二次函數(shù)與幾何圖形的綜合有解析（2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題）

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二次函數(shù)與幾何圖形的綜合有解析（2019 年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題）專題八 二次函數(shù)與幾何圖 形的綜合中考備考攻略二次函數(shù)與幾何的綜合問題一般作為壓軸題呈現(xiàn),具有知識點多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關(guān)系復(fù)雜、綜合性強、解題方法靈活等鮮明特點,同時題型變化多樣,如求線段的長、求圖形的面積、特殊三角形的存在性、特殊四邊形的存在性、相似三角形的存在性等等.1.二次函數(shù)與線段的長(1)一般設(shè)拋物線上點的橫坐標為 x,縱坐標為拋物線解析式,與之相關(guān)的點的橫坐標也為 x,縱坐標為直線解析式,兩點縱坐標之差的絕對值即為線段的長度；(2)建立關(guān)于線段長的二次函數(shù),通過求二次函數(shù)的最值進而求線段長的最值；(3)線段長之和最小的問題,轉(zhuǎn)化為對稱點后用兩點之間線段最短解決.2.二次函數(shù)與圖形的面積(1)根據(jù)二次函數(shù)中不同圖形的特點選擇合適的方法解答圖形的面積；(2)通過觀察、分析、概括、總結(jié)等方法了解二次函數(shù)面積問題的基本類型,并掌握二次函數(shù)中面積問題的相關(guān)計算,從而體會數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用；(3)利用二次函數(shù)的解析式求出相關(guān)點的坐標,從而得出相關(guān)線段長,利用割補方法求圖形的面積.3.二次函數(shù)與特殊三角形(1)判斷等腰三角形,可以對頂點進行分類討論；(2)判斷直角三角形,可以對直角頂點進行分類討論.4.二次函數(shù)與特殊四邊形此類題型結(jié)合特殊四邊形的判定方法,對對應(yīng)邊進行分類討論,求平行四邊形存在類問題用平移法解坐標較簡單,其他特殊的平行四邊形結(jié)合判斷方法用邊相等、角為直角或?qū)蔷€的交點坐標突破.5.二次函數(shù)與相似三角形結(jié)合相似三角形判定 方法, 如果一個角為直角 ,只需兩直角邊之比分別相等,此時要對對應(yīng)邊分類討論.中考重難點突破二次函數(shù)與線段的長例 1 (2018?遂寧中考改編)如圖,已知拋物線y＝ax2＋32x＋4 的對稱軸是直線 x＝3,且與 x 軸相交于 A,B 兩點(B 點在 A 點右側(cè)),與 y 軸交于 C 點. (1)求拋物線的解析式和 A,B 兩點的坐標；(2)若 M 是拋物線上任意一點,過點 M 作 y 軸的平行線,交直線 BC 于點 N,當 MN＝3 時,求點 M 的坐標.【解析】(1)由拋物線的對稱軸 x＝ 3,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到 a 的值 ,進而可得出拋物線的解析式,再利用拋物線與 x 軸交點的縱坐標為 0 可求出點 A,B 的坐標；(2)根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點 C 的坐標.由點 B,C 的坐標 ,利用待定系數(shù)法可得直線 BC 的解析式.設(shè)點 M 的橫坐標為 m,可表示點 M 的縱坐標.