高考數(shù)學理一輪資源庫 第2章學案12

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1、 精品資料 學案12　函數(shù)模型及其應用 導學目標： 1.能夠應用函數(shù)知識構造函數(shù)模型，解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題.2.能利用函數(shù)與方程、不等式之間的關系，解決一些簡單問題． 自主梳理 1．幾種常見函數(shù)模型 (1)一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k、b為常數(shù)，k≠0)； (2)反比例函數(shù)模型：y＝＋b(k、b為常數(shù)，k≠0)； (3)二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a、b、c為常數(shù)，a≠0)，二次函數(shù)模型是高中階段應用最為廣泛的模型，在高考的應用題考查中是最為常見的； (4)指數(shù)函數(shù)模型：y＝kax＋b(k、a、b為常

2、數(shù)，k≠0，a>0且a≠1)； (5)對數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(m、n、a為常數(shù)，m≠0，a>0且a≠1)； (6)冪函數(shù)模型：y＝axn＋b(a、b、n為常數(shù)，a≠0，n≠0)； (7)分式函數(shù)模型：y＝x＋(k>0)； (8)分段函數(shù)模型． 2．解應用題的方法和步驟 用框圖表示如下： 自我檢測 1． 某工廠八年來某種產(chǎn)品總產(chǎn)量C與時間t(年)的函數(shù)關系如圖所示，下列四種說法： ①前三年中產(chǎn)量增長速度越來越快； ②前三年中產(chǎn)量增長的速度越來越慢； ③第三年后，這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)； ④第三年后，年產(chǎn)量保持不變． 其中說法正確的是________．(填上

3、正確的序號) 2．(2011廣州模擬)計算機的價格大約每3年下降，那么今年花8 100元買的一臺計算機，9年后的價格大約是________元． 3．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為________． 4．(2009浙江)某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個時間段進行分時計價．該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價表如下： 高峰時間段用電價格表 高峰月用電量 (單位：千瓦時) 高峰電價 (單位：元/千瓦時) 50及以下的部分 0.568 超過5

4、0至200的部分 0.598 超過200的部分 0.668 低谷時間段用電價格表 低谷月用電量 (單位：千瓦時) 低谷電價 (單位：元/千瓦時) 50及以下的部分 0.288 超過50至200的部分 0.318 超過200的部分 0.388 若某家庭5月份的高峰時間段用電量為200千瓦時，低谷時間段用電量為100千瓦時，則按這種計費方式該家庭本月應付的電費為________元(用數(shù)字作答)． 5．一個人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)

5、定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09 mg/mL，那么，一個喝了少量酒后的駕駛員，至少經(jīng)過________小時，才能開車？(精確到1小時) 探究點一　一次函數(shù)、二次函數(shù)模型 例1　某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關系式可以近似地表示為y＝－48x＋8 000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸． (1)求年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元，那么當年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？ 變式遷移1　(2010江蘇啟東中學模擬

6、)即將開工的上海與周邊城市的城際列車鐵路線將大大緩解交通的壓力，加速城市之間的流通．根據(jù)測算，如果一列火車每次拖4節(jié)車廂，每天能來回16次；如果每次拖7節(jié)車廂，則每天能來回10次．每天來回次數(shù)是每次拖掛車廂個數(shù)的一次函數(shù)，每節(jié)車廂一次能載客110人，試問每次應拖掛多少節(jié)車廂才能使每天營運人數(shù)最多？并求出每天最多的營運人數(shù)．(注：營運人數(shù)指火車運送的人數(shù))． 探究點二　分段函數(shù)模型 例2　據(jù)氣象中心觀察和預測：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側部分

7、的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km)． (1)當t＝4時，求s的值； (2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學關系式表示出來； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由． 變式遷移2　某市居民自來水收費標準如下：每戶每月用水不超過4噸時，每噸為1.80元，當用水超過4噸時，超過部分每噸3.00元．某月甲、乙兩戶共交水費y元，已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x,3x(噸)． (1)求y關于x的函數(shù)； (2)若甲、乙兩戶該月共交水費26.4元，分別求出甲

8、、乙兩戶該月的用水量和水費． 探究點三　指數(shù)函數(shù)模型 例3　諾貝爾獎發(fā)放方式為：每年一發(fā)，把獎金總額平均分成6份，獎勵給分別在6項(物理、化學、文學、經(jīng)濟學、生理學和醫(yī)學、和平)為人類作出最有益貢獻的人，每年發(fā)放獎金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半，另一半利息作基金總額，以便保證獎金數(shù)逐年增加．假設基金平均年利率為r＝6.24%.資料顯示：1999年諾貝爾獎發(fā)放后基金總額約為19 800萬美元．設f(x)表示第x(x∈N*)年諾貝爾獎發(fā)放后的基金總額(1999年記為f(1)，2000年記為f(2)，…，依次類推)． (1)用f(1)表示f(2)與f(3)，并根據(jù)所求結

