A.x=1為f(x)的極大值點
B.x=-1為f(x)的極大值點
C.x=1為f(x)的極小值點
D.x=-1為f(x)的極小值點
【解析】選D.f′(x)=ex+xex,令f′(x)=0得x=-1,當x<-1時,f′(x)<0;當x>-1時,f′(x)>0,故x=-1時取極小值.
【補償訓練】設函數(shù)f(x)=2x+lnx,則 ( )
A.x=12為f(x)的極大值點
B.x=12為f(x)的極小值點
C.x=2為f(x)的極大值點
D.x=2為f(x)的極小值點
【解析】選D.f′(x)=-2x2+1x=-2+xx2,令f′(x)=0得,x=2,當x<2時,f
3、′(x)<0;當x>2時,f′(x)>0,故x=2時取極小值.
3.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則實數(shù)a的取值范圍
是 ( )
A.-12 D.a<-3或a>6
【解析】選D.f′(x)=3x2+2ax+a+6,函數(shù)f(x)有極大值和極小值,則
f′(x)=3x2+2ax+a+6=0有兩不相等的實數(shù)根,即有Δ=(2a)2-12(a+6)>0,
解得a<-3或a>6.
4.(2015濟寧高二檢測)已知f(x)=x3-px2-qx的圖象與x軸切于(1,0),則f(x)的極值情況是 (
4、 )
A.極大值為f13,極小值為f(1)
B.極大值為f(1),極小值為f13
C.極大值為f13,沒有極小值
D.極小值為f(1),沒有極大值
【解析】選A.由函數(shù)f(x)=x3-px2-qx的圖象與x軸切于點(1,0)得:p+q=1,p2+4q=0.解出p=2,q=-1,
則函數(shù)f(x)=x3-2x2+x,
則f′(x)=3x2-4x+1,令f′(x)=0得到:x=1或x=13.
當x≥1或x≤13時,函數(shù)單調遞增;當13
5、∈R的單調區(qū)間與極值.
【解析】因為f′(x)=ex-2,令f′(x)=0,
解得x=ln2,
當xln2時,f′(x)>0,函數(shù)單調遞增;
故函數(shù)的減區(qū)間為(-∞,ln2),
增區(qū)間為(ln2,+∞),
當x=ln2時函數(shù)取極小值,
極小值f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2-2ln2+2a.
5.若a>0,b>0,且函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值,則ab的最大值等
于 ( )
A.2 B.3 C.6 D.9
【解題指南】利用函數(shù)在x=1處有極值得到a,b的關系式,再利用基
6、本不等式求最大值.
【解析】選D.f′(x)=12x2-2ax-2b,
因為函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值,
所以f′(1)=12-2a-2b=0,
即a+b=6,則ab≤a+b22=9(當且僅當a=b=3時,等號成立).
二、填空題(每小題5分,共15分)
6.函數(shù)f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1時有極值0,則m+n= .
【解析】f′(x)=3x2+6mx+n,則f(-1)=0,f(-1)=0,
代入解得m=2,n=9,或m=1,n=3,
當m=1,n=3時,
f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,
函數(shù)f(x
7、)無極值,舍去.
故m=2,n=9,故m+n=11.
答案:11
7.(2015陜西高考)函數(shù)y=xex在其極值點處的切線方程為 .
【解析】依題意得y′=ex+xex,
令y′=0,可得x=-1,
所以y=-1e.
因此函數(shù)y=xex在其極值點處的切線方程為y=-1e.
答案:y=-1e
8.(2015邢臺高二檢測)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極值10,則f(-1)= .
【解析】f′(x)=3x2+2ax+b,由題意得
f(1)=0,f(1)=10,得3+2a+b=0,1+a+b+a2=10,
解得:a=-3,b=3,或a=4
8、,b=-11.所以f(x)=x3-3x2+3x+9或f(x)=x3+4x2-11x+16,故f(-1)=2或f(-1)=30.
