【贏在高考】2013高考數學大一輪復習11.4直接證明與間接證明配套練習蘇教版

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1、11.4 直接證明與間接證明 隨堂演練鞏固 1 .下列選項中，p是q的必要不充分條件的是 ^ ① p:a+c>b+d; q:a>b 且 c>d; ② p：a>1,b>1; q： f(x) = ax —b(a >0.且 a =1)的圖象不過第二象限； 2 ③ p：x=1; q: x =x; ④ p：a>1； q：f(x)=log ax(a>0.且 a#1)在(0.y)上為增函數. 【答案】① 【解析】 由a>b且c：>d = a+c>b+d.而由a+c>b+d,不能彳#出a>b且c>d,可舉反例. 2 .已知兩條直線m,n,兩個平面a ,P .給出下面四個命題： ①m" n

2、 m __ : n I 0,; ② o( // P m u a .n u P n m // n; ③mil n,m II a=> n " 口； ④ ot// Pm// nm_La n n_LP. 其中真命題的序號是 . 【答案】①④ 3 .設等比數列｛an｝的前n項和為Sn.x = S：+S2n.y= Sn( S2n+S3n)?則x與y的大小關系 為 . 【答案】x=y 2 【解析】 由題意，得Sn$2n—SnSn - S2n成等比數列，所以Sn(S3n - S2n) = ($2n - Sn) .展 開整理，得 S2 +S2n = Sn(S2nL 4S3n) .即 x=y.

3、4 .函數f(x)的定義域為R若f(x+1)與f(x-1)者B是奇函數，則下列正確的是 ^ ①f(x)是偶函數；②f(x)是奇函數；③f(x尸f(x+2); ④f(x+3)是奇函數. 【答案】④ 【解析】f(x+1)與f(x-1)都是奇函數， . 1 . f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1). ???函數f(x)關于點(1,0),及點(-1,0)對稱.函數f(x)是周期T=2[1-(-1)]=4 的周期函數. 1. f(-x-1+4)=-f(x-1+4),f(-x+3)=- 1( %:+；!；■, 即f(x+3)是奇函數. 1 .否定“自然數a,b,c

4、中恰有一個偶數”時反設為 . 【答案】a,b,c都是奇數或至少有兩個偶數 【解析】a,b,c的奇偶情況： 一奇兩偶；②兩奇一偶；③三奇；④三偶 “a,b,c恰有一個偶數”的反設即否定 ，相當于去掉②，?、佗邰?，故為“a,b,c都是奇數或至 少有兩個偶數”. 2 .若3Em<6《m

5、 ①都大于2②都小于2③至少有一個不大于2④至少有一個不小于2 【答案】④ 【解析】(a 1) (b 1) (c 1) = (a -) (b -) (c 1) - 6 b c a a b c …a +2,b +工c+1至少年T—*個不小于 2. b c a 4 .設 a,b,c,d,m,n 都是正數,P = JOb + JCd Q = Jma + nc . Jjb ,則 P Q.(填 “之”或“ M”) 【答案】 _ 【解析】mad+nbc >20

6、,Q>0, Q 之 P .故填“女： 5 .若f (x) =x3 .g(x) =x2 —x+1 .其中x<1,則f(x)與g(x)的大小關系是 . 【答案】f(x) 0 ； x1 - x2 ④“丫)

7、 f(x1) f(x2) 3 當f (x) =2x時，上述結論中正確結論的序號是 . 【答案】①③④ 【解析】逐一驗證或畫圖象可得①③④正確 . (-1)n 1 7 .若不等式(-1)n a < 2 + ( ) 對于任意正整數n恒成立，則實數a的取值范圍是 n 【答案】［-2 -2) + 7T = 2-n€[l2)； (-1)n 1 o 【斛析】 由(一1) a < 2 + ----當n為偶數時.a < —2— n (-1)n 當n為奇數時 a 2—+二1 = —2—二 w ［―3.-2). (-1)n n n L 綜上，當不等式恒成立時,a

