直角三角形 知識(shí)講解

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1、真誠(chéng)為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當(dāng)之處，請(qǐng)指正。 直角三角形（提高） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．理解和掌握判定直角三角形全等的一種特殊方法——“斜邊，直角邊”（即“HL”）. 2．能熟練地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定兩個(gè)直角三角形全等. 3. 能應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)解題. 【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、判定直角三角形全等的一般方法 由三角形全等的條件可知，對(duì)于兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等，或兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形就全等了。這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 要點(diǎn)二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理 在

2、兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個(gè)判定方法是直角三角形所獨(dú)有的，一般三角形不具備. 要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）“HL”從順序上講是“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了. （2）判定兩個(gè)直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個(gè)直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法. （3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等的過(guò)程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書(shū)寫(xiě)時(shí)必須在兩個(gè)三角形前加上“Rt”. 要點(diǎn)三、直角三角形

3、的性質(zhì) 定理1：直角三角形的兩個(gè)銳角互余. 定理2：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半. 推論1：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半. 推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30. 要點(diǎn)詮釋?zhuān)哼@個(gè)定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數(shù)關(guān)系. 【典型例題】 類(lèi)型一、直角三角形全等的判定——“HL” 1、 判斷滿足下列條件的兩個(gè)直角三角形是否全等，不全等的畫(huà)“”，全等的注明理由： （1）一個(gè)銳角和這個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)

4、相等；（ ） （2）一個(gè)銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等； （ ） （3）兩直角邊對(duì)應(yīng)相等； （ ） （4）一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等． （ ） 【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”. 【解析】理解題意，畫(huà)出圖形，根據(jù)全等三角形的判定來(lái)判斷. 【總結(jié)升華】直角三角形全等可用的判定方法有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL. 舉一反三： 【變式】下列說(shuō)法中，正確的畫(huà)“√”；錯(cuò)誤的畫(huà)“”，并舉出反例畫(huà)出圖形. （1）一條直角邊和斜邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角

5、形全等．（ ） （2）有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（ ） （3）有兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（ ） 【答案】（1）√； （2）；在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AE和DF是其中一邊上的高，AE＝DF （3）. 在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，AH為第三邊上的高， 2、已知：如圖，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF. 求證：AB∥DC. 【答案與解析】 證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴在Rt△ADE與Rt△CBF中 ∴Rt△ADE≌

6、Rt△CBF （HL） ∴AE＝CF，DE＝BF ∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE 在Rt△CDE與Rt△ABF中， ∴Rt△CDE≌Rt△ABF（SAS） ∴∠DCE＝∠BAF ∴AB∥DC. 【總結(jié)升華】從已知條件只能先證出Rt△ADE≌Rt△CBF，從結(jié)論又需證Rt△CDE≌Rt△ABF.我們可以從已知和結(jié)論向中間推進(jìn)，證出題目. 3、如圖 AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求證：AF平分∠BAC． 　　 【答案與解析】 證明：在Rt△ABD與Rt△A

7、CE中 　　　　　 　　　　　∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS) 　　　　　∴AD＝AE(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等) 　　　　　在Rt△ADF與Rt△AEF中 　　　　　 　　　　　∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL) 　　　　　∴∠DAF＝∠EAF(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等) 　　　　　∴AF平分∠BAC(角平分線的定義) 【總結(jié)升華】若能證得AD＝AE，由于∠ADB、∠AEC都是直角，可證得Rt△ADF≌Rt△AEF，而 要證AD＝AE，就應(yīng)先考慮Rt△ABD與Rt△AEC，由題意已知AB＝AC，∠BAC是公共角，可證得Rt△ABD≌Rt△ACE．條件和結(jié)論相

8、互轉(zhuǎn)化，有時(shí)需要通過(guò)多次三角形全等得出待求的結(jié)論. 舉一反三： 【變式】已知，如圖，AC、BD相交于O，AC＝BD，∠C＝∠D＝90 . 求證：OC＝OD. 【答案】∵∠C＝∠D＝90 　　　　∴△ABD、△ACB為直角三角形 　　　　在Rt△ABD和Rt△BAC中 　　　　　 　　　　∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL) 　　　　∴AD＝BC 　　　　在△AOD和△BOC中 　　　　　 　　　　　∴△AOD≌△BOC(AAS) 　　　　　∴OD＝OC． 類(lèi)型二、直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用 4、如圖所示，在等邊△ABC中，AE＝CD，AD、BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD

9、于Q， 求證：BP＝2PQ． 【答案與解析】 證明：∵ △ABC為等邊三角形， ∴ AC＝BC＝AB，∠C＝∠BAC＝60． 在△ACD和△BAE中， ∴ △ACD≌△BAE(SAS)． ∴ ∠CAD＝∠ABE． ∵ ∠CAD＋∠BAP＝∠BAC＝60， ∴ ∠ABE＋∠BAP＝60， ∴ ∠BPQ＝60． ∵ BQ⊥AD， ∴ ∠BQP＝90， ∴ ∠PBQ＝90－60＝30， ∴ BP＝2PQ． 【總結(jié)升華】(1)從結(jié)論入手，從要證BP＝2PQ聯(lián)想到要求∠PBQ＝30．(2)不能盲目地用截長(zhǎng)補(bǔ)短法尋找要證的“倍半”關(guān)系．本題適合用“兩頭湊”的方法，從結(jié)論入手找已知條件，即BP＝2PQ∠PBQ＝30，另一方面從已知條件找結(jié)論，即由條件△ACD≌△BAE∠BPQ＝60∠PBQ＝30，分析時(shí)要注意聯(lián)想與題目有關(guān)的性質(zhì)定理． 5 / 5