2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.1 第1課時(shí) 數(shù)列的概念與簡單表示法學(xué)案 蘇教版必修5.docx

第1課時(shí)　數(shù)列的概念與簡單表示法 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解數(shù)列及其有關(guān)概念.2.理解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會(huì)用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任意一項(xiàng).3.對于比較簡單的數(shù)列，會(huì)根據(jù)其前幾項(xiàng)寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式． 知識點(diǎn)一　數(shù)列及其有關(guān)概念 思考1　數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是同一個(gè)數(shù)列嗎？ 答案　不是．順序不一樣． 思考2　數(shù)列的記法和集合有些相似，那么數(shù)列與集合的區(qū)別是什么？ 答案　數(shù)列中的數(shù)講究順序，集合中的元素具有無序性；數(shù)列中可以出現(xiàn)相同的數(shù)，集合中的元素具有互異性． 梳理　(1)按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．?dāng)?shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(通常也叫做首項(xiàng))，排在第二位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，…，排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)． (2) 數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為{an}． 知識點(diǎn)二　通項(xiàng)公式 思考　數(shù)列1,2,3,4，…的第100項(xiàng)是多少？你是如何猜的？ 答案　100.由前四項(xiàng)與它們的序號相同，猜第n項(xiàng)an＝n，從而第100項(xiàng)應(yīng)為100. 梳理　如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式． 知識點(diǎn)三　數(shù)列的分類 思考　對數(shù)列進(jìn)行分類，可以用什么樣的分類標(biāo)準(zhǔn)？ 答案　(1)可以按項(xiàng)數(shù)分類；(2)可以按項(xiàng)的大小變化分類． 梳理　(1)按項(xiàng)數(shù)分類，項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列，項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列． (2)按項(xiàng)的大小變化分類，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞減數(shù)列；各項(xiàng)相等的數(shù)列叫做常數(shù)列；從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做擺動(dòng)數(shù)列． 1．同一個(gè)數(shù)在一個(gè)數(shù)列中只能出現(xiàn)一次．() 2．如果一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，則一定是遞減數(shù)列．() 3．如果已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則可以寫出該數(shù)列的任意一項(xiàng)．(√) 類型一　數(shù)列的分類 例1　下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是______．(填序號) ①1，，，，…； ②－1，－2，－3，－4，…； ③－1，－，－，－，…； ④1，，，…，. 考點(diǎn)　數(shù)列的分類 題點(diǎn)　數(shù)列的分類 答案?、? 解析?、佗谑沁f減數(shù)列，④是有窮數(shù)列，只有③符合題意． 反思與感悟　處理數(shù)列分類問題的技巧： (1)有窮數(shù)列與無窮數(shù)列 判斷給出的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列，只需觀察數(shù)列是有限項(xiàng)還是無限項(xiàng)．若數(shù)列含有限項(xiàng)，則是有窮數(shù)列，否則為無窮數(shù)列． (2)遞增數(shù)列與遞減數(shù)列 ①觀察從第2項(xiàng)起，數(shù)列中每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的大小關(guān)系，依據(jù)定義進(jìn)行判斷； ②由數(shù)列的圖象可知，只要這些點(diǎn)每個(gè)比它前面相鄰的一個(gè)高(低)，則圖象呈上升(下降)趨勢，即數(shù)列遞增(減)． 跟蹤訓(xùn)練1　下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是擺動(dòng)數(shù)列？哪些是常數(shù)列？ (1)2010,2012,2014,2016,2018； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)－，，－，，…； (5)1,0，－1，…，sin，…； (6)9,9,9,9,9,9. 考點(diǎn)　數(shù)列的分類 題點(diǎn)　數(shù)列的分類 答案　(1)(6)是有窮數(shù)列；(1)(2)是遞增數(shù)列；(3)是遞減數(shù)列；(4)(5)是擺動(dòng)數(shù)列；(6)是常數(shù)列． 類型二　由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 例2　寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)： (1)1，－，，－； (2)，2，，8； (3)9,99,999,9999；(4)2,0,2,0. 考點(diǎn)　數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn)　根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出通項(xiàng)公式 解　(1)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對值都是序號的倒數(shù)，并且奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)， 所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝，n∈N*. (2)數(shù)列的項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察：，，，，…， 所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝，n∈N*. (3)各項(xiàng)加1后，變?yōu)?0,100,1000,10000，…，此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n，可得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝10n－1，n∈N*. (4)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)是2，偶數(shù)項(xiàng)是0，所以，它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n＋1＋1，n∈N*. 反思與感悟　要由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，只需觀察分析數(shù)列中項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律，看哪些部分不隨序號的變化而變化，哪些部分隨序號的變化而變化，確定變化部分隨序號變化的規(guī)律，繼而將an表示為n的函數(shù)關(guān)系． 跟蹤訓(xùn)練2　寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)： (1)－，，－，； (2)，，，； (3)7,77,777,7777. 