又由 MN∥y 軸, 可表示出點 N 的橫縱坐標,進而可用m 的代數(shù)式表示出 MN 的長,結(jié)合 MN＝3 即可得出關(guān)于 m 的含絕對值符號的一元二次方程,分類討論即可得出結(jié)果.【答案】解：(1)∵拋物線 y＝ax2＋32x ＋4 的對稱軸是直線 x＝3, ∴－322a＝3,解得 a＝－14,∴拋物線的解析式為 y＝－14x2 ＋32x＋4.當 y＝0 時 ,－14x2＋32x ＋4＝0,解得 x1＝－2,x2 ＝8.∴點 A 的坐標為(－2,0),點 B 的坐標為(8,0) ；(2)當 x＝0 時,y＝－14x2＋32x ＋4＝4,∴點 C 的坐標為(0,4).設(shè)直線 BC 的解析式為 y＝kx＋b(k≠0).將 B(8,0),C(0,4)代入 y＝kx＋b,得8k＋b＝0，b＝4，解得 k＝－12， b＝4 ，∴直線 BC 的解析式為 y＝－12x＋4.設(shè)點 M 的坐標為 m，－14m2＋32m＋4,則點 N 的坐標為 m，－12m＋4,∴MN ＝－14m2＋32m＋4－－12m＋4＝－14m2＋2m.又∵MN ＝3,∴－14m2＋2m＝3.當－14m2＋2m≥0,即 0≤m≤8 時,－14m2 ＋2m＝3,解得 m1＝2,m2＝6,此時點 M 的坐標為(2,6)或(6,4).同理,當－14m2＋2m＜0,即 m8 或 m0 時,點 M 的坐標為(4－27,7－1)或(4＋27,－7－1).綜上所述,點 M 的坐標為(2,6),(6,4),(4－27,7 －1)或(4＋27,－7－1).1.(2018?安順中考改編) 如圖,已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為直線 x＝－1, 且拋物線與 x 軸交于 A,B 兩點,與 y 軸交于點 C,其中 A(1,0),C(0,3).(1)若直線 y＝mx ＋n 經(jīng)過 B,C 兩點,求直線 BC 和拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸 x＝－1 上找一點 M,使點 M 到點 A 的距離與到點 C 的距離之和最小,求出點 M 的坐標.解：(1)依題意,得－b2a＝－ 1，a＋ b＋c ＝0，c＝3，解得 a＝－1，b＝－2，c＝3，∴拋物線的解析式為 y＝－x2 －2x＋3.令 y＝0,則－x2－2x＋3＝0,解得 x1＝1,x2 ＝－3,∴點 B(－3, 0).把 B(－3,0),C(0,3) 代入 y＝mx＋n,得－3m＋n＝0，n＝3，解得 m＝1，n＝3，∴直線 BC 的解析式為 y＝x＋3；(2)設(shè)直線 BC 與 x＝－1 的交點為 M,連接 AM.∵點 A,B 關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,∴MA＝MB,∴MA＋MC＝MB ＋MC＝BC,∴當點 M 為直線 BC 與 x＝－1 的交點時,MA＋MC 的值最小.把 x＝－1 代入 y＝x＋3,得 y＝2,∴M(－1,2).二次函數(shù)與圖形的面積例 2 (2018?達州中考改編)如圖,拋物線經(jīng)過原點O(0,0),A(1,1),B(72,0).(1)求拋物線的解析式；(2)連接 OA,過點 A 作 AC⊥OA 交拋物線于點 C,連接OC,求△AOC 的面積.【解析】(1)設(shè)交點式 y＝axx －72,然后把 A 點坐標代入求出 a,即可得到拋物線的解析式；(2)延長 CA 交 y 軸于點 D,易得 OA＝2,∠DOA＝45°,則可判斷△AOD 為等腰直角三角形 ,由此可求出 D 點坐標,利用待定系數(shù)法求出直線 AD 的解析式,再結(jié)合拋物線的解析式可得關(guān)于 x 的一元二次方程 ,解方程可得點 C 的坐標,利用三角形面積公式及 S△AOC＝S△ COD－S△AOD 進行計算,進而得出△AOC 的面積.