2018-2019高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末復(fù)習(xí)學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx

第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 章末復(fù)習(xí) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義并能解決有關(guān)斜率、切線方程等的問(wèn)題.2.掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，并能夠綜合運(yùn)用求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值.4.會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題. 知識(shí)點(diǎn)一　在x＝x0處的導(dǎo)數(shù) 1.定義：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率，若Δx無(wú)限趨近于0時(shí)，比值＝無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)A，稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo).常數(shù)A為f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù). 2.幾何意義：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)圖象在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線斜率. 3.物理意義：瞬時(shí)速度、瞬時(shí)加速度. 知識(shí)點(diǎn)二　基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式 函數(shù) 導(dǎo)數(shù) y＝C y′＝0 y＝xα(α為常數(shù)) y′＝αxα－1 y＝sinx y′＝cosx y＝cosx y′＝－sinx y＝ax(a>0且a≠1) y′＝axlna y＝ex y′＝ex y＝logax(a>0且a≠1) y′＝ y＝lnx y′＝ 知識(shí)點(diǎn)三　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 和差的導(dǎo)數(shù) [f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x) 積的導(dǎo)數(shù) [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 商的導(dǎo)數(shù) ′＝(g(x)≠0) 知識(shí)點(diǎn)四　函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù) 1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f′(x)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減. 2.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) (1)極大值：在x＝a附近，滿足f(a)≥f(x)，當(dāng)x<a時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x>a時(shí)，f′(x)<0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)的極大值； (2)極小值：在x＝a附近，滿足f(a)≤f(x)，當(dāng)x<a時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>a時(shí)，f′(x)>0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)的極小值. 知識(shí)點(diǎn)五　求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟 1.求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值. 2.將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值. 特別提醒：(1)關(guān)注導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義 利用導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義時(shí)要特別注意切點(diǎn)是否已知，若切點(diǎn)未知，則設(shè)出切點(diǎn)，用切點(diǎn)坐標(biāo)表示切線斜率. (2)正確理解單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 ①當(dāng)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上為增函數(shù)時(shí)，f′(x)≥0； ②f′(x0)＝0是函數(shù)y＝f(x)在x0處取極值的必要條件. 1.導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn).(　　) 2.在可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)處，切線與x軸平行.(　√　) 3.函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)>0，則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增.(　　) 4.函數(shù)f(x)＝xlnx的最小值為－e－1.(　√　) 類型一　導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用 例1　設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a>0)，直線l是曲線y＝f(x)的一條切線，當(dāng)l的斜率最小時(shí)，直線l與直線10x＋y＝6平行. (1)求a的值； (2)求f(x)在x＝3處的切線方程. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的概念 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用 解　(1)∵f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9， ∴f′(x)min＝－a2－9， 由題意知，－a2－9＝－10，∴a＝1或－1(舍去). 故a＝1. (2)由(1)得a＝1. ∴f′(x)＝x2＋2x－9， 則k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10. ∴f(x)在x＝3處的切線方程為y＋10＝6(x－3)， 即6x－y－28＝0. 反思與感悟　利用導(dǎo)數(shù)求切線方程時(shí)關(guān)鍵是找到切點(diǎn)，若切點(diǎn)未知需設(shè)出.常見的類型有兩種，一類是求“在某點(diǎn)處的切線方程”，則此點(diǎn)一定為切點(diǎn)，易求斜率進(jìn)而寫出直線方程即可得；另一類是求“過(guò)某點(diǎn)的切線方程”，這種類型中的點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，可先設(shè)切點(diǎn)為Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，轉(zhuǎn)化為第一種類型. 跟蹤訓(xùn)練1　求垂直于直線2x－6y＋1＝0并且與曲線y＝x3＋3x2－5相切的直線方程. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的概念 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用 解　設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為P(x0，y0)，函數(shù)y＝x3＋3x2－5的導(dǎo)數(shù)為y′＝3x2＋6x，則切線的斜率為k＝3x＋6x0. 又∵直線2x－6y＋1＝0的斜率為k′＝， ∴kk′＝(3x＋6x0)＝－1， 解得x0＝－1，∴y0＝－3，即P(－1，－3). 又k＝－3，∴切線方程為y＋3＝－3(x＋1)， 即3x＋y＋6＝0. 類型二　導(dǎo)數(shù)中分類討論思想 例2　已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx－lnx(a，b∈R).設(shè)a≥0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間. 考點(diǎn)　分類討論思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用 題點(diǎn)　分類討論思想在單調(diào)性中的應(yīng)用 解　由f(x)＝ax2＋bx－lnx，x∈(0，＋∞)，得f′(x)＝. (1)當(dāng)a＝0時(shí)，f′(x)＝. ①若b≤0，當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)<0恒成立， 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，＋∞). ②若b>0，當(dāng)0<x<時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增. 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是. (2)當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)＝0，得2ax2＋bx－1＝0. 由Δ＝b2＋8a>0，得 x1＝，x2＝. 顯然x1<0，x2>0. 當(dāng)0<x<x2時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x>x2時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增. 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是. 綜上所述，當(dāng)a＝0，b≤0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，＋∞)； 當(dāng)a＝0，b>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是； 當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是. 反思與感悟　(1)關(guān)注函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間應(yīng)為定義域的子區(qū)間. (2)已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性時(shí)轉(zhuǎn)化要等價(jià). (3)分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實(shí)質(zhì)是討論不等式的解集. (4)求參數(shù)的范圍時(shí)常用到分離參數(shù)法. 跟蹤訓(xùn)練2　已知函數(shù)f(x)＝x－＋a(2－lnx)，a>0，討論f(x)的單調(diào)性. 考點(diǎn)　分類討論思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用 題點(diǎn)　分類討論思想在單調(diào)性中的應(yīng)用 解　f(x)的定義域是(0，＋∞)， 則f′(x)＝1＋－＝. 設(shè)g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判別式Δ＝a2－8. ①當(dāng)Δ<0，即0<a<2時(shí)，對(duì)一切x>0，都有f′(x)>0.此時(shí)f(x)是(0，＋∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)； ②當(dāng)Δ＝0，即a＝2時(shí)，僅對(duì)x＝時(shí)，有f′(x)＝0，對(duì)其余的x>0都有f′(x)>0. 