《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》考試題試題及答案

《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》 考試題 ( 、填空題(每空1分，共計(jì)25分) 1. 誤差的表示方法有絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、引用誤差。 2?隨機(jī)誤差的大小，可用測(cè)量值的 標(biāo)準(zhǔn)差 來(lái)衡量，其值越小,測(cè)量值越 集中，測(cè)量 精密度越高。 3. 按有效數(shù)字舍入規(guī)則，將下列各數(shù)保留三位有效數(shù)字： 6.3548 — 6.35 ； 8.8750 —_ 8.88 ; 7.6451 — 7.65 ; 5.4450 — 5.44 ; 547300— 5.47 X 105。 4. 系統(tǒng)誤差是在同一條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，誤差的— 保持不變， 或者在條件改變時(shí)，誤差 按一定規(guī)律變化。系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因有(1)測(cè)量裝置方 面的因素、(2)環(huán)境方面的因素、(3)測(cè)量方法的因素、(4)測(cè)量人員方面 的因素。 5. 誤差分配的步驟是：按等作用原則分配誤差；按等可能性調(diào)整誤差；驗(yàn)算調(diào)整 后的總誤差 。 6. 微小誤差的取舍準(zhǔn)則是 被舍去的誤差必須小于或等于測(cè)量結(jié)果總標(biāo)準(zhǔn)差的 1/3~1/10。 7. 測(cè)量的不確定度與自由度有密切關(guān)系，自由度愈大，不確定度愈 小，測(cè)量結(jié)果的可 信賴(lài)程度愈高。 8. 某一單次測(cè)量列的極限誤差 匚血=0.06mm，若置信系數(shù)為3，則該次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差 丁 二 0.02mm。 9. 對(duì)某一幾何量進(jìn)行了兩組不等精度測(cè)量，已知 ；「x1 = 0.05mm，；「0.04mm，貝U測(cè)量結(jié) 果中各組的權(quán)之比為16:25 。 10. 對(duì)某次測(cè)量來(lái)說(shuō)，其算術(shù)平均值為 15.1253，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為0.015，若要求不 確定度保留兩位有效數(shù)字，則測(cè)量結(jié)果可表示為 15.125(15)。 、是非題(每小題1分，共計(jì)10分) 1. 標(biāo)準(zhǔn)量具不存在誤差。 (X ) 2. 在測(cè)量結(jié)果中，小數(shù)點(diǎn)的位數(shù)越多測(cè)量精度越高。 (X ) 3. 測(cè)量結(jié)果的最佳估計(jì)值常用算術(shù)平均值表示。 (V ) 4. 極限誤差就是指在測(cè)量中，所有的測(cè)量列中的任一誤差值都不會(huì)超過(guò)此極限誤差。 (X ) 5. 系統(tǒng)誤差可以通過(guò)增加測(cè)量次數(shù)而減小。 (X 6. 在測(cè)量次數(shù)很小的情況下，可以用 3二準(zhǔn)則來(lái)進(jìn)行粗大誤差的判別。 (X 7. 隨機(jī)誤差的合成方法是方和根。 (V 8. 測(cè)量不確定度是無(wú)符號(hào)的參數(shù)，用標(biāo)準(zhǔn)差或標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)，或置信區(qū)間的半寬表示。 (V ) 9. 用不同的計(jì)算方法得到的標(biāo)準(zhǔn)不確定度 A類(lèi)評(píng)定的自由度相同。 10. 以標(biāo)準(zhǔn)差表示的不確定度稱(chēng)為展伸不確定度。 (X ) 三、簡(jiǎn)答題(每題4分，共計(jì)20分) 1. 誤差計(jì)算： (1) 檢定2.5級(jí)(即引用誤差為2.5%)、量程為10CV的電壓表，發(fā)現(xiàn)在50V刻度點(diǎn)的示值 誤差為3V為最大誤差，問(wèn)該電壓表是否合格。 解：由引用誤差的定義，引用誤差=示值誤差/測(cè)量范圍上限(量程)，則 因此，該電壓表不合格。 (2) 用兩種方法測(cè)量Lt = 50mm， L2 =80mm，實(shí)際測(cè)得的值分別為50.004mm， 80.006mm。 試評(píng)定兩種測(cè)量方法精度的高低。 解：第一種方法測(cè)量的相對(duì)誤差： 第二種方法測(cè)量的相對(duì)誤差： 第二種方法測(cè)量的相對(duì)誤差小，因此其測(cè)量精度高。 2. 試述正態(tài)分布的隨機(jī)誤差所具有的特點(diǎn)。 