【答案】解：(1)設(shè)拋物線的解析式為 y＝axx－72.把 A(1,1)代入 y＝axx－72,可得 a＝－25,∴拋物線的解析式為 y＝－25xx－72,即 y＝－25x2 ＋75x；(2)延長 CA 交 y 軸于點 D.∵A(1,1),∠OAC＝90°,∴OA＝2,∠DOA ＝45°,∴△AOD 為等腰直角三角形,∴OD＝2OA＝2,∴D (0,2).由點 A(1,1),D(0,2),得直線 AD 的解析式為 y＝－x＋2.令－25x2＋75x＝－x＋2,解得 x1＝1,x2＝5.當 x＝ 5 時,y＝－x＋2＝－3,∴C(5, －3),∴S△AOC ＝S △COD－S△AOD＝12×2×5－12×2×1＝4.2.(2018?眉山中考改編) 如圖,已知拋物線y＝ax2＋bx＋c 經(jīng)過點 A(0,3),B(1,0),其對稱軸為直線l：x＝ 2,過點 A 作 AC∥x 軸交拋物線于點 C,∠AOB 的平分線交線段 AC 于點 E,點 P 是拋物線上的一個動點 ,設(shè)其橫坐標為 m.(1)求拋物線的解析式；(2)若動點 P 在直線 OE 下方的拋物線上 ,連接 PE,PO,當 m 為何值時, 四邊形 AOPE 的面積最大？并求出其最大值.解：(1)由拋物線的對稱性易得 D(3,0),設(shè)拋物線的解析式為 y＝a(x －1)(x－3).把 A(0,3)代入 y＝a(x－1)(x－3),得 3＝3a,解得 a＝1,∴拋物線的解析式為 y＝x2 －4x＋3 ；(2)由題意知 P(m,m2－4m＋3).∵OE 平分∠AOB,∠AOB ＝90°,∴∠AOE＝45 °,∴△AOE 是等腰直角三角形 ,∴AE ＝OA＝3,∴E(3,3).易得 OE 的解析式為 y＝x.過點 P 作 PG∥y 軸,交 OE 于點 G,則 G(m,m),∴PG＝m－(m2－4m＋3) ＝－m2＋5m －3.∴S 四邊形 AOPE＝S△AOE ＋S△PO E＝12 ×3×3＋12PG?AE＝92 ＋12 ×(－m2＋5m－3) ×3＝－32m2＋152m＝－32m－522＋758.∵－32 ＜0,∴當 m＝52 時,四邊形 AOPE 的面積最大, 最大值是758.二次函數(shù)與特殊三角形例 3 (2018?棗莊中考改編)如圖,已知二次函數(shù)y＝ax2＋32x＋c(a≠0)的圖象與 y 軸交于點 A(0,4),與x 軸交于點 B,C,點 C 坐標為(8,0),連接 AB,AC.(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)若點 N 在 x 軸上運動 ,當以點 A,N,C 為頂點的三角形是等腰三角形時,請寫出此時點 N 的坐標.【解析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可得出答案；(2)分別以 A,C 兩點為圓心,AC 長為半徑畫弧,與 x 軸交于三個點,由 AC 的垂直平分線與 x 軸交于一個點,即可求得點 N 的坐標.【答案】解：(1)∵二次函數(shù) y＝ax2＋32x ＋c 的圖象與 y 軸交于點 A(0,4),與 x 軸交于點 C(8,0),∴c＝4，64a ＋12 ＋c ＝0，解得 a＝－ 14，c＝4，∴二次函數(shù)的表達式為 y＝－14x2＋32x＋4；(2)∵A(0,4),C(8,0),∴AC＝42＋82 ＝45.①以點 A 為圓心,AC 長為半徑作圓,交 x 軸于點 N,則AN＝AC,故△NAC 是以 NC 為底邊的等腰三角形,此時N 點坐標為(－8,0)；②以點 C 為圓心,AC 長為半徑作圓,交 x 軸于點 N,則CN＝CA,故△ACN 是以 NA 為底邊的等腰三角形,此時N 點坐標為(8 －45,0)或(8＋45,0) ；③作 AC 的垂直平分線,交 x 軸于點 N,則 NA＝NC,故△ANC 是以 AC 為底邊的等腰三角形,此時點 N 為 BC 的中點.