勒貝格積分和黎曼積分的關系和區(qū)別

真誠為您提供優(yōu)質參考資料，若有不當之處，請指正。 勒貝格積分的若干簡介 我們先學習了Riemann積分（簡稱積分），從而慢慢引入到了勒貝格積分，因此我將在下文中分幾部分來講勒貝格積分。 首先介紹一下在有界函數(shù)范圍內(nèi)，積分還是存在這很大的缺陷，主要表現(xiàn)在以下兩個方面[1]： ⑴積分與極限可交換的條件太嚴。 ⑵積分運算不完全是微分運算的逆運算。 ⑶不適宜于無界區(qū)間：黎曼積分只能用來在有界區(qū)間內(nèi)對函數(shù)進行積分。 ⑷缺乏單調(diào)收斂。 鑒于積分的上述缺陷，人們致力于對此進行改進。1902年，法國數(shù)學家勒貝格基于可列可加的測度，成功引進了一種新的積分，即Lebesgue積分（簡稱積分）。那么，建立積分的基本思路和步驟是怎么樣的呢？積分的思路也基本與積分一樣先分割，作積分和，取取極限。 在重新審視積分和曲邊梯形面積的關系時，另一個建立積分的思路浮現(xiàn)出來。首先，為了避免可測函數(shù)不是有界函數(shù)，最后的積分值可能會出現(xiàn)的不定情形的出現(xiàn)，在定義積分時第一步僅限于非負函數(shù)。其次，注意到非負函數(shù)圍成的曲邊梯形的面積，對于積分，可以將“可測集分割”加以取代，形成所謂“簡單函數(shù)”，從而過度到積分“橫著數(shù)”的思想。 下文將詳細的介紹積分和積分的區(qū)別和聯(lián)系。 關于Lebesgue積分與Riemann積分的定義比較 1.1勒貝格積分的定義[3]: 定義1：設是上的非負可測函數(shù).我們定義是上的Lebesgue積分是上的非負可測簡單函數(shù)}，這里的積分可以是+∞;若,則稱在上Lebesgue可積的。 設是上的可測函數(shù),若積分，中至少有一個是有限值,則稱為是上的Lebesgue積分;當上式右端兩個積分值皆為有限時,則稱是上是Lebesgue可積的。 定義2：設是一個勒貝格可測集，，是定義在上的勒貝格可測函數(shù)，又設是有界的，就是說是否存在及，使得，在中任取一分點組 , 記 , 并任?。ㄎ覀兗s定，當時，），作和 如果對任意的分法與的任意取法，當時，趨于有限的極限，則稱它為在上關于勒貝格測度的積分，記作 . 定義3：設是 上的有界可測函數(shù)。作的任意分割=,其中為互不相交的非空可測子集。設 , 則的大和及小和為設在上的上下積分為 若則稱在上是可積的,且稱該共同值為在上的Lebesgue積分,記為。 為了便于與R積分的定義比較我羅列了L積分的三種定義，這三種定義是等價的。由定義1定義L積分的方法可稱為逼近法，所謂逼近法就是從特征函數(shù)的積分入手，然后用簡單可測函數(shù)來逼近可測函數(shù)的方法. 由定義2、3定義L積分的方法可稱為劃分法，所謂劃分法就是類似于積分的定義法，先對可測集進行劃分，在此基礎上給出L積分。對于定義1的逼近法比較繁瑣但是這種定義易于與R積分的定義比較，下面是R積分的定義。 1．2 黎曼積分的定義 不太嚴格地來說，黎曼積分就是當分割越來越“精細”的時候，黎曼和趨向的極限。這就是黎曼積分定義的大概描述。嚴格定義如下： 定義1：S是函數(shù)在閉區(qū)間上的黎曼積分，當且僅當對于任意的，都存在，使得對于任意的取樣分割只要它的子區(qū)間長度最大值 ，就有： 也就是說，對于一個函數(shù)，如果在閉區(qū)間上，無論怎樣進行取樣分割，只要它的子區(qū)間長度最大值足夠小，函數(shù)的黎曼和都會趨向于一個確定的值，那么在閉區(qū)間上的黎曼積分存在，并且定義為黎曼和的極限，這時候稱函數(shù)為黎曼可積的。 