河南省靈寶市第五高級中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列前n項(xiàng)和的求法課件 新人教版必修5

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1、核心提示：核心提示：求數(shù)列的前求數(shù)列的前n n項(xiàng)和要借助于通項(xiàng)和要借助于通項(xiàng)公式，即先有通項(xiàng)公式，再在分析數(shù)項(xiàng)公式，即先有通項(xiàng)公式，再在分析數(shù)列通項(xiàng)公式的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列通項(xiàng)公式的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和。當(dāng)遇列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和。當(dāng)遇到具體問題時(shí)，要注意觀察數(shù)列的特點(diǎn)到具體問題時(shí)，要注意觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律，找到適合的方法解題。和規(guī)律，找到適合的方法解題。求數(shù)列前求數(shù)列前N N項(xiàng)和的常用方法項(xiàng)和的常用方法1 1、公式法公式法 (1)直接利用等差、等比數(shù)列的前直接利用等差、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公項(xiàng)和公式求和式求和 (2)一些常見的數(shù)列的前一些常見的數(shù)

2、列的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 1234n_； 122232n2n(n1)(2n1)6； n(n1) n2 （3 3）等差數(shù)列前）等差數(shù)列前n n項(xiàng)和公式復(fù)習(xí)項(xiàng)和公式復(fù)習(xí)11()1(1)22nnn aaSnan nd（4 4）等比數(shù)列前）等比數(shù)列前n n項(xiàng)和公式復(fù)習(xí)項(xiàng)和公式復(fù)習(xí)11 (1)(1) (1)1nnnaqSaqqqna16,557263aaaana求數(shù)列的前n項(xiàng)的和例1：已知是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且解：解：na數(shù)列是等差數(shù)列2736=16aaaa3655,a a 又23616550,aaxx， 是方程的兩根22165505,11,xxx1方程的兩根x0d 且365,11,aa6311 5

3、2633aad13(1 3)541aad1(1)2nn nSnad(1)22n nn2n 2n2=,.nnaann例 ：數(shù)列的通項(xiàng)求前n項(xiàng)和S222222(11)(22)()(12)(123)(1)(21)(1)62(1)(1).3nSnnnnn nnn nn nn 解析：例3、求數(shù)列項(xiàng)和。前，nn)2221 ()2221 ()221 ()21 (112322解解:2221na12n1212)12(1nn21aaSnna) 12() 12(2) 12(n222nn222121)21(2nnnn所謂分組求和法所謂分組求和法就是對一類既不是等差數(shù)列，也就是對一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列

4、，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。求和，再將其合并。二、分組求和法二、分組求和法 234+1,9 21,12 21,.nnnananS 已知數(shù)列的前 項(xiàng)是：3 2-1,6+2寫出數(shù)列的通項(xiàng)并求其前 項(xiàng)和【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】先求通項(xiàng)先求通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為幾個(gè)轉(zhuǎn)化為幾個(gè)易求和數(shù)列形式易求和數(shù)列形式分別求和分別求和得結(jié)論得結(jié)論)()2() 1(22naaan：、求和例2)1(1)1 (12)1()21 (1)21 ()()()2()1(22nnaaaannnnanaaanaa

5、annn時(shí)，上式當(dāng)時(shí)，上式當(dāng)解：)532()534()532(321nn、求和例)51(43)1(51)51(532)1(2)555(3)21(2)535353()242()532()534()532(11212121nnnnnnnnnnnn解：三、錯(cuò)位相減法三、錯(cuò)位相減法這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列法，這種方法主要用于求數(shù)列 的前的前n n項(xiàng)和，其項(xiàng)和，其中中 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列. .nnab nnab、123214nnxxx、求和例1 1123214nnxxx、求和

6、例4321132nnnxxxxS解：設(shè)xnxxxSnxxxSxnxxxxSxxnnnSxnxxnxxxxSnnnnnnnnnnnnn1)1 (111)1 (1)1 (,12) 1(3211) 1(32212132即得：時(shí)當(dāng)時(shí)，當(dāng)則1 1n2122+.nnSaaa 例 ：求和：【解析解析】(1)(1)11 23;2nn naSn 時(shí)，223112(2)11 ;1121.(2)1nnnnnnaSaaannSaaaaa時(shí)，.（）由（）-(2)得，考場樣題考場樣題 利用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)利用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和若公比是個(gè)參數(shù)列求和若公比是個(gè)參數(shù)( (字母字母) )，則應(yīng)，則