8、的取值范圍是［-2.3). 8 .給定實數a 0 .a =1 .設函數y = 乂二1 (x w R且x = 1).求證：經過該函數圖象上任意 ax 7 a 兩點的直線不平行于x軸. 【證明】 方法一：(綜合法)設A(x( .y1) .B(x2 .y2)是函數y= x . 11圖象上的任意兩點 ，且 ax -1 x1 ； x2. 因為y1 x1 -1 x2 -1 _ (x1 - 1)(ax2 -1) - (x2 -1)(ax1 - 1) ax1 -1 ax2 -1 (ax1 - 1)(ax2 -1) _ d - 為)ad 、) _ (1 -a)(x2 -x1) . (ax1

9、 - 1)(ax2 -1) (ax1 - 1)(ax2 -1) 因為 x #x2 .a 01 .所以(x2 -x1)(1 -a) 00 . 所以y豐y ?所以kAB o 0 .所以命題得證. 方法二:(反證法)設圖象上存在兩點 A(x1 .y1) .B(x2 .y2)(x1 x2)的連線與x軸平行, 則 kAB = 0 . X1 一 1 X2 - 1 — 即 yi =y2.即 = 7=> (xi -1)(ax2 -1) = (x2 —1)(ax1 -1). ax1 -i ax2 -1 化簡得(x2 -x1)(1 -a) =0. 貝 U x2 =x1或 a=1. 分別與x2 #

10、x1和a#1矛盾. 所以假設不成立，命題成立. 9 .已知 a>0,求證：/a2+4一72 占 a+1 —2. \ a a 【證明】 要證明命題成立，只要證Ja2+4 +2之a+」+ J2. \ a a 即證 a2 2 4 a2 - 4 _ a2 2 2 2,2a 2 .5 1 21 a \ a a a 即證 2, a2 ^2 -，2(a ：). 即證 4(a2 -J2) . 2(a2 2 2). a a 即證 a2 ^2 -2 _0. a 即證(a -l)220 .而此不等式顯然成立.以上各步可逆，故命題成立. a 10 . △ ABCE邊長a,b,c的倒數成等

11、差數列，求證：/ B < 90 . 【證明】??? cos B = a2+c2 -b2 , 2ac ???要證明 /B <90\ 即證cosB>0. 只需證a2+c2 >b2.又三邊長a,b,c的倒數成等差數列，即2 =1.故b = Nac . b a c a c 只需證 a2 +c2 >( 2ac )2 .即證(a2 +c2)(a +c)2 > (2ac)2.又 a2 +c2 > 2ac. a c 2 2 2 只需證(a+c) >2ac.即證a +c a0.而上式顯然成立，，NB<90 . 11.如圖所示，已知三棱錐 P-ABC^ .PC _L底面ABC,AB=BC,D F分

12、別為AC PC的中點 . DE -LAP 于 E. (1)求證：AP_L平面BDE; (2)求證：平面BDE 1平面BDF; ⑶若AE： EP=1： 2,求截面BE分三^B隹P-ABCf成兩部分的體積比. (1)【解】??? PC "L平面 ABC .BD u 平面 ABC,，PC -L BD . 由AB=BC,四 AC勺中點，得 BD _L AC .又 PCc AC =C BD _L 平面 PAC. 又 PAu 平面 PAC,，BD _LPA. 由已知 DE _ PA DE - BD =D AP_L平面 BDE. (2)【證明】 由BD _L平面PAC .DE u平

13、面PAC,得BD _L DE . 由D> F分別為AG PC勺中點，得DF// AP. 又已知 DE J_ AP DE _LDF . . BD - DF = D DE _L平面 BDF. 又「 DE U平面BDE, ，平面BDE _L平面BDF. (3)【解】 設點E和點AilJ平面PBC勺距離分別為 ％和卜2 .則h1 ： h2 = EP ： AP=2： 3, .Vp EBF Ve PBF 3 0 PBF 2 1 .. = = = =— . VP ABC V A PBC 1 1k Q 3 M 2 3 3 h2 S PBC 故截面BE野三^B隹P-ABCf成兩部分白^體積比為1 ： 2或2 ： 1.