令 y＝－14x2＋32x ＋4＝0,解得 x1＝8,x2 ＝－2,此時 N 點坐標為(3,0).綜上所述,點 N 在 x 軸上運動,當以點 A,N,C 為頂點的三角形是等腰三角形時,點 N 的坐標為(－8,0),(8－45,0),(3,0)或(8＋45,0).3.(2018?蘭州中考) 如圖,拋物線 y＝ax2 ＋bx－4 經(jīng)過A(－3,0),B(5, －4)兩點,與 y 軸交于點 C,連接 AB,AC,BC.(1)求拋物線的表達式；(2)求證：AB 平分∠CAO；(3)拋物線的對稱軸上是否存在點 M,使得△ABM 是以AB 為直角邊 的直角三角形？若存在,求出點 M 的坐標；若不存在,請說明理由.(1)解：將 A(－3,0),B(5, －4)代入 y＝ax2＋bx－ 4,得9a－ 3b－4＝0，25a＋5b－4＝－4 ，解得a＝16，b＝－56，∴拋物線的表達式為 y＝16x2 －56x－4；(2)證明：∵AO＝ 3,OC＝4,∴AC＝5.取 D(2,0),則 AD＝ AC＝5.由兩點間的距離公式可知 BD＝（5 －2）2＋（－4－0）2 ＝5.∵C(0,－4),B(5, －4),∴BC＝5.∴AD＝AC＝BD＝BC.∴四邊形 ACBD 是菱形 ,∴∠CAB＝∠BAD,∴AB 平分∠CAO；(3)解：如圖,拋物線的對稱軸交 x 軸與點 E,交 BC 與點F,過點 A,B 分別作 M′A⊥AB,MB⊥AB,交對稱軸于點M′,M.拋物線的對稱軸為 x＝52,AE＝ 115.∵A(－3,0),B(5, －4), ∴tan ∠EAB ＝12.∵∠M′AB＝90° ,∴tan ∠M′AE＝2.∴M′E＝2AE＝11,∴M′52，11.同理,tan ∠MBF ＝2.又∵BF＝52, ∴FM＝5,∴M52，－9.綜上所述,拋物線的對稱軸上存在點 M52，11 或52，－ 9,使得△ABM 是以 AB 為直角邊的直角三角形.二次函數(shù)與四邊形例 4 (2018?河南中考改編)如圖,拋物線y＝ax2＋6x＋c 交 x 軸 于 A,B 兩點,交 y 軸于點 C,直線y＝x－5 經(jīng)過點 B,C.(1)求拋物線的解析式；(2)過點 A 的直線交直線 BC 于點 M,當 AM⊥BC 時,過拋物線上一動點 P(不與點 B,C 重合),作直線 AM 的平行線交直線 BC 于點 Q,若以點 A,M,P,Q 為頂點的四邊形是平行四邊形,求點 P 的橫坐標； 【解析】(1)利用直線 BC 的解析式確定點 B,C 的坐標 ,然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；(2)先利用拋物線的解析式求出 A 點坐標 ,再判斷△OCB 為等腰直角三角形,繼而得到∠OBC＝∠OCB＝45°,則△AMB 為等腰直角三 角形,進而求出點 M 的坐標,根據(jù)拋物線和直線 BC 的解析式設(shè)點 P,Q 的坐標,根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分, 即可列出等式方程,解方程即可得到點 P 的橫坐標.【答案】解：(1)當 x＝0 時,y ＝－5,則 C(0,－5).當 y＝0 時 ,y＝x －5＝0,解得 x＝5, 則 B(5,0).把 B(5,0),C(0,－5)代入 y＝ax2＋6x＋c,得25a＋30＋c＝0， c＝－5，解得 a＝－ 1，c＝－5 ，∴拋物線的解析式為 y＝－x2 ＋6x－5 ；(2)令 y＝－ x2＋6x－5＝0,解得 x1＝1,x2 ＝5,∴A(1,0).