9、果歸納出函數(shù)f(x)的表達式； (2)試根據(jù)f(x)的表達式判斷網(wǎng)上一則新聞“2009年度諾貝爾獎各項獎金高達150萬美元”是否為真，并說明理由． (參考數(shù)據(jù)：1.031 29＝1.32) 變式遷移3　現(xiàn)有某種細胞100個，其中有占總數(shù)的細胞每小時分裂一次，即由1個細胞分裂成2個細胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經(jīng)過多少小時，細胞總數(shù)可以超過1010個？ (參考數(shù)據(jù)：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301) 1．解答應用問題的程序概括為“四步八字”，即(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇模型； (2)建模：將自然語言轉化為數(shù)學

10、語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型； (3)求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論； (4)還原：將數(shù)學結論還原為實際問題的意義． 2．考查函數(shù)模型的知識表現(xiàn)在以下幾個方面： (1)利用函數(shù)模型的單調性比較數(shù)的大??； (2)比較幾種函數(shù)圖象的變化規(guī)律，證明不等式或求解不等式； (3)函數(shù)性質與圖象相結合，運用“數(shù)形結合”解答一些綜合問題． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．(2011南京模擬)擬定甲地到乙地通話m分鐘的電話費f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)(單位：元)，其中m>0，[m]表示不大于m的最大整數(shù)(如[3.

11、72])＝3，[4]＝4)，當m∈[0.5,3.1]時，函數(shù)f(m)的值域是_______________． 2．國家規(guī)定個人稿費納稅辦法是：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4 000元的按超過800元部分的14%納稅；超過4 000元的按全部稿酬的11%納稅．已知某人出版一本書，共納稅420元，這個人應得稿費(扣稅前)為________元． 3．(2011淮安模擬)生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)＝x2＋2x＋20(萬元)．一萬件售價是20萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個月應生產(chǎn)該商品數(shù)量為________萬件．

12、 4．據(jù)某校環(huán)保小組調查，某區(qū)垃圾量的年增長率為b,2009年產(chǎn)生的垃圾量為a t，由此預測，該區(qū)下一年的垃圾量為__________t,2014年的垃圾量為__________t. 5．(2010金華十校3月聯(lián)考)有一批材料可以建成200 m長的圍墻，如果用此批材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣材料隔成三個面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成場地的最大面積為________(圍墻的厚度不計)． 6．已知每生產(chǎn)100克餅干的原材料加工費為1.8元．某食品加工廠對餅干采用兩種包裝，其包裝費用、銷售價格如下表所示： 型號 小包裝 大包裝 重量 100克 300克

13、包裝費 0.5元 0.7元 銷售價格 3.00元 8.4元 則下列說法中正確的是________(填序號) ①買小包裝實惠；②買大包裝實惠；③賣3小包比賣1大包盈利多；④賣1大包比賣3小包盈利多． 7．(2011蘇州調研)一水池有2個進水口，1個出水口，進出水速度如圖甲、乙所示．某天0點到6點，該水池的蓄水量如圖丙所示．(至少打開一個水口) 給出以下3個論斷： ①0點到3點只進水不出水； ②3點到4點不進水只出水； ③4點到6點不進水不出水． 則一定正確的論斷序號是________． 8．(2011常州模擬)為了保證信息安全，傳輸必須使用加密方式，有一種

14、方式其加密、解密原理如下： 明文密文密文明文 已知加密為y＝ax－2(x為明文、y為密文)，如果明文“3”通過加密后得到密文為“6”，再發(fā)送，接受方通過解密得到明文“3”，若接受方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文是________． 二、解答題(共42分) 9．(14分)(2010湖南師大附中仿真)設某企業(yè)每月生產(chǎn)電機x臺，根據(jù)企業(yè)月度報表知，每月總產(chǎn)值m(萬元)與總支出n(萬元)近似地滿足下列關系：m＝x－，n＝－x2＋5x＋，當m－n≥0時，稱不虧損企業(yè)；當m－n<0時，稱虧損企業(yè)，且n－m為虧損額． (1)企業(yè)要成為不虧損企業(yè)，每月至少要生產(chǎn)多少臺電機？ (2)當月總產(chǎn)值為多