此時(shí)f(x)也是(0，＋∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)； ③當(dāng)Δ>0，即a>2時(shí)，方程g(x)＝0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1＝，x2＝，0<x1<x2. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 此時(shí)f(x)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增. 例3　已知f(x)＝x－1＋， (1)若f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線平行于x軸，求a的值； (2)求f(x)的極值； (3)當(dāng)a＝1時(shí)，直線l：y＝kx－1與曲線y＝f(x)沒(méi)有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 解　f′(x)＝1－. (1)∵f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線平行于x軸， ∴由f′(1)＝0，得a＝e. (2)①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，y＝f(x)為(－∞，＋∞)上的增函數(shù)， 所以y＝f(x)無(wú)極值； ②當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)＝0，得x＝lna. 當(dāng)x∈(－∞，lna)時(shí)，f′(x)<0，y＝f(x)在(－∞，lna)上遞減； 當(dāng)x∈(lna，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，y＝f(x)在(lna，＋∞)上遞增， 故f(x)在x＝lna處取得極小值f(lna)＝lna，無(wú)極大值. 綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，y＝f(x)無(wú)極值； 當(dāng)a>0時(shí)，y＝f(x)在x＝lna處取得極小值lna，無(wú)極大值. (3)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x－1＋. 直線l：y＝kx－1與曲線y＝f(x)沒(méi)有公共點(diǎn)等價(jià)于關(guān)于x的方程kx－1＝x－1＋在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解， 即關(guān)于x的方程(k－1)x＝(*)在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解. ①當(dāng)k＝1時(shí)，方程(*)為＝0，在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解； ②當(dāng)k≠1時(shí)，方程(*)為＝xex. 令g(x)＝xex，則有g(shù)′(x)＝(1＋x)ex， 令g′(x)＝0，得x＝－1. 當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)，g(x)的變化情況如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，＋∞) g′(x) － 0 ＋ g(x) ↘ － ↗ 當(dāng)x＝－1時(shí)，g(x)min＝－， 從而g(x)∈. 所以當(dāng)∈時(shí)，方程(*)沒(méi)有實(shí)數(shù)解， 解得k∈(1－e,1). 綜上，k的取值范圍為(1－e,1]. 反思與感悟　(1)已知極值點(diǎn)求參數(shù)的值后，要代回驗(yàn)證參數(shù)值是否滿足極值的定義. (2)討論極值點(diǎn)的實(shí)質(zhì)是討論函數(shù)的單調(diào)性，即f′(x)的正負(fù). (3)求最大值要在極大值與端點(diǎn)值中取最大者，求最小值要在極小值與端點(diǎn)值中取最小者. 跟蹤訓(xùn)練3　設(shè)f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x). (1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值； (2)討論g(x)與g的大小關(guān)系； (3)求a的取值范圍，使g(a)－g(x)＜對(duì)任意x＞0成立. 考點(diǎn)　分類討論思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用 題點(diǎn)　分類討論思想在極值、最值中的應(yīng)用 解　(1)由題設(shè)，知g(x)＝lnx＋， 所以g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝1， 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)＜0， 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)＞0， 故g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞).因此，x＝1是g(x)的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)， 所以g(x)的最小值為g(1)＝1. (2)g＝－lnx＋x， 設(shè)h(x)＝g(x)－g＝2lnx－x＋， 則h′(x)＝－. 當(dāng)x＝1時(shí)，h(1)＝0，即g(x)＝g； 當(dāng)x∈(0,1)∪(1，＋∞)時(shí)，h′(x)＜0，h′(1)＝0， 因此，h(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減. 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h(x)＞h(1)＝0，即g(x)＞g； 當(dāng)x＞1時(shí)，h(x)＜h(1)＝0，即g(x)＜g. (3)由(1)，知g(x)的最小值為1. 因?yàn)間(a)－g(x)＜對(duì)任意x＞0成立， 所以g(a)－1＜，即lna＜1， 解得0＜a＜e.