答案:2,30
三、解答題(每小題10分,共20分)
9.(2015安徽高考)已知函數(shù)f(x)=ax(x+r)2(a>0,r>0),
(1)求f(x)的定義域,并討論f(x)的單調性.
(2)若ar=400,求f(x)在(0,+∞)內(nèi)的極值.
【解析】(1)由題意知x≠-r,
所以定義域為-∞,-r∪(-r,+∞),
f(x)=ax(x+r)2=axx2+2rx+r2,
f′(x)=a(x2+2rx+r2)-ax(2x+2r)(x2+2rx+r2)2
9、=a(r-x)(x+r)(x+r)4,
所以當x<-r或x>r時,f′(x)<0,
當-r0.
因此,f(x)的單調遞減區(qū)間是-∞,-r,(r,+∞);f(x)的單調遞增區(qū)間是(-r,r).
(2)由(1)可知f(x)在(0,r)上單調遞增,在(r,+∞)上單調遞減,因此,x=r是f(x)的極大值點,所以f(x)在(0,+∞)內(nèi)的極大值為f(r)=ar(2r)2=a4r=100.
10.設f(x)=(x2-2x+2-a2)ex,
(1)討論該函數(shù)的單調性.
(2)設g(a)為函數(shù)f(x)的極大值,證明:g(a)<2.
【解析】(1)因為f(x)=(x2-
10、2x+2-a2)ex,
所以f′(x)=(x-a)(x+a)ex,
①a>0,由f′(x)>0,可得x<-a或x>a,由f′(x)<0,可得-a0,可得x-a,由f′(x)<0,可得a0,函數(shù)的單調遞增區(qū)間為(-∞,-a),(a,+∞),單調遞減區(qū)間為(-a,a);a<0,函數(shù)的單調遞增區(qū)間為(-∞,a),(-a,+∞),單調遞減區(qū)間為(a,-a);a=0,函數(shù)的單調遞增區(qū)間為(-∞,+∞).
(2)由(1)知g(a)=2(a+1)e-a,a>0,2(-a+1)ea,a<0,
因為g
11、(-a)=2(-a+1)ea,a<0,2(a+1)e-a,a>0=g(a),
所以g(a)是偶函數(shù),
a<0時,g(a)=2(-a+1)ea,g′(a)=-2aea>0,
所以g(a)在(-∞,0)上為增函數(shù),所以g(a)<2,
a>0時,g(a)=g(-a)<2,
綜上,g(a)<2.
(20分鐘 40分)
一、選擇題(每小題5分,共10分)
1.(2015西安高二檢測)已知函數(shù)f(x)=13x3+12ax2+2bx+c(a,b,c∈R),且函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)取得極大值,在區(qū)間(1,2)內(nèi)取得極小值,則z=(a+3)2+b2的取值范圍為 ( )
A.22,2
12、 B.12,4
C.(1,2) D.(1,4)
【解析】選B.f′(x)=x2+ax+2b,因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)取得極大值,
在區(qū)間(1,2)內(nèi)取得極小值,所以f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0.
即b>0,a+2b+1<0,a+b+2>0,畫出可行域如圖所示,z=(a+3)2+b2表示可行域內(nèi)的點到(-3,0)距離的平方,由圖可知,距離的最小值為|-3+0+2|2=22,距離的最大值為2(均取不到),則z的取值范圍為12,4.
2.(2015邢臺高二檢測)若f(x)=13x3-12ax2+x+1在12,3上有極值點,則實數(shù)a的取值范圍是 (
13、)
A.2,52 B.2,103
C.2,103 D.2,52
【解題指南】利用函數(shù)在12,3上有極值點,分離出a后求a的范圍.
【解析】選B.因為函數(shù)f(x)=x33-a2x2+x+1,
所以f′(x)=x2-ax+1,
若函數(shù)f(x)=x33-a2x2+x+1在區(qū)間12,3上有極值點,
則f′(x)=x2-ax+1在區(qū)間12,3內(nèi)有零點.