∵B(5,0),C(0,－5),∠BAC＝90°,∴△ OCB 為等腰直角三角形,∴∠OBC＝∠OCB ＝45°.又∵AM⊥BC,∴△AMB 為等腰直角三角形,∴AM＝22AB＝22×4＝22.∵以點 A,M,P,Q 為頂點的四邊形是平行四邊形,∴AM∥PQ,∴PQ＝AM ＝22,PQ ⊥BC.作 PD⊥x 軸交直線 BC 于點 D,則∠PDQ＝45°,∴PD＝2PQ ＝2× 22＝4.設(shè) P(m,－m2＋6m－5),則 D(m,m－5).當點 P 在直線 BC 上方時,PD＝－m2 ＋6m－5－(m－5)＝－m2＋5m＝4,解得 m1＝1( 舍去),m2 ＝4；當點 P 在直線 BC 下方時,PD＝m－5－(－m2＋6m －5)＝m2－5m＝4,解得 m3＝5＋412,m4 ＝5－412.綜上所述,點 P 的橫坐標為 4,5＋412 或 5－412.4.(2018?濟寧中考改編) 如圖,已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過點 A(3,0),B(－1,0),C(0,－3).(1)求該拋物線的解析式；(2)若點 Q 在 x 軸上,點 P 在拋物線上,是否存在以點 B ,C,Q,P 為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在,求點 P的坐標；若不存在,請說明理由. 解：(1)把 A(3,0),B(－1,0),C(0, －3) 代入 y＝ax2＋bx＋c,得9a＋ 3b＋c＝0，a－b＋c＝0，c＝－3，解得a＝1，b＝－ 2，c＝－3，∴該拋物線的解析式為 y＝x2 －2x－3 ；(2)存在以點 B,C,Q,P 為頂點的四邊形是平行四邊形.設(shè)直線 BC 的解析式為 y＝kx－3,把 B(－1,0)代入,得－k－3＝0,即 k＝－3,∴直線 BC 的解析式為 y＝－3x－3.設(shè) Q(x,0),P(m,m2－2m－3).當四邊形 BCQP 為平行四邊形時 ,BC∥PQ,且 BC＝PQ.由 B(－1,0),C(0, － 3),得點 P 的縱坐標為 3,即m2－2m－3＝3, 解得 m＝1±7,此時 P(1＋7,3)或 P(1－7,3)；當四邊形 BCPQ 為平行四邊形或四邊形是以 BC 為對角線的平行四邊形時,點 P 的縱坐標為－ 3,即m2－2m－3＝－3,解得 m＝0 或 m＝2, 此時 P(2,－3).綜上所述,存在以點 B,C,Q,P 為頂點的四邊形是平行四邊形,P 的坐標為(1＋7,3) 或(1 －7,3),(2,－3).二次函數(shù)與相似三角形例 5 (2018?德州中考改編)如圖,在平面直角坐標系中, 直線 y＝x－1 與拋物線 y＝－x2＋bx ＋c 交于 A,B兩點,其中 A(m,0),B(4,n),該拋物線與 y 軸交于點 C,與x 軸交于另一點 D.(1)求 m,n 的值及該拋物線的解析式；(2)連接 BD,CD,在線段 CD 上是否存在點 Q,使得以A,D,Q 為頂點的三角形與 △ABD 相似？若存在,請求出點 Q 的坐標；若不存在, 請說明理由.【解析】(1)把點 A,B 的坐標代入 y＝x－1 求出 m 與n 的值,確定點 A,B 的坐標,然后代入 y＝－x2＋bx＋c求出 b 與 c 的值即可；(2)由點 C,D 的坐標易得直線 BC 的解析式為 y＝x－5,再由直線 AB 的解析式易得 AB∥CD,因此∠ADC ＝ ∠BAD. 分類討論：當 △DAQ∽△ABD 或△DQA∽△ABD 時, 根據(jù)對應(yīng)邊成比例求出 DQ 的長,即可求出點 Q 的坐標.【答案】解：(1)把點 A(m,0),B(4,n)代入 y＝x－1,得m＝ 1,n＝3,∴A(1,0),B(4,3).