2019高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題9 概率與統(tǒng)計(jì) 第2講 綜合大題部分真題押題精練 理.doc

第2講　綜合大題部分 1. (2017高考全國卷Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2)． (1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望； (2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查． ①試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性； ②下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計(jì)算得＝i＝9.97，s＝＝≈0.212，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i＝1,2，…，16. 用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到0.01)． 附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.997 4,0.997 416≈0.959 2，≈0.09. 解析：(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之內(nèi)的概率為0.997 4，從而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率為0.002 6，故X～B(16,0.002 6)．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8. X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝160.002 6＝0.041 6. (2)①如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，發(fā)生的概率很小，因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的． ②由＝9.97，s≈0.212，得μ的估計(jì)值為＝9.97，σ的估計(jì)值為＝0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在(－3，＋3)之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查． 剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(169.97－9.22)＝10.02， 因此μ的估計(jì)值為10.02. ＝160.2122＋169.972≈1 591.134， 剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為(1 591.134－9.222－1510.022)≈0.008， 因此σ的估計(jì)值為≈0.09. 2．(2018高考全國卷Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如下莖葉圖： (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由． (2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表. 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附：K2＝， 解析：(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高． 理由如下： ①由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． ②由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． ③由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需平均時(shí)間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需平均時(shí)間低于80分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． ④由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布．又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分) (2)由莖葉圖知m＝＝80. 列聯(lián)表如下： 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15 (3)因?yàn)镵2＝＝10＞6.635，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異． 3．(2017高考全國卷Ⅲ)某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高 氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列； (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位：瓶)為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？ 解析：(1)由題意知，X所有可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知 P(X＝200)＝＝0.2， P(X＝300)＝＝0.4， P(X＝500)＝＝0.4. 因此X的分布列為 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 (2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500瓶，至少為200瓶，因此只需考慮200≤n≤500. 當(dāng)300≤n≤500時(shí)， 若最高氣溫不低于25，則Y＝6n－4n＝2n； 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n； 若最高氣溫低于20，則Y＝6200＋2(n－200)－4n＝800－2n. 因此EY＝2n0.4＋(1 200－2n)0.4＋(800－2n)0.2＝640－0.4n. 當(dāng)200≤n<300時(shí)， 若最高氣溫不低于20，則Y＝6n－4n＝2n； 若最高氣溫低于20，則Y＝6200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此EY＝2n(0.4＋0.4)＋(800－2n)0.2＝160＋1.2n.所以n＝300時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元． 1. 社會(huì)公眾人物的言行在一定程度上影響著年輕人的人生觀、價(jià)值觀．