由x2-ax+1=0可得a=x+1x,
因為x∈12,3,故a=x+1x在12,1上是減函數(shù),在(1,3)上是增函數(shù).
所以2≤a<103.
【補償訓練】已知函數(shù)y=x3-ax在(0,1)上有極小值,則實數(shù)a的取
14、值范圍
是 ( )
A.(3,+∞) B.(-∞,0)
C.(0,1) D.(0,3)
【解析】選D.y′=3x2-a,解y′=0得x=a3,
則0
15、=0的根,結合根與系數(shù)的關系求值.
【解析】由圖象可知f(0)=d=0,又f(-1)=0,f(2)=0,
解得b=-1,c=-2,故f(x)=x3-x2-2x,
f′(x)=3x2-2x-2,
由圖象可知x1,x2是方程3x2-2x-2=0的兩個根,
故x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=169.
答案:169
三、解答題(每小題10分,共20分)
5.已知函數(shù)f(x)=(x2+ax+a)ex(a≤2,x∈R)
(1)當a=1時,求f(x)的單調區(qū)間.
(2)是否存在實數(shù)a,使f(x)的極大值為3?若存在,求出a的值,若不存在,請說明理由.
【解析】(1)f(x
16、)=(x2+x+1)ex,f′(x)=(2x+1)ex+(x2+x+1)ex=(x2+3x+2)ex,
當f′(x)>0時,解得x<-2或x>-1,
當f′(x)<0時,解得-2
17、
f(x)
↗
極大
↘
極小
↗
由表可知
f(x)極大=f(-2)=(4-2a+a)e-2=3,
解得a=4-3e2≤2,所以存在實數(shù)a≤2,使f(x)的極大值為3.
6.(2015重慶高考)設函數(shù)f(x)=3x2+axex(a∈R).
(1)若f(x)在x=0處取得極值,確定a的值,并求此時曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程.
(2)若f(x)在3,+∞上為減函數(shù),求a的取值范圍.
【解析】(1)對f(x)求導得f′(x)
=(6x+a)ex-(3x2+ax)exex2=-3x2+(6-a)x+aex.
因為f(x)在x=0處取得極值,所以f′
18、(0)=0,
即a=0.
當a=0時,f(x)=3x2ex,f′(x)=-3x2+6xex,故f(1)=3e,f′(1)=3e,從而
y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-3e=3e(x-1),化簡得3x-ey=0.
(2)由(1)知f′(x)=-3x2+(6-a)x+aex,
令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,
由g(x)=0解得x1=6-a-a2+366,x2=6-a+a2+366.
當x0,即f′(x)>0,故f(x)為增函數(shù);
當x>x2時,g(x)<0,即
19、f′(x)<0,故f(x)為減函數(shù);
由f(x)在3,+∞上為減函數(shù),
知x2=6-a+a2+366≤3,解得a≥-92,
故a的取值范圍為-92,+∞.
【補償訓練】已知f(x)=x3+bx2+cx+2.
①若f(x)在x=1時有極值-1,求b,c的值.
②在①的條件下,若函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=k的圖象恰有三個不同的交點,求實數(shù)k的取值范圍.
【解析】①因為f(x)=x3+bx2+cx+2,
所以f′(x)=3x2+2bx+c.
由已知得f′(1)=0,f(1)=-1,
所以3+2b+c=0,1+b+c+2=-1,
解得b=1,c=-5.
經(jīng)驗證,b=1,c=-5符合題意.
②由①知f(x)=x3+x2-5x+2,
f′(x)=3x2+2x-5.
由f′(x)=0得x1=-53,x2=1.
當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如表:
x
-∞,-53
-53
-53,1
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
極大值
↘
極小值
↗
根據(jù)表格,當x=-53時函數(shù)取得極大值且極大值為f-53=22927,當x=1時函數(shù)取得極小值且極小值為f(1)=-1.
根據(jù)題意結合上圖可知k的取值范圍為-1,22927.
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