15、少時，企業(yè)虧損最嚴重，最大虧損額為多少？ 10．(14分)某單位用2 160萬元購得一塊空地，計劃在該塊地上建造一棟至少10層、每層2 000平方米的樓房．經(jīng)測算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費用為560＋48x(單位：元)．為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？(注：平均綜合費用＝平均建筑費用＋平均購地費用，平均購地費用＝) 11．(14分)某賓館有相同標準的床位100張，根據(jù)經(jīng)驗，當該賓館的床價(即每張床每天的租金)不超過10元時，床位可以全部租出，當床位高于10元時，每提高1元，將有3張床位空閑．為了獲得較好

16、的效益，該賓館要給床位一個合適的價格，條件是：①要方便結賬，床價應為1元的整數(shù)倍；②該賓館每日的費用支出為575元，床位出租的收入必須高于支出，而且高出得越多越好．若用x表示床價，用y表示該賓館一天出租床位的凈收入(即除去每日的費用支出后的收入)． (1)把y表示成x的函數(shù)，并求出其定義域； (2)試確定該賓館將床位定價為多少時，既符合上面的兩個條件，又能使凈收入最多？ 答案 自我檢測 1．②③ 2．300 解析　由題意知，9年后價格為8 100()3＝300(元)． 3．45.6 解析　依題意，可設甲銷售x輛， 則乙銷售(15－x)輛， ∴總利潤S＝5.

17、06x－0.15x2＋2(15－x) ＝－0.15x2＋3.06x＋30 (x≥0)． ∴當x＝10時，Smax＝45.6(萬元)． 4．148.4 解析　高峰時段的電價由兩部分組成，前50千瓦時電價為500.568元，后150千瓦時為1500.598元．低谷時段的電價由兩部分組成，前50千瓦時電價為500.288元，后50千瓦時為500.318元，∴電價為500.568＋1500.598＋500.288＋500.318＝148.4(元)． 5．5 解析　設x小時后，血液中的酒精含量不超過0.09 mg/mL， 則有0.3x≤0.09，即x≤0.3. 估算或取對數(shù)計算，得5小時

18、后，可以開車． 課堂活動區(qū) 例1　解　(1)每噸平均成本為(萬元)． 則＝＋－48 ≥2－48＝32， 當且僅當＝，即x＝200時取等號． ∴年產(chǎn)量為200噸時，每噸平均成本最低為32萬元． (2)設年獲得總利潤為R(x)萬元， 則R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000 ＝－＋88x－8 000 ＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)． ∵R(x)在[0,210]上是增函數(shù)， ∴x＝210時，R(x)有最大值為－(210－220)2＋1 680＝1 660. ∴年產(chǎn)量為210噸時，可獲得最大利潤1 660萬元． 變式遷移1　解　設這列火車每天

19、來回次數(shù)為t次，每次拖掛車廂n節(jié)，則設t＝kn＋b. 由解得 ∴t＝－2n＋24. 設每次拖掛n節(jié)車廂每天營運人數(shù)為y， 則y＝tn1102＝2(－220n2＋2 640n)， 當n＝＝6時，總人數(shù)最多為15 840人． 答　每次應拖掛6節(jié)車廂才能使每天的營運人數(shù)最多為15 840人． 例2　解　(1)由圖象可知： 當t＝4時，v＝34＝12(km/h)， ∴s＝412＝24(km)． (2)當0≤t≤10時，s＝t3t＝t2， 當10

20、)2(t－20)＝－t2＋70t－550. 綜上，可知s＝ (3)∵t∈[0,10]時，smax＝102＝150<650， t∈(10,20]時，smax＝3020－150＝450<650， ∴當t∈(20,35]時，令－t2＋70t－550＝650. 解得t1＝30，t2＝40.∵204時，y＝41.8＋3x1.8＋3(5x

21、－4)＝20.4x－4.8. 當乙的用水量超過4噸，即3x>4時， y＝241.8＋3[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6. 所以y＝ (2)由于y＝f(x)在各段區(qū)間上均單調遞增， 當x∈時，y≤f<26.4； 當x∈時，y≤f<26.4； 當x∈時，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5. 所以甲戶用水量為5x＝7.5噸， 付費S1＝41.8＋3.53＝17.70(元)； 乙戶用水量為3x＝4.5噸， 付費S2＝41.8＋0.53＝8.70(元)． 例3　解題導引　指數(shù)函數(shù)模型的應用是高考的一個主要內(nèi)容，常與增長率相結合進行考查．在實際問題中有人口增長

