, ,
9、>, },若在R中再增加兩個(gè)元素 {< c, b>, < d ,c >} ,則新得到的關(guān)系就具有對(duì)稱性.
8.設(shè)A={1, 2}上的二元關(guān)系為R={|xA,yA, x+y =10},則R的自反閉包為 {〈1,1〉,〈2,2〉} .
9.設(shè)R是集合A上的等價(jià)關(guān)系,且1 , 2 , 3是A中的元素,則R中至少包含 〈1,1〉,〈2,2〉,〈3,3〉 等元素.
10.設(shè)集合A={1, 2},B={a, b},那么集合A到B的雙射函數(shù)是
10、
σ={〈1,a〉,〈2,b〉}或σ={〈1,b〉,〈2,a〉} .
三、判斷說明題(判斷下列各題,并說明理由.)
1.若集合A = {1,2,3}上的二元關(guān)系R={<1, 1>,<2, 2>,<1, 2>},則
(1) R是自反的關(guān)系; (2) R是對(duì)稱的關(guān)系.
解:(1)錯(cuò)誤。R不具有自反的關(guān)系,因?yàn)?3, 3>R。
(2)錯(cuò)誤。R不具有對(duì)稱的關(guān)系.<2, 1>R。
2.如果R1和R2是A上的自反關(guān)系,判斷結(jié)論:“R-11、R1∪R2、R1∩R2是自反的” 是否
11、成立?并說明理由.
解:成立。
對(duì)于集合A中的任意元素a,若R1為A上的自反關(guān)系,有〈a,a〉∈R1,則〈a,a〉∈R-11,故R-11是A上的自反關(guān)系。
對(duì)于任意a∈A,由R1和R2是A上的自反關(guān)系,有〈a,a〉∈R1且〈a,a〉∈R2,則〈a,a〉∈R1∩R2,故 R1∩R2是A上的自反關(guān)系。
同理可證:R1∪R2也是A上的自反關(guān)系。
3.設(shè)R,S是集合A上的對(duì)稱關(guān)系,判斷R∩S是否具有對(duì)稱性,并說明理由.
解:R∩S具有對(duì)稱性。
對(duì)任意〈a,b〉∈R∩S,有〈a,b〉∈R且〈a,b〉∈S,又R,S是集合A上的對(duì)稱關(guān)系,則〈b,
12、a〉∈R且〈b,a〉∈S,所以〈b,a〉∈R∩S,即證R∩S是集合A上的對(duì)稱關(guān)系。
4.設(shè)集合A={1, 2, 3, 4},B={2, 4, 6, 8},,判斷下列關(guān)系f是否構(gòu)成函數(shù)f:,并說明理由.
(1) f={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}; (2)f={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>};
(3) f={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}.
解:(1)不構(gòu)成函數(shù)。因?yàn)閷?duì)于3∈A,在B中沒有元素與之對(duì)應(yīng)。
(2)不構(gòu)成函數(shù)。因?yàn)閷?duì)于4∈A,在B
13、中沒有元素與之對(duì)應(yīng)。
(3)構(gòu)成函數(shù)。因?yàn)锳中任意一個(gè)元素都有A中唯一的元素相對(duì)應(yīng)。
四、計(jì)算題
1.設(shè),求:
(1) (AB)~C; (2) (AB)- (BA) (3) P(A)-P(C); (4) AB.
解:(1) (AB)~C={1}{1,3,5}={1,3,5}
(2) (AB)- (BA)={1,2,4,5}-{1}={2,4,5}
(3) P(A)-P(C)={φ,{1},{4},{1,4}}-{φ,{2},{4},{2,4}}
={{1},{1,4}}
(4) AB=(A-B) (B-A)={
14、4}{2,5}={2,4,5}
2.設(shè)集合A={{a, b}, c, d },B={a, b, {c, d }},求
(1) BA; (2) AB; (3) A-B; (4)BA.
解:(1) BA=φ
(2) AB={{a, b}, c, d , a, b, {c, d }}
(3) A-B={{a, b}, c, d }
(4)BA={〈a,{a, b}〉,〈a,c〉,〈a,d〉,〈b,{a, b}〉,〈b,c〉,〈b,d〉,〈{c, d },{a, b}〉,〈{c, d },c〉,〈{
15、c, d },d〉}
3.設(shè)A={1,2,3,4,5},R={|xA,yA且x+y4},S={|xA,yA且x+y<0},試求R,S,RS,SR,R-1,S-1,r(S),s(R).
解:R={〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈2,1〉,〈2,2〉,〈3,1〉},
S=φ
RS=φ
SR=φ
R-1={〈1,1〉,〈2,1〉,〈3,1〉,〈1,2〉,〈2,2〉,〈1,3〉}
S-1=φ
r(S)= {〈1,1〉,〈2,2〉,〈3,3〉,〈4,4〉,〈5,5〉}
s(R)= {〈1,1〉,〈1,2〉,
16、〈1,3〉,〈2,1〉,〈2,2〉,〈3,1〉}
4.設(shè)A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},R是A上的整除關(guān)系,B={2, 4, 6}.
(1) 寫出關(guān)系R的表示式; (2 )畫出關(guān)系R的哈斯圖;
(3) 求出集合B的最大元、最小元.
解:(1) R={〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈1,4〉,〈1,5〉,〈1,6〉,〈1,7〉,〈1,8〉,〈2,2〉,〈2,4〉,〈2,6〉,〈2,8〉,〈3,3〉,〈3,6〉,〈4,4〉,〈4,8〉,〈5,5〉,〈6,
17、6〉,〈7,7〉,〈8,8〉}
(2 ) 關(guān)系R的哈斯圖
1
5
6
3
7
4
8
2
(3) 集合B的沒有最大元,最小元是2.
五、證明題
1.試證明集合等式:A (BC)=(AB) (AC).
證明:設(shè)任意 x A (BC),那么 x A或x BC,
也就是 x A或x B,且 x A或x C;
由此得 x AB 且 x AC,即x (AB) (AC).
所以, A (BC) (AB) (AC)
又因?yàn)閷?duì) 任意 x (AB) (AC),由 x AB且x A
18、C,
也就是 x A或x B,且x A或 x C;
得 x A 或 x BC,即 x A (BC).
所以, (AB) (AC) A (BC)
故A (BC)=(AB) (AC).
2.對(duì)任意三個(gè)集合A, B和C,試證明:若AB = AC,且A,則B = C.
證明:(1)對(duì)于任意〈a,b〉∈AB,其中a∈A,b∈B,因?yàn)锳B = AC,必有〈a,b〉∈AC,其中b∈C,因此B C。
(2)同理,對(duì)于任意〈a,c〉∈AC,其中a∈A,c∈C,因?yàn)锳B = AC,必有〈a,c〉∈AB,其中c∈B,因此C B。
由(1)、(2)得:B = C.
3.設(shè)R是集合A上的對(duì)稱關(guān)系和傳遞關(guān)系,試證明:若對(duì)任意aA,存在bA,使得R,則R是等價(jià)關(guān)系.
證明:只要證明R也是集合A上的自反關(guān)系即可。
因?yàn)閷?duì)任意aA,存在bA,使得R,可取b=a,即得:R,
所以,R是集合A上的自反關(guān)系,由此得:R是等價(jià)關(guān)系.
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