7、應(yīng)先對參數(shù)加以討論，一般情況下分等于先對參數(shù)加以討論，一般情況下分等于1 1和不等于和不等于1 1兩種情況分別求和兩種情況分別求和四、倒序相加法四、倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列 ，與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等，與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為方法稱為倒序相加法倒序相加法。我們在學(xué)知識時(shí)，不但要。我們在學(xué)知識時(shí)，不但要知其果，更要索其因，知識的得出過程是知識的知其果，更要索其因，知識的得出過程是知識的源頭，也是研究同一類知識的工

8、具，源頭，也是研究同一類知識的工具，例如：等差例如：等差數(shù)列前數(shù)列前n n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，用的就是項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，用的就是“倒序相加倒序相加法法”。 na1n1,().2nnnadann aaS例 ： 設(shè) 等 差 數(shù) 列， 公 差 為求 證 ： 等 差 數(shù) 列的 前項(xiàng) 和) 1.(121nnnaaaas)2.(121aaaasnnn)(2)2() 1 (1nnaanS式得2)an(aSn1n從而得，【解析】21)()(122121xfxfxx則：若例?) 1 ()1()2()1()0(fnnfnfnff求：) 1 ()1()2()1()(fnnfnfnfofSn設(shè))()1()2()1() 1

9、(ofnfnfnnffSnnS2得，)1(n21【解析】14n答案：._)1()2()1(.221)1 ()()(3nnfnfnfnxfxfxf則的正整數(shù)為大于又滿足：已知函數(shù)例12n五、裂項(xiàng)相消法五、裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法是將數(shù)列的一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使得是將數(shù)列的一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使得前后項(xiàng)相抵消，留下有限項(xiàng)，從而求出數(shù)列的前前后項(xiàng)相抵消，留下有限項(xiàng)，從而求出數(shù)列的前n n項(xiàng)和。項(xiàng)和。常見的拆項(xiàng)公式有常見的拆項(xiàng)公式有(1)1n (n 1)1n1n 1； (2)1n (n k)1k(1n1n k)； (3)1(2n 1)(2n 1)12(12n 112n 1)； (4)1n n 1

10、n 1n ； 1122511 11.();1111.();2nnnnnnnnnaa ad aaa ad aa（）一般情況如下，若是等差數(shù)列，則：此外根式在分母上時(shí)可考慮利用有理化因式相消求和。1111+()1+212+31+2+nNn例：求數(shù)列：1的和?！窘馕觥?12122,111.nnnnnnnanabnnnaabnS例 ：在數(shù)列中，又求數(shù)列的前 項(xiàng)和._) 13)(23(1741411S3nnn：例31nn六六七七1在直接用公式求和時(shí)，要注意公在直接用公式求和時(shí)，要注意公式的應(yīng)用范圍和公式推導(dǎo)過程中蘊(yùn)式的應(yīng)用范圍和公式推導(dǎo)過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想含的數(shù)學(xué)思想2注意觀察數(shù)列特點(diǎn)和規(guī)律，將一注意觀

11、察數(shù)列特點(diǎn)和規(guī)律，將一般數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和般數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和3 3方程思想、函數(shù)思想、化歸思方程思想、函數(shù)思想、化歸思想、整體思想、分類討論等數(shù)學(xué)思想、整體思想、分類討論等數(shù)學(xué)思想在本節(jié)內(nèi)容中得到了廣泛的應(yīng)用，想在本節(jié)內(nèi)容中得到了廣泛的應(yīng)用，尤其是運(yùn)用化歸的思想將問題轉(zhuǎn)化尤其是運(yùn)用化歸的思想將問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題來研究，是為等差、等比數(shù)列問題來研究，是解答數(shù)列綜合問題的最基本的思解答數(shù)列綜合問題的最基本的思路路 作業(yè)作業(yè)（自由選擇）（自由選擇）、求和：1104000300201nnnS.2232221232nnnS、求和：.11.3212311213nnSn 、求和：4 4、 作業(yè)作業(yè)（自由選擇）（自由選擇）11357( 1)(21)nnSn 5、求和6、求數(shù)列 的前n項(xiàng)和，其中7、求數(shù)列1， ， ， + 的和.an)2(1nnan1121112411124112n