∵y＝－x2＋bx＋c 經(jīng)過 A,B 兩點,∴－1＋b＋c＝0，－16＋4b＋c＝3，解得b＝6，c＝－5，∴該拋物線的解析式為 y＝－x2 ＋ 6x－5 ；(2)在線段 CD 上存在點 Q,使得以 A,D,Q 為頂點的三角形與△ABD 相似.由(1)中結(jié)果可知 C(0,－5),D(5,0),∴直線 CD 的解析式為 y＝x－5.又∵直線 AB 的解析式為 y＝x－1,∴AB∥CD,∴∠BAD＝∠ADC.設(shè) Q(x,x－5)(0≤x5).當△ABD∽△DAQ 時,ABDA＝ADDQ,即 324＝4DQ, 解得 DQ＝823,由兩點間的距離公式,得(x－5)2 ＋(x－5)2＝8232,解得x＝73 或 x＝233(舍去),此時 Q73，－83；當△ABD∽△DQA 時,ABDQ ＝ADDA＝1, 即 DQ＝32,∴(x－ 5)2＋(x－5)2＝(32)2,解得 x＝ 2 或 x＝8( 舍去), 此時 Q(2,－3).綜上所述,點 Q 的坐標為 (2,－3) 或 73，－83.5.(2018?深圳中考改編) 已知頂點為 A 的拋物線y＝ax－122－2 經(jīng)過點 B－32 ，2.(1)求拋物線的解析式；(2)如圖, 直線 AB 與 x 軸相交于點 M,與 y 軸相交于點 E,拋物線與 y 軸相交于點 F,在直線 AB 上有一點 P,若∠OPM＝∠MAF,求△POE 的面積.解：(1)把點B－32 ，2 代入 y＝ax－122 －2,解得 a＝1,∴拋物線的解析式為 y＝x －122－2,即 y＝x2－x－74；(2)由(1) 中結(jié)果得 A12，－2,F0，－74.設(shè)直線 AB 的解析式為 y＝kx＋b,由點 A,B 的坐標,得－2 ＝12k＋b，2＝－32k＋b，解得k＝－2，b＝－1，∴直線 AB 的解析式為 y＝－2x－1,∴OE＝1,FE＝34.若∠OPM＝∠MAF,則當 OP∥AF 時,△OPE ∽△FAE,∴OPFA＝OEFE＝134＝43,∴OP＝43FA＝43×12－02 ＋－2＋742＝53.設(shè)點 P(t,－2t－1),則 OP＝t2＋（－2t－1）2 ＝53,即(15t＋2)(3t＋2)＝0,解得 t1＝－215,t2＝－23.由對稱性知,當 t1＝215 時, 也滿足∠OPM ＝∠MAF,∴t1,t2 的值都滿足條件.∵S△POE＝12OE?|t|,∴當 t＝－215 時 ,S△OPE＝12×1×215＝115 ；當 t＝－23 時,S△OPE＝12×1×23＝13.綜上所述,△POE 的面積為 115 或 13.中考專題過關(guān)1.(2018?自貢中考改編) 如圖,拋物線 y＝ax2 ＋bx－3過 A(1,0),B(－3,0)兩點,直線 AD 交拋物線于點 D,點 D的橫坐標為－2,點 P(m,n)是線段 AD 上的動點.(1)求直線 AD 及拋物線的解析式；(2)過點 P 的直線垂直于 x 軸,交拋物線于點 Q,求線段PQ 的長度 l 與 m 的關(guān)系式,m 為何值時 ,PQ 最長？解：(1)把(1,0),(－3,0)代入 y＝ax2＋bx －3, 得a＋b－3＝ 0，9a－3b －3＝0，解得 a＝1，b＝2 ，∴拋物線的解析式為 y＝x2 ＋2x－3.當 x＝－2 時,y＝( －2)2＋2×(－2)－3 ＝－3,即 D(－2,－3).設(shè)直線 AD 的解析式為 y＝kx＋b′ .將 A(1,0),D(－2,－3) 代入,得k＋ b′＝0，－2k＋b′＝－3，解得k＝ 1，b′＝－1，∴直線 AD 的解析式為 y＝x－1 ；(2)由(1) 可得 P(m,m－1),Q(m,m2 ＋ 2m－3),∴l(xiāng)＝(m －1)－(m2＋2m－3),即 l＝－m2－m＋2( －2≤m≤1),配方,得 l＝－m＋122 ＋94,∴當 m＝－12 時,PQ 最長.2.