某媒體機(jī)構(gòu)為了解大學(xué)生對影星、歌星以及著名主持人方面的新聞(簡稱“星聞”)的關(guān)注情況，隨機(jī)調(diào)查了某大學(xué)的200位大學(xué)生，得到信息如下表： 男大學(xué)生 女大學(xué)生 不關(guān)注“星聞” 80 40 關(guān)注“星聞” 40 40 (1)從所抽取的200人內(nèi)關(guān)注“星聞”的大學(xué)生中，再抽取3人做進(jìn)一步調(diào)查，求這3人性別不全相同的概率； (2)是否有95%以上的把握認(rèn)為關(guān)注“星聞”與性別有關(guān)？并說明理由； (3)把以上的頻率視為概率，若從該大學(xué)被調(diào)查的男大學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)這4人中關(guān)注“星聞”的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望． 附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 解析：(1)由已知得，所求概率P＝1－＝. (2)由于K2的觀測值 k＝＝≈5.556>3.841， 故有95%以上的把握認(rèn)為關(guān)注“星聞”與性別有關(guān)． (3)由題意可得，從被調(diào)查的男大學(xué)生中抽取一位關(guān)注“星聞”的男大學(xué)生的概率為＝，不關(guān)注“星聞”的概率為.ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4. P(ξ＝0)＝()4＝； P(ξ＝1)＝C()3＝； P(ξ＝2)＝C()2()2＝＝； P(ξ＝3)＝C()3＝； P(ξ＝4)＝()4＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 P 因?yàn)棣巍獴(4，)，所以E(ξ)＝. 2．某電視臺推出一檔游戲類綜藝節(jié)目，選手面對1～5號五扇大門，依次按響門上的門鈴，門鈴會(huì)播放一段音樂，選手需說出這首歌的名字，若回答正確，則大門打開，并獲得相應(yīng)的家庭夢想基金，且選手可自由選擇是帶著目前的獎(jiǎng)金離開，還是繼續(xù)挑戰(zhàn)以獲得更多的夢想基金；若回答錯(cuò)誤，則游戲結(jié)束并將之前獲得的所有夢想基金清零．整個(gè)游戲過程中，選手有一次求助機(jī)會(huì)，可以詢問親友團(tuán)成員以獲得答案.1～5號門對應(yīng)的家庭夢想基金依次為3 000元、6 000元、8 000元、12 000元、24 000元(以上基金金額為打開大門后的累計(jì)金額，如3號門打開，選手可獲基金的總金額為8 000元)．設(shè)某選手正確回答每一扇門的歌曲名字的概率為pi＝(i＝1,2,3,4,5)，親友團(tuán)正確回答每一扇門的歌曲名字的概率均為0.2，該選手正確回答每一扇門的歌曲名字后選擇繼續(xù)挑戰(zhàn)的概率均為0.5. (1)求選手在2號門使用求助且最終獲得8 000元家庭夢想基金的概率； (2)若選手在整個(gè)游戲過程中不使用求助，且獲得的家庭夢想基金金額為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解析：設(shè)“該選手回答正確i號門的歌曲名稱”為事件Ai(i＝1,2,3,4,5)，“使用求助回答正確歌曲名稱”為事件B，“每一扇門回答正確后選擇繼續(xù)挑戰(zhàn)下一扇門”為事件C， 依題意得，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝， P(A4)＝，P(A5)＝，P(B)＝，P(C)＝. (1)設(shè)事件“選手在2號門使用求助且最終獲得8 000元家庭夢想基金”為事件A，則 P(A)＝P(A1CBCA3)＝(1－)(1－)＝， 所以選手在2號門使用求助且最終獲得8 000元家庭夢想基金的概率為. (2)X的所有可能取值為0,3 000,6 000,8 000，12 000，24 000. P(X＝3 000)＝P(A1)＝＝， P(X＝6 000)＝P(A1CA2)＝＝， P(X＝8 000)＝P(A1CA2CA3)＝＝， P(X＝12 000)＝P(A1CA2CA3CA4)＝＝， P(X＝24 000)＝P(A1CA2CA3CA4CA5)＝＝， P(X＝0)＝1－P(X＝3 000)－P(X＝6 000)－P(X＝8 000)－P(X＝12 000)－P(X＝24 000)＝1－－－－－＝. 所以X的分布列為 X 0 3 000 6 000 8 000 12 000 24 000 P 所以E(X)＝0＋3 000＋6 000＋8 000＋12 000＋ 24 000＝1 250＋1 000＋500＋250＋250＝3 250. 3．為了解某市高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考情況，該市教研機(jī)構(gòu)組織了一次檢測考試，并隨機(jī)抽取了部分高三理科學(xué)生數(shù)學(xué)成績繪制如圖所示的頻率分布直方圖． (1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該市此次檢測理科數(shù)學(xué)的平均成績u0(精確到個(gè)位)； (2)研究發(fā)現(xiàn)，本次檢測的理科數(shù)學(xué)成績X近似服從正態(tài)分布N(u，σ2)(u＝u0，σ約為19.3)，按以往的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，理科數(shù)學(xué)成績能達(dá)到自主招生分?jǐn)?shù)要求的同學(xué)約占40%. ①估計(jì)本次檢測成績達(dá)到自主招生分?jǐn)?shù)要求的理科數(shù)學(xué)成績大約是多少分(精確到個(gè)位)? ②從該市高三理科學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，記理科數(shù)學(xué)成績能達(dá)到自主招生分?jǐn)?shù)要求的人數(shù)為Y，求Y的分布列及數(shù)學(xué)期望E(Y)． [說明：P(X>x1)＝1－φ()表示X>x1的概率． 參考數(shù)據(jù)：φ(0.725 7)＝0.6，φ(0.655 4)＝0.4] 解析：(1)該市此次檢測理科數(shù)學(xué)成績平均成績約為： u0＝650.05＋750.08＋850.12＋950.15＋1050.24＋1150.18＋1250.1＋1350.05＋1450.03＝103.2≈103. (2)①記本次考試成績達(dá)到自主招生分?jǐn)?shù)要求的理科數(shù)學(xué)成績約為x1， 根據(jù)題意， P(x>x1)＝1－φ()＝1－φ()＝0.4， 即φ()＝0.6. 由φ(0.725 7)＝0.6， 得＝0.725 7?x1＝117.0≈117， 所以，本次考試成績達(dá)到自主招生分?jǐn)?shù)要求的理科數(shù)學(xué)成績約為117分． ②因?yàn)閅～B(4，)， 所以P(Y＝i)＝C()i()4－i，i＝0,1,2,3,4. 所以Y的分布列為 Y 0 1 2 3 4 P 所以E(Y)＝4＝.