即a的取值范圍為(0，e). 類型三　導(dǎo)數(shù)中的構(gòu)造函數(shù)問(wèn)題 例4　已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y＝f′(x)，當(dāng)x≠0時(shí)，f′(x)＋<0，若a＝f，b＝－f(－)，c＝f，則a，b，c的大小關(guān)系是. 答案　b<c<a 解析　令g(x)＝xf(x)， 則g(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)， ∴g(x)是偶函數(shù). g′(x)＝f(x)＋xf′(x)， ∵f′(x)＋<0， ∴當(dāng)x>0時(shí)，xf′(x)＋f(x)<0； 當(dāng)x<0時(shí)，xf′(x)＋f(x)>0. ∴g(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù). ∵<ln2<1<， ∴g()<g(ln2)<g. ∵g(x)是偶函數(shù)， ∴g(－)＝g()，g＝g(ln2)， ∴g(－)<g<g，即b<c<a. 反思與感悟　“構(gòu)造法”是一種重要而靈活的思維方式，應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)法比較大小時(shí)，先構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小. 跟蹤訓(xùn)練4　設(shè)a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是. 答案　a>b>c 解析　設(shè)g(x)＝， 則g′(x)＝. 令g′(x)>0，解得x<e； 令g′(x)<0，解得x>e， ∴g(x)在(0，e)上遞增，在(e，＋∞)上遞減， 而5>4>3>e，∴g(5)<g(4)<g(3)， 即<<，∴a>b>c. 例5　定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足f(x)<f′(x)，且f(0)＝2，則不等式f(x)>2ex的解集為. 答案　(0，＋∞) 解析　設(shè)g(x)＝，則g′(x)＝. ∵f(x)<f′(x)，∴g′(x)>0，即函數(shù)g(x)單調(diào)遞增. ∵f(0)＝2，∴g(0)＝f(0)＝2， 則不等式等價(jià)于g(x)>g(0). ∵函數(shù)g(x)單調(diào)遞增， ∴x>0，∴不等式的解集為(0，＋∞). 反思與感悟　應(yīng)用構(gòu)造法解決不等式時(shí)，先根據(jù)所求結(jié)論與已知條件，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性得到x的取值范圍. 跟蹤訓(xùn)練5　設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f′(x)為其導(dǎo)函數(shù).當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＋xf′(x)>0，且f(1)＝0，則不等式xf(x)>0的解集為. 答案　(1，＋∞) 解析　令g(x)＝xf(x). 當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)＝[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)>0， ∴g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增. 又f(x)是偶函數(shù)，即f(－x)＝f(x)， 則g(－x)＝(－x)f(－x)＝－xf(x)＝－g(x)， ∴g(x)是奇函數(shù)，g(x)在R上單調(diào)遞增. ∵f(1)＝0，則g(1)＝1f(1)＝0， 由xf(x)>0，即g(x)>g(1)，得x>1， ∴xf(x)>0的解集為(1，＋∞). 例6　已知x>1，證明：x－1>lnx. 證明　設(shè)f(x)＝x－1－lnx，x∈(1，＋∞)， 則f′(x)＝1－＝， 因?yàn)閤∈(1，＋∞)，所以f′(x)＝>0， 即函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)， 又x>1，所以f(x)>f(1)＝1－1－ln1＝0， 即x－1－lnx>0，所以x－1>lnx. 反思與感悟　利用函數(shù)的最值證明不等式的基本步驟 (1)將不等式構(gòu)造成f(x)>0(或<0)的形式； (2)利用導(dǎo)數(shù)將函數(shù)y＝f(x)在所給區(qū)間上的最小值(或最大值)求出； (3)證明函數(shù)y＝f(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可證得原不等式成立. 跟蹤訓(xùn)練6　證明：當(dāng)x>0時(shí)，2＋2x<2ex. 證明　設(shè)f(x)＝2＋2x－2ex， 則f′(x)＝2－2ex＝2(1－ex). 當(dāng)x>0時(shí)，ex>e0＝1， ∴f′(x)＝2(1－ex)<0. ∴函數(shù)f(x)＝2＋2x－2ex在(0，＋∞)上是減函數(shù)， ∴f(x)<f(0)＝0，x∈(0，＋∞). 即當(dāng)x>0時(shí)，2＋2x－2ex<0， ∴2＋2x<2ex. 1.若函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx的圖象與x軸相切于點(diǎn)(1,0)，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的概念 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用 答案　 解析　f′(x)＝3x2＋2bx＋c， 由題意可得即得 ∴f′(x)＝3x2－4x＋1， 由f′(x)<0即3x2－4x＋1<0， 解得<x<1， ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為. 2.已知函數(shù)f(x)在定義域R上為增函數(shù)，且f(x)＜0，則g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)內(nèi)的單調(diào)情況一定是. ①單調(diào)遞減；②單調(diào)遞增；③先增后減；④先減后增. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性 答案?