(2018?中考改編) 如圖,在平面直角坐標系中 ,拋物線y＝ax2＋bx－5 交 y 軸于點 A,交 x 軸于點 B(－5,0)和點 C(1,0).(1)求該拋物線的解析式；(2)若點 P 是直線 AB 下方的拋物線上一動點,當點 P 運動到某一位置時,△ABP 的面積最大,求出此時點 P 的坐標和△ABP 的最大面積.解：(1)∵拋物線 y＝ax2＋bx －5 交 y 軸于點 A,交 x 軸于點 B(－5,0)和點 C(1,0),∴25a－5b－5＝0，a＋b－5＝0，解得 a＝1 ，b＝4，∴該拋物線的解析式為 y＝x2 ＋4x－5 ；(2)設(shè)點 P 的坐標為(p,p2＋4p－5),如圖.由點 A(0,－5),B(－5,0) 得直線 AB 的解析式為y＝－x－5.當 x＝ p 時,y＝－p－5.∵OB＝5,∴S△ABP＝（－p－5）－（p2＋4p－5 ）2?5＝－52p＋522 －254.∵點 P 是直線 AB 下方的拋物線上一動點,∴－5＜p＜0,∴當 p＝－52 時,S 取得最大值,此時 S＝ 1258,點 P 的坐標是－52，－354,即當點 P 的坐標為－ 52，－354 時,△ABP 的面積最大,此時△ABP 的面積是 1258.3.(2018?泰安中考改編) 如圖,在平面直角坐標系中 ,二次函數(shù) y＝ax2＋ bx＋c 交 x 軸于點 A(－4,0),B(2,0), 交y 軸于點 C(0,6),在 y 軸上有一點 E(0,－2),連接 AE.(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)拋物線對稱軸上是否存在點 P,使 △AEP 為等腰三角形？若存在,請求出所有 P 點坐標；若不存在 ,請說明理由.解：(1)∵二次函 數(shù) y＝ax2＋bx＋c 經(jīng)過點 A(－4,0),B(2,0),C(0,6),∴16a－4b＋c＝0 ，4a＋2b＋c ＝0，c＝6 ，解得a＝－34 ，b＝－32，c＝6 ，∴二次函數(shù)的表達式為 y＝－34x2－32x＋6；(2)在拋物線對稱軸上存在點 P,使△ AEP 為等腰三角形.∵拋物線 y＝－34x2 －32x＋6 的對稱軸為 x＝－1, ∴設(shè) P(－1,n).又∵E(0,－2),A(－4,0),∴PA＝9＋n2,PE＝1＋（n＋2）2,AE＝ 16＋4＝25.當 PA＝PE 時,9＋n2＝1＋（n＋2）2,解得 n＝1,此時 P(－1,1) ；當 PA＝AE 時,9＋n2＝25,解得 n＝±11,此時 P(－1,±11)；當 PE＝AE 時,1＋（n＋2 ）2＝25,解得 n＝－2±19,此時 P (－1,－2±19).綜上所述,點 P 的坐標為 (－1,1),(－1, ±11)或(－1,－2±19).4.(2018?上海中考) 如圖,在平面直角坐標系 xOy 中,已知拋物線 y＝－12x2 ＋bx＋c 經(jīng)過點 A(－1,0) 和點B0，52,頂點為 C,點 D 在其對稱軸上且位于點 C 下方,將線段 DC 繞點 D 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 90°,點 C 落在拋物線上的點 P 處 .(1)求這條拋物線的表達式；(2)求線段 CD 的長；(3)將拋物線平移,使其頂點 C 移到原點 O 的位置,這時點 P 落在點 E 的位置,如果 點 M 在 y 軸上,且以 O,D,E,M為頂點的四邊形面積為 8,求點 M 的坐標.解：(1)把 A(－1,0),B0，52 代入 y＝－12x2＋bx＋c,得－12 －b＋c＝0 ，c＝52，解得 b＝2，c＝52，∴這條拋物線的表達式為 y＝－12x2＋2x ＋52；(2)∵y＝－ 12(x－2)2＋92,∴C2，92,拋物線的對稱軸為直線 x＝2.