考點(diǎn)　數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn)　根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出通項(xiàng)公式 解　(1)這個(gè)數(shù)列前4項(xiàng)的分母都是序號數(shù)乘以比序號數(shù)大1的數(shù)，并且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正， 所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝，n∈N*. (2)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的分母都是比序號大1的數(shù)，分子都是比序號大1的數(shù)的平方減1， 所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝，n∈N*. (3)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可以變?yōu)?，99，999，9999， 即(10－1)，(100－1)，(1000－1)， (10000－1)， 即(10－1)，(102－1)，(103－1)， (104－1)， 所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(10n－1)，n∈N*. 類型三　數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用 例3　已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝， n∈N*. (1)寫出它的第10項(xiàng)； (2)判斷是不是該數(shù)列中的項(xiàng)． 考點(diǎn)　數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn)　判斷某數(shù)是否為數(shù)列的項(xiàng) 解　(1)a10＝＝. (2)令＝，化簡得8n2－33n－35＝0， 解得n＝5. 當(dāng)n＝5時(shí)，a5＝－≠. 所以不是該數(shù)列中的項(xiàng)． 引申探究 對于例3中的{an}． (1)求an＋1；(2)求a2n. 解　(1)an＋1＝＝. (2)a2n＝＝. 反思與感悟　在通項(xiàng)公式an＝f(n)中，an相當(dāng)于y，n相當(dāng)于x.求數(shù)列的某一項(xiàng)，相當(dāng)于已知x求y，判斷某數(shù)是不是該數(shù)列的項(xiàng)，相當(dāng)于已知y求x，若求出的x是正整數(shù)，則y是該數(shù)列的項(xiàng)，否則不是． 跟蹤訓(xùn)練3　已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n∈N*)，那么是這個(gè)數(shù)列的第___項(xiàng)． 考點(diǎn)　數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn)　已知通項(xiàng)公式求項(xiàng)或項(xiàng)數(shù) 答案　10 解析　∵＝，∴n(n＋2)＝1012，∴n＝10. 1．下列敘述正確的是________．(填序號) ①數(shù)列1,3,5,7與7,5,3,1是相同的數(shù)列； ②數(shù)列0,1,2,3，…可以表示為{n}； ③數(shù)列0,1,0,1，…是常數(shù)列； ④數(shù)列是遞增數(shù)列． 考點(diǎn)　數(shù)列的概念 題點(diǎn)　數(shù)列的概念的理解 答案?、? 解析　由數(shù)列的通項(xiàng)an＝知， an＋1－an＝－＝>0， 即數(shù)列是遞增數(shù)列． 2．?dāng)?shù)列2,3,4,5，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為____________． 考點(diǎn)　數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn)　根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出通項(xiàng)公式 答案　an＝n＋1，n∈N* 解析　這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)都比序號大1，所以，它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝n＋1，n∈N*. 3．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝，n∈N*，則a1＝________；an＋1＝________. 考點(diǎn)　數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn)　已知通項(xiàng)公式求項(xiàng)或項(xiàng)數(shù) 答案　1　 解析　a1＝＝1， an＋1＝＝. 4．寫出數(shù)列：1，－3，5，－7，9，…的通項(xiàng)公式． 考點(diǎn)　數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn)　根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出通項(xiàng)公式 解　該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n＋1(2n－1)，n∈N*. 1．與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項(xiàng)也有三個(gè)性質(zhì)： (1)確定性：一個(gè)數(shù)在不在數(shù)列中，即一個(gè)數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)是確定的． (2)可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)． (3)有序性：一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且也與這些數(shù)的排列次序有關(guān)． 2．并非所有的數(shù)列都能寫出它的通項(xiàng)公式．例如，π的不同近似值，依據(jù)精確的程度可形成一個(gè)數(shù)列3,3.1，3.14，3.141，…，它沒有通項(xiàng)公式．根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住其幾方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的變化特征；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)的符號特征和絕對值特征．并對此進(jìn)行聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、歸納． 3．如果一個(gè)數(shù)列有通項(xiàng)公式，則它的通項(xiàng)公式可以有多種形式． 一、填空題 1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝，n∈N*，則該數(shù)列的前4項(xiàng)依次為__________． 考點(diǎn)　數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn)　已知通項(xiàng)公式求項(xiàng)或項(xiàng)數(shù) 答案　1,0,1,0 解析　當(dāng)n分別等于1,2,3,4時(shí)，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0. 2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－n－50，n∈N*，則－8是該數(shù)列的第________項(xiàng)． 考點(diǎn)　數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn)　已知通項(xiàng)公式求項(xiàng)或項(xiàng)數(shù) 答案　7 解析　解n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)． 3．觀察數(shù)列的特點(diǎn)，用一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)填空：1，，，，________，，…. 