這個定義的缺陷是沒有可操作性，因為要檢驗所有的取樣分割是難以做到的。 定義2設是定義在上的有界函數(shù)，任取一分點組T 將區(qū)間分成n部分，在每個小區(qū)間上任取一點,1,2,3,….作和 令，如果對任意的分發(fā)與的任意取法，當時，趨于有限的極限，則稱它為在上的黎曼積分，記為 定義3：是函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上的黎曼積分，當且僅當對于任意的，都存在一個取樣分割，使得對于任何比其“精細”的分割和 ，都有： 如果有一個滿足了其中一個定義，那么它也滿足另一個。首先，如果有一個滿足第一個定義，那么只需要在子區(qū)間長度最大值的分割中任取一個。對于比其精細的分割，子區(qū)間長度最大值顯然也會小于，于是滿足： 上面對黎曼積分的三種定義都是等價的。首先引進達布積分的概念，第二個定義和達布積分的定義是等價的（具體見達布積分定義）其次我們證明達布積分的定義滿足第一個定義。任選一個分割使得它的上達布和與下達布和都與相差不超過 。令等于，其中和是在上的上確界和下確界。再令是和中的較小者。可以看出，當一個分割的子區(qū)間長度最大值小于時， 關于它的黎曼和與上達布和或下達布和至多相差，所以和至多相差。由于以上原因，黎曼積分通常被定義為達布積分（即第二個定義），因為達布積分比黎曼積分更簡單、更有可操作性。 從定義上看，它們的主要區(qū)別是：積分是“豎”著分割區(qū)間，而積分是“橫”著分割值域.前者的優(yōu)點是的度量容易給出，但當分法的細度充分小時，函數(shù)在上的振幅仍可能較大；后者的優(yōu)點是函數(shù)在上的振幅較小，但一般不再是區(qū)間，而是可測集.其度量的值一般不易給出.對定義域與對值域的分割是積分與積分的本質區(qū)別，對值域進行分割求積分的方法使中的點分成幾大類，更簡單明了.另外，積分理論是在測度理論的基礎上建立的,測度是平面上度量的推廣，這一理論可以處理有界函數(shù)和無界函數(shù)的情形，而且把函數(shù)定義在更一般的點集上，而不僅僅限于上.然而就是這一點點的差別，使這兩種積分產(chǎn)生了本質的區(qū)別,使勒貝格積分具備了很多黎曼積分所不具備的良好性質.這在下面的討論中可以很清楚的看到. 2．關于Lebesgue積分與Riemann積分的計算比較 前面介紹的積分定義顯然過于理論化，很難看出有固定的計算穩(wěn)定。積分是否只有理論上的意義呢？當然不該如此，下面的內(nèi)容我們討論黎曼可積與勒貝格可積之間的聯(lián)系，再利用這種關系給出一些簡單情況下的積分計算方法。 先約定一些符號，設是上的有界函數(shù)，是非退化區(qū)間，記 稱是在上的振幅，是在點處的振幅。當函數(shù)確定時，與簡記為與。我們有這樣幾個定理[1]： 定理1： 設是定義在上的函數(shù)，，則 (1)對任意，在點連續(xù)當且僅當 (2)集合是閉集。 定理2：區(qū)間上的有界函數(shù)黎曼可積的充要條件是集合的測度為0. 定理3: 若有界函數(shù)在上黎曼可積，則在上也是勒貝格可積，且積分值相等，即 定理2說明積分是積分的推廣，定理3說明對于非負函數(shù)而言積分也是反常積分的推廣，但是一般情況下積分并不是反常積分的推廣，這主要因為積分是絕對收斂的積分而收斂的反常積分并不一定絕對收斂。所以不能以為L積分包括了R積分就得出L積分比R積分優(yōu)越的結論。