、? 解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在定義域R上為增函數(shù)， 所以f′(x)≥0. 又因?yàn)間′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)， 所以當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，g′(x)＞0恒成立， 所以g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)內(nèi)單調(diào)遞增. 3.若函數(shù)f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值為，則a的值為. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值 答案?。? 解析　f′(x)＝＝， 當(dāng)x>時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減， 當(dāng)－<x<時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增， 當(dāng)x＝時(shí)，令f(x)＝＝，＝<1，不合題意. ∴f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1. 4.設(shè)f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0,6). (1)確定a的值； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用 解　(1)因?yàn)閒(x)＝a(x－5)2＋6lnx， 所以f′(x)＝2a(x－5)＋. 令x＝1，得f(1)＝16a， f′(1)＝6－8a， 所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為 y－16a＝(6－8a)(x－1)， 由點(diǎn)(0,6)在切線上，可得6－16a＝8a－6，故a＝. (2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x>0)， f′(x)＝x－5＋＝. 令f′(x)＝0，解得x＝2或3. 當(dāng)0<x<2或x>3時(shí)，f′(x)>0， 故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上為增函數(shù)； 當(dāng)2<x<3時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在(2,3)上為減函數(shù). 由此可知f(x)在x＝2處取得極大值f(2)＝＋6ln2，在x＝3處取得極小值f(3)＝2＋6ln3. 綜上，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2)，(3，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(2,3)，f(x)的極大值為＋6ln2，極小值為2＋6ln3. 1.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求出曲線上任意一點(diǎn)處的切線方程y－y0＝f′(x0)(x－x0).明確“過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的曲線y＝f(x)的切線方程”與“在點(diǎn)P(x0，y0)處的曲線y＝f(x)的切線方程”的異同點(diǎn). 2.借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，經(jīng)常同三次函數(shù)，一元二次不等式結(jié)合，融分類討論、數(shù)形結(jié)合于一體. 3.利用導(dǎo)數(shù)求解優(yōu)化問(wèn)題，注意自變量中的定義域，找出函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題. 一、填空題 1.已知曲線y＝x2＋2x－2在點(diǎn)M處的切線與x軸平行，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的概念 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用 答案　(－1，－3) 解析　令f′(x)＝2x＋2＝0，解得x＝－1. 又f(－1)＝(－1)2＋2(－1)－2＝－3， 所以M(－1，－3). 2.設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－－2x＋5，若對(duì)任意的x∈[－1,2]，都有f(x)>a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值 答案　 解析　f′(x)＝3x2－x－2， 令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0， 解得x＝1或x＝－， 又f(1)＝，f＝，f(－1)＝，f(2)＝7， 故f(x)min＝，∴a<. 3.已知y＝f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)＝lnx－ax，當(dāng)x∈(－2,0)時(shí)，f(x)的最小值為1，則a的值為. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值 答案　1 解析　由題意知，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)的最大值為－1. 令f′(x)＝－a＝0，得x＝， 當(dāng)0<x<時(shí)，f′(x)>0； 當(dāng)x>時(shí)，f′(x)<0. ∴f(x)max＝f＝－lna－1＝－1，解得a＝1. 4.已知f(x)＝sinx＋2x，x∈R，且f(2a)<f(a－1)，則a的取值范圍為. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用 答案　(－∞，－1) 解析　∵f′(x)＝cosx＋2>0恒成立， ∴f(x)在R上單調(diào)遞增. ∵f(2a)<f(a－1)，∴2a<a－1， 得a<－1. 5.