22、、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以用指數(shù)函數(shù)模型來表示．通?？杀硎緸閥＝a(1＋p)x (其中a為原來的基礎數(shù)，p為增長率，x為時間)的形式． 解　(1)由題意知：f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－f(1)6.24%＝f(1)(1＋3.12%)， f(3)＝f(2)(1＋6.24%)－f(2)6.24% ＝f(2)(1＋3.12%)＝f(1)(1＋3.12%)2， ∴f(x)＝19 800(1＋3.12%)x－1(x∈N*)． (2)2008年諾貝爾獎發(fā)放后基金總額為f(10)＝19 800(1＋3.12%)9＝26 136， 故2009年度諾貝爾獎各項獎金為f(10)6.24

23、%≈136(萬美元)，與150萬美元相比少了約14萬美元，是假新聞． 變式遷移3　解　現(xiàn)有細胞100個，先考慮經(jīng)過1,2,3,4個小時后的細胞總數(shù)， 1小時后，細胞總數(shù)為 100＋1002＝100； 2小時后，細胞總數(shù)為 100＋1002＝100； 3小時后，細胞總數(shù)為 100＋1002＝100； 4小時后，細胞總數(shù)為 100＋1002＝100； 可見，細胞總數(shù)y與時間x(小時)之間的函數(shù)關系為： y＝100()x，x∈N*， 由100()x>1010，得()x>108， 兩邊取以10為底的對數(shù)， 得xlg>8，∴x>， ∵＝≈45.45， ∴x>45.45.

24、 答　經(jīng)過46小時，細胞總數(shù)可以超過1010個． 課后練習區(qū) 1．{1.06,1.59,2.12,2.65} 解析　當0.5≤m<1時，[m]＝0，f(m)＝1.06； 當1≤m<2時，[m]＝1，f(m)＝1.59； 當2≤m<3時，[m]＝2，f(m)＝2.12； 當3≤m≤3.1時，[m]＝3，f(m)＝2.65. 2．3 800 解析　設扣稅前應得稿費為x元，則應納稅額為分段函數(shù)，由題意， 得y＝ 如果稿費為4 000元應納稅為448元，現(xiàn)知某人共納稅420元，所以稿費應在800～4 000元之間， ∴(x－800)14%＝420，∴x＝3 800. 3．18

25、 解析　利潤L(x)＝20x－C(x) ＝－(x－18)2＋142， 當x＝18時，L(x)有最大值． 4．a(chǎn)(1＋b)　a(1＋b)5 解析　由于2009年的垃圾量為a t，年增長率為b，故下一年的垃圾量為a＋ab＝a(1＋b) t，同理可知2011年的垃圾量為a(1＋b)2t，…，2014年的垃圾量為a(1＋b)5 t. 5．2 500 m2 解析　設所圍場地的長為x，則寬為，其中0

26、1單位/小時，故開了1個進水口和1個出水口，4點到6點蓄水不變，速度為0，故開了2個進水口和1個出水口． ∴①正確，②③錯誤． 8．4 解析　依題意y＝ax－2中，當x＝3時，y＝6， 故6＝a3－2，解得a＝2. 所以加密為y＝2x－2，因此，當y＝14時，由14＝2x－2，解得x＝4. 9．解　(1)由已知， m－n＝x－－ ＝x2－x－2.……………………………………………………………………………(4分) 由m－n≥0，得x2－2x－8≥0，解得x≤－2或x≥4. 據(jù)題意，x>0，所以x≥4. 故企業(yè)要成為不虧損企業(yè)，每月至少要生產(chǎn)4臺電機．………………………………

27、(7分) (2)若企業(yè)虧損最嚴重，則n－m取最大值． 因為n－m＝－x2＋5x＋－x＋ ＝－＝－(x－1)2.………………………………………………………(11分) 所以當x＝1時，n－m取最大值， 此時m＝－＝. 故當月總產(chǎn)值為萬元時，企業(yè)虧損最嚴重，最大虧損額為萬元．……………(14分) 10．解　設樓房每平方米的平均綜合費用為f(x)元， 則f(x)＝(560＋48x)＋＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)．…………(6分) ∵f(x)＝560＋48(x＋)≥560＋482＝560＋4830＝2 000.……………(12分) 當且僅當x＝時，上式取等號，即x＝15時

28、，f(x)min＝2 000. 所以樓房應建15層．……………………………………………………………………(14分) 11．解　(1)依題意有 y＝………………………………………………(4分) 由于y>0且x∈N*， 由　得6≤x≤10，x∈N*. 由 得1010時，y＝－3x2＋130x－575，當且僅當x＝－＝時，y取最大值，但x∈N*，所以當x＝22時，y＝－3x2＋130x－575 (10