考點(diǎn)　數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn)　已知數(shù)列的前幾項(xiàng)求項(xiàng)或項(xiàng)數(shù) 答案　3 解析　由于數(shù)列的前幾項(xiàng)中根號下的數(shù)都是由小到大的奇數(shù)，所以需要填空的數(shù)為＝3. 4．?dāng)?shù)列，，，，…的第10項(xiàng)是________． 考點(diǎn)　數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn)　已知數(shù)列的前幾項(xiàng)求項(xiàng)或項(xiàng)數(shù) 答案　 解析　由數(shù)列的前4項(xiàng)可知，數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為 an＝，n∈N*， 當(dāng)n＝10時(shí)，a10＝＝. 5．?dāng)?shù)列－1，，－，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是________． 考點(diǎn)　數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn)　根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出通項(xiàng)公式 答案　an＝(－1)n 解析　數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，分母可調(diào)整為3,5,7,9，可表示為2n＋1，分子可調(diào)整為13,24,35,46，…，故其通項(xiàng)公式是an＝(－1)n. 6．如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡稱ICME－7)的會(huì)徽圖案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，記OA1，OA2，…，OAn，…的長度構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為______________． 考點(diǎn)　數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn)　根據(jù)圖形寫出通項(xiàng)公式 答案　an＝，n∈N* 解析　∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…， ∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝. 7．323是數(shù)列{n(n＋2)}的第________項(xiàng)． 考點(diǎn)　數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn)　已知通項(xiàng)公式求項(xiàng)或項(xiàng)數(shù) 答案　17 解析　由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(負(fù)值舍去)． ∴323是數(shù)列{n(n＋2)}的第17項(xiàng)． 8．?dāng)?shù)列0.3,0.33,0.333,0.3333，…的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝________. 考點(diǎn)　數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn)　根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出通項(xiàng)公式 答案　 9．已知數(shù)列，，，，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中是該數(shù)列中某一項(xiàng)值的數(shù)應(yīng)當(dāng)有________個(gè)． 考點(diǎn)　數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn)　判斷某數(shù)是否為數(shù)列的項(xiàng) 答案　3 解析　數(shù)列，，，，…的通項(xiàng)公式為 an＝，0.94＝＝，0.96＝＝， 0．98＝＝，0.99＝， 所以，，都在數(shù)列中，故有3個(gè)． 10．設(shè)an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，那么an＋1－an＝____________. 考點(diǎn)　數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn)　已知通項(xiàng)公式求項(xiàng)或項(xiàng)數(shù) 答案?。? 解析　∵an＝＋＋＋…＋， ∴an＋1＝＋＋…＋＋＋， ∴an＋1－an＝＋－＝－. 11．?dāng)?shù)列1,3,6,10，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是__________． 考點(diǎn)　數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn)　根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出通項(xiàng)公式 答案　an＝ 解析　a1＝，a2＝，a3＝，a4＝， 可得an＝. 二、解答題 12．在數(shù)列{an}中，a1＝2，a17＝66，通項(xiàng)公式an是n的一次函數(shù)． (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)判斷88是不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)？ 考點(diǎn)　數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn)　判斷某數(shù)是否為數(shù)列的項(xiàng) 解　(1)設(shè)an＝kn＋b，k≠0. 則解得 ∴an＝4n－2，n∈N*. (2)令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5?N*. ∴88不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)． 13．在數(shù)列{an}中，an＝n(n－8)－20，請回答下列問題： (1)這個(gè)數(shù)列共有幾項(xiàng)為負(fù)？ (2)這個(gè)數(shù)列從第幾項(xiàng)開始遞增？ (3)這個(gè)數(shù)列中有無最小值？若有，求出最小值；若無，請說明理由． 考點(diǎn)　數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn)　已知通項(xiàng)公式求項(xiàng)或項(xiàng)數(shù) 解　(1)因?yàn)閍n＝n(n－8)－20＝(n＋2)(n－10)， 所以當(dāng)0<n<10時(shí)，an<0， 所以數(shù)列{an}共有9項(xiàng)為負(fù)． (2)因?yàn)閍n＋1－an＝2n－7， 所以當(dāng)an＋1－an>0時(shí)，n>， 故從第4項(xiàng)開始數(shù)列{an}遞增． (3)an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36， 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知， 當(dāng)n＝4時(shí)，an取得最小值－36， 即數(shù)列中有最小值，最小值為－36. 三、探究與拓展 14．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝則a3＋＝________. 考點(diǎn)　數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn)　已知通項(xiàng)公式求項(xiàng)或項(xiàng)數(shù) 答案　 解析　a3＝2－3＝，a4＝＝， ∴＝，∴a3＋＝. 15．已知數(shù)列，n∈N*. (1)求證：該數(shù)列是遞增數(shù)列； (2)在區(qū)間內(nèi)有無數(shù)列中的項(xiàng)？若有，有幾項(xiàng)？若沒有，請說明理由． 考點(diǎn)　數(shù)列的分類 題點(diǎn)　數(shù)列的分類 (1)證明　∵an＝ ＝＝ ＝＝1－， ∴an＋1－an＝－ ＝＝＞0，n∈N*， ∴{an}是遞增數(shù)列． (2)解　令<an＝<， ∴∴ ∴<n<， ∴當(dāng)且僅當(dāng)n＝2時(shí)，上式成立， 故區(qū)間內(nèi)有數(shù)列中的項(xiàng)，且只有一項(xiàng)為a2＝.