如圖,設(shè) CD＝t, 則 D2，92－t.由題意,得∠PDC＝90 °,DP＝DC＝ t,∴P2＋t， 92－t.把 P2＋t ，92－t 代入 y＝－12x2＋2x＋52,可得t1＝0(舍去),t2＝2.∴線段 CD 的長為 2；(3)由(2) 易知 P4，52,D2，52.∴平移后,E 點坐標為(2,－2).設(shè) M(0,m),則 12?|m|＋52＋2?2＝8,∴m ＝±72,∴點 M 的坐標為 0，72 或 0，－ 72.5.(2018?綿陽中考改編) 如圖,已知拋物線y＝ax2＋bx(a≠0)過點 A(3,－3)和點 B(33,0).過點 A 作直線 AC∥x 軸, 交 y 軸于點 C.(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線上取一點 P,過點 P 作直線 AC 的垂線,垂足為點 D.連接 OA,使得以 A,D,P 為頂點的三角形與△AOC 相似,求出對應(yīng)點 P 的坐標.解：(1)把點 A(3,－3),B(33,0)代入 y＝ax2＋bx,得3a＋ 3b＝－3，27a＋33b＝0，解得 a＝12，b＝－332.∴拋物線的解析式為 y＝12x2 －332x；(2)設(shè) P 點坐標為 x，12x2 －332x.①若點 P 在直線 AD 上方, 則AD＝x－3,PD＝12x2 －332x ＋3.當△OCA∽△ADP 時,OCAD＝CADP,即 3x－3＝312x2－332x＋3,∴x＝ 833 或 x＝3( 舍去), 此時 P833，－43；當△OCA∽△PDA 時,OCPD＝CADA,即 312x2－332x＋3＝3x －3,∴x＝ 43 或 x＝3( 舍去), 此時 P(43,6)；②若 P 在直線 AD 下方, 同理可得點 P 的坐標為433，－103.綜上所述,點 P 的坐標為 833，－43,(43,6)或433，－103.6.如圖,在 ⊙C 的內(nèi)接△AOB 中,AB ＝AO＝4,tan ∠AOB＝34,拋物線 y＝ax2＋bx 經(jīng)過點 A(4,0),(－2,6).(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)直線 m 與⊙C 相切于點 A,交 y 軸于點 D.動點 P 在線段 OB 上,從點 O 出發(fā)向點 B 運動；同時動點 Q 在線段 DA 上, 從點 D 出發(fā)向點 A 運動；點 P 的速度為每秒 1 個單位長度,點 Q 的速度為每秒 2 個單位長度.當 PQ⊥AD 時,求運動時間 t 的值.解：(1)∵拋物線 y＝ax2＋bx 經(jīng)過點 A(4,0),(－2,6),∴16a＋4b＝0，4a－2b＝6，解得 a＝12，b＝－2.∴拋物線的解析式為 y＝12x2 －2x.(2)連接 AC 交 OB 于點 E,由垂徑定理得 AC⊥OB.∵AD 為⊙C 的切線,∴AC⊥AD.∴AD∥OB.∴∠AOB＝∠OAD.∵tan ∠AOB＝34,∴tan ∠OAD＝34.∴OD＝OA tan ∠OAD＝4×34＝3.當 PQ⊥AD 時,OP＝t,DQ ＝2t.過點 O 作 OF⊥AD 于點 F,則四邊形 OFQP 是矩形.∴DF＝DQ －FQ ＝DQ－OP＝2t －t ＝t.∵∠DOF＋∠AOF＝∠OAF ＋∠AOF ＝90°,∴∠DOF＝∠OAF.∴tan ∠DOF＝DFOF＝tan ∠OAD ＝34.∴OF＝43DF.在 Rt△ODF 中,OD＝3,OF ＝43DF,OD2＝OF2 ＋DF2,∴32 ＝( DF)2＋DF2.∴DF＝1.8.∴t＝1.8(s).