然而L積分對于R積分來講確實有本質上的進步。 例1：設上的函數(shù) 計算. 解：因是零測集，故在上 因此得 例2令 則在上連續(xù)，在上的反常積分收斂且 。 但是， 同理，。 所以在上不是積分確定的，當然不是可積。 3．從極限理論上比較分析勒貝格積分和黎曼積分的優(yōu)缺點 3．1 勒貝格測度與積分控制收斂定理 勒貝格可測：數(shù)學上，勒貝格測度是賦予歐幾里得空間的子集一個長度、面積、或者體積的標準方法。它廣泛應用于實分析，特別是用于定義勒貝格積分?？梢再x予一個體積的集合被稱為勒貝格可測；勒貝格可測集的體積或者說測度記作。一個值為∞的勒貝格測度是可能的，但是即使如此，在假設選擇公理成立時，Rn的所有子集也不都是勒貝格可測的。不可測集的“奇特”行為導致了巴拿赫-塔斯基悖論這樣的命題，它是選擇公理的一個結果。 勒貝格控制收斂定理 ：設為一個測度空間， 是一個實值的可測函數(shù)列。如果逐點收斂于一個函數(shù)，并存在一個勒貝格可積的函數(shù)，使得對每個，任意，都有 則： 1：也是勒貝格可積的，； 2： 其中的函數(shù)一般取為正值函數(shù)。函數(shù)列的逐點收斂和的性質可以減弱為幾乎處處成立。由此我們可得到積分的幾個優(yōu)點。 3．2 勒貝格積分的優(yōu)點 L積分優(yōu)點1：在積分中逐項積分問題，也就是積分與極限過程交換順序問題，條件相當苛刻，要求被積函數(shù)一致收斂，極限才能通過積分號，這從運算的角度來看不僅不方便，而且限制過強，而積分比積分要求的條件小得多，對非負函數(shù)項級數(shù)幾乎可無條件地逐項積分，就控制收斂定理而言，只須存在控制函數(shù),使得即可，因此在極限換序上積分比積分靈便得多。例如：狄克萊函數(shù) , 把上的有理點依次排列成：作函數(shù)列 則處處收斂于，且，在積分意義下由Lebesgue控制收斂定理 () 但不是可積，盡管在積分意義下，有： ,也談不上()成立。 L積分優(yōu)點2：在積分中可積，有也可積，但反之不成立. 例如 =, 在上可積，但不可積，其大和為1，小和為-1,而在積分中有很好的結論，積分是絕對收斂積分。即：在集合上可測， 可積的充分必要條件是可積，這給研究問題帶來了許多方便。例如：設在E上可積，試證：f(x)在E上可積非負可積.（詳見東北師大霍殿清等編《實變函數(shù)學習參考與習題解答》第68頁.）其中 L積分優(yōu)點3：在積分下二重積分化成累次積分計算時，要求被積函數(shù)在積分區(qū)域上連續(xù)，這一要求是比較高的，運算起來不方便，特別是對非負可測函數(shù)來講，可無條件地化成累次積分，這些結果運用起來比較方便。 參考文獻 [1] 程其襄,張奠宙,魏國強.實變函數(shù)與泛函分析基礎[M].北京:高等教育出版社,1983.97～138. [2] 東北師大霍殿清等編《實變函數(shù)學習參考與習題解答》第68頁. [3] 郭懋正.實變函數(shù)論與泛函分析[M].北京:北京大學出版社,2005. 91～92. [4] 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（上）[M].北京:高等教育出版社,1981.200～203. [5] 王照凱.勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系，[J]. [6] 張君賢.勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系, [J]. 9 / 9