已知函數(shù)f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的導(dǎo)數(shù)f′(x)的最大值為5，則在函數(shù)f(x)圖象上的點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程是. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值 答案　15x－3y－2＝0 解析　∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3 ＝－2(x－a)2＋3＋2a2， ∴f′(x)max＝3＋2a2＝5， ∵a>0，∴a＝1. ∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3， f′(1)＝－2＋4＋3＝5， 又f(1)＝－＋2＋3＝， ∴所求切線方程為y－＝5(x－1)， 即15x－3y－2＝0. 6.函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象如圖，則函數(shù)y＝ax2＋bx＋的單調(diào)遞增區(qū)間是. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性 答案　 解析　不妨取a＝1， ∵f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c， 由圖可知，f′(－2)＝0，f′(3)＝0， ∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0， ∴b＝－，c＝－18. ∴y＝x2－x－6，y′＝2x－， 當(dāng)x>時(shí)，y′>0. ∴y＝ax2＋bx＋的單調(diào)遞增區(qū)間為. 7.將8分成兩個(gè)數(shù)之和，使其立方之和最小，則這兩個(gè)數(shù)分別為. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 答案　4,4 解析　設(shè)一個(gè)數(shù)為x，則另一個(gè)數(shù)為8－x， 則y＝x3＋(8－x)3,0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2. 令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4. 當(dāng)0≤x<4時(shí)，y′<0；當(dāng)4<x≤8時(shí)，y′>0. 所以當(dāng)x＝4時(shí)，y最小. 8.若函數(shù)f(x)＝(mx－1)ex在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性 答案　[1，＋∞) 解析　f′(x)＝mex＋(mx－1)ex＝(mx＋m－1)ex， 由題意知，f′(x)≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立. 也就是mx＋m－1≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立， 當(dāng)m≤0時(shí)顯然不成立， 當(dāng)m>0時(shí)，令g(x)＝mx＋m－1， 只需g(0)≥0，得m≥1. 即實(shí)數(shù)m的取值范圍為[1，＋∞). 9.已知函數(shù)f(x)在定義域[0，＋∞)上恒有f(x)>f′(x).若a＝，b＝，則a與b的大小關(guān)系為.(用“>”連接) 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　構(gòu)造函數(shù)求解 答案　a>b 解析　設(shè)g(x)＝，則當(dāng)x≥0時(shí)，g′(x)＝<0，所以g(x)在[0，＋∞)上是減函數(shù)，所以g(2)>g(3)，即>，所以a>b. 10.已知f(x)，g(x)都是定義在R上的函數(shù)，且＝ax (a>0且a≠1)，f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，＋＝，則a＝. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　構(gòu)造函數(shù)求解 答案　 解析　令h(x)＝，∵f′(x)g(x)<f(x)g′(x)， ∴h′(x)＝<0， ∴函數(shù)y＝ax在R上單調(diào)遞減，∴0<a<1. ∵＋＝，∴a1＋a－1＝， 化為2a2－5a＋2＝0，解得a＝2或. ∵0<a<1，∴a＝. 二、解答題 11.已知曲線y＝x3＋x－2在點(diǎn)P0處的切線l1與直線4x－y－1＝0平行，且點(diǎn)P0在第三象限. (1)求P0的坐標(biāo)； (2)若直線l⊥l1，且l也過(guò)切點(diǎn)P0，求直線l的方程. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的概念 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用 解　(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1， 由已知，得3x2＋1＝4，解得x＝1. 當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0；當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝－4. ∵點(diǎn)P0在第三象限，∴切點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(－1，－4). (2)∵直線l⊥l1，l1的斜率為4，∴直線l的斜率為－. ∵l過(guò)切點(diǎn)P0，點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(－1，－4)， ∴直線l的方程為y＋4＝－(x＋1)， 即x＋4y＋17＝0. 12.已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2－2x＋c在x＝－2時(shí)有極大值6，在x＝1時(shí)有極小值. (1)求a，b，c的值； (2)求出f(x)在區(qū)間[－3,3]上的最大值和最小值. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值、最值 解　(1)因?yàn)閒′(x)＝3ax2＋2bx－2， 由已知，得 解得a＝，b＝，c＝. (2)由(1)知，f(x)＝x3＋x2－2x＋， f′(x)＝x2＋x－2，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝1. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x －3 (－3，－2) －2 (－2,1) 1 (1,3) 3 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 6 ↘ ↗ 所以當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)取得最大值；當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得最小值. 13.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，過(guò)曲線y＝f(x)上的點(diǎn)P(1，f(1))的切線方程為y＝3x＋1，y＝f(x)在x＝－2時(shí)有極值. (1)求f(x)的表達(dá)式； (2)求y＝f(x)在[－3,1]上的單調(diào)區(qū)間和最大值. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用 解　(1)因?yàn)閒′(x)＝3x2＋2ax＋b， 所以f′(1)＝3＋2a＋b， 故過(guò)曲線上P點(diǎn)的切線方程為 y－f(1)＝(3＋2a＋b)(x－1)， 即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)， 已知該切線方程為y＝3x＋1， 所以即 因?yàn)閥＝f(x)在x＝－2時(shí)有極值，所以f′(－2)＝0， 即－4a＋b＝－12， 解方程組得 所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5. (2)由(1)知f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)， 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝. 當(dāng)x∈[－3，－2)時(shí)，f′(x)>0； 當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0； 當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－3，－2)和，單調(diào)遞減區(qū)間為. 又f(－2)＝13，f＝，f(－3)＝8，f(1)＝4， 所以f(x)在區(qū)間[－3,1]上的最大值為13. 三、探究與拓展 14.已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝x有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值集合為. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用 答案　{－16，－20} 解析　因?yàn)閒(x)＝sinx(x<1)與y＝x無(wú)交點(diǎn)，故只需函數(shù)f(x)＝x3－9x2＋25x＋a(x≥1)的圖象與直線y＝x有三個(gè)不同的公共點(diǎn)即可. 設(shè)g(x)＝x3－9x2＋24x＋a， 則g′(x)＝3x2－18x＋24. 令g′(x)＝3x2－18x＋24＝0，得x1＝2，x2＝4， 且g(x)在[1,2]上遞增，在[2,4]上遞減，在[4，＋∞)上遞增， g(1)＝a＋16，g(2)＝a＋20，g(4)＝a＋16， 故只需g(1)＝g(4)＝a＋16＝0或g(2)＝a＋20＝0， 解得a＝－20或a＝－16. 15.設(shè)函數(shù)f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x＋b(0<a<1). (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值； (2)若當(dāng)x∈[a＋1，a＋2]時(shí)，恒有|f′(x)|≤a，試確定a的取值范圍； (3)當(dāng)a＝時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)＝0在區(qū)間[1,3]上恒有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用 解　(1)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2 ＝－(x－a)(x－3a). 令f′(x)＝0，得x＝a或x＝3a. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，a) a (a,3a) 3a (3a，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ 所以f(x)在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是減函數(shù)；在(a,3a)上是增函數(shù). 當(dāng)x＝a時(shí)，f(x)取得極小值， f(x)極小值＝f(a)＝b－a3； 當(dāng)x＝3a時(shí)，f(x)取得極大值，f(x)極大值＝f(3a)＝b. (2)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2，其對(duì)稱軸為x＝2a. 因?yàn)?<a<1，所以2a<a＋1. 所以f′(x)在區(qū)間[a＋1，a＋2]上是減函數(shù). 當(dāng)x＝a＋1時(shí)，f′(x)取得最大值，f′(a＋1)＝2a－1； 當(dāng)x＝a＋2時(shí)，f′(x)取得最小值，f′(a＋2)＝4a－4. 于是有即≤a≤1. 又因?yàn)?<a<1，所以≤a<1. 即a的取值范圍為. (3)當(dāng)a＝時(shí)，f(x)＝－x3＋x2－x＋b. f′(x)＝－x2＋x－，由f′(x)＝0， 即－x2＋x－＝0，解得x1＝，x2＝2， 即f(x)在上是減函數(shù)， 在上是增函數(shù)，在(2，＋∞)上是減函數(shù). 要使f(x)＝0在[1,3]上恒有兩個(gè)相異實(shí)根， 即f(x)在[1,2)，(2,3]上各有一個(gè)實(shí)根， 于是有即 解得0<b≤.所以b的取值范圍是.