答：服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差具有以下四個(gè)特點(diǎn)： (1) 單峰性：小誤差出現(xiàn)的概率比大誤差出現(xiàn)的概率大； (2) 對(duì)稱(chēng)性：正誤差出現(xiàn)的概率與負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等； (3) 抵償性：隨測(cè)量次數(shù)增加，算術(shù)平均值趨于零； (4) 有界性：誤差的分布具有大致的范圍。 3. 試述等精度測(cè)量時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差的不同計(jì)算方法，并寫(xiě)出計(jì)算公式。 答：(1)貝塞爾公式：匚=「彳n-1 (2) 別捷爾斯公式：貯=1.2533況送V|/jn(n—1) (3) 極差法：；丁二 Jdn (4) 最大誤差法：◎ = 6. /人=V /k； ' / | max f 勺 I max / n 4. 用某儀器測(cè)量工件尺寸，已知該儀器的標(biāo)準(zhǔn)差為 匚=0.001m m,若測(cè)量服從正態(tài)分 布，要求測(cè)量的允許極限誤差為 -0.0015mm，置信概率P = 0.95，則應(yīng)至少測(cè)量多少次？正 態(tài)分布積分表如下。 0.05 0.50 0.95 1.96 0.0199 : 0.1915 :0.3289 0.475 解：置信概率P=0.95，由于P=2「(t)，貝卜：」(t) = 0.475，查表得t=1.96 因此，取n = 2。 5. 測(cè)量不確定度與誤差的區(qū)別是什么？ 答：(1)測(cè)量不確定度是一個(gè)無(wú)正負(fù)的參數(shù)，用標(biāo)準(zhǔn)差或標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)表示。誤差則可 正可負(fù)，其值為測(cè)量結(jié)果減去被測(cè)量的真值。 (2) 測(cè)量不確定度表示測(cè)量值的分散性。誤差表明測(cè)量結(jié)果偏離真值的大小及方向。 (3) 測(cè)量不確定度受人們對(duì)被測(cè)量、影響量及測(cè)量過(guò)程的認(rèn)識(shí)程度影響。誤差是客觀(guān)存 在的，不以人的認(rèn)識(shí)程度而改變。 （4） 測(cè)量不確定度可由人們根據(jù)實(shí)驗(yàn)、資料、經(jīng)驗(yàn)等信息進(jìn)行評(píng)定，可以定量確定。由 于真值未知，誤差往往不能準(zhǔn)確得，只有用約定真值代替真值時(shí)，才可以得到誤差的估計(jì) 值。 （5） 評(píng)定不確定度各分量時(shí)，一般不必區(qū)分其性質(zhì)。誤差按性質(zhì)分為隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤 差。 （6） 不能用不確定度對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正，對(duì)已修正的測(cè)量結(jié)果進(jìn)行不確定度評(píng)定時(shí)應(yīng) 考慮修正不完善而引入的不確定度。 四、計(jì)算題（共計(jì)45分） 1.對(duì)某一溫度值T等精度測(cè)量15次，測(cè)得值如下（單位：C）： 20.53，20.52， 20.50，20.52，20.53，20.53，20.50，20.49，20.49，20.51，20.53，20.52，20.49， 20.40，20.50。已知溫度計(jì)的系統(tǒng)誤差為-0.05 C,除此以外不再含有其它的系統(tǒng)誤差，試 判斷該測(cè)量列是否含有粗大誤差，并求溫度的測(cè)量結(jié)果及其標(biāo)準(zhǔn)差。（可能用到的數(shù)據(jù) g0（15,0.05） =2.41，r0（15,0.05） = 0.525 ） （ 15分） 解： （1）判別粗大誤差: ① 算術(shù)平均值：〒二丄J 丁二20.5049 n i 二 （1 分） ②殘余誤差 Vi -T :分別為（C）： 0.026，0.016，-0.004，0.016，0.026， 0.026，-0.004，-0.014，-0.014，0.006，0.026，0.016，-0.014，-0.104，-0.004。 （1分） ③測(cè)量列單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差: 15 2 Vi 15-1 = 0.033 0 （1 分） ④根據(jù)3口準(zhǔn)則：3^=37.033 = 0.099，第14測(cè)得值的殘余誤差v14 = 0.105a 0.099，則 第14個(gè)數(shù)據(jù)20.40為粗大誤差，應(yīng)剔除。 （1分） 將剔除后的數(shù)據(jù)繼續(xù)進(jìn)行粗大誤差的判斷，未發(fā)現(xiàn)再有粗大誤差 （1分） （2）計(jì)算剔除粗大誤差后的算術(shù)平均值的極限誤差： [14 ” 計(jì)算剔除后的算術(shù)平均值：T = —a 丁 = 20.51C 14 im （1分） 對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行系統(tǒng)誤差的修正: T = 20.51 0.05 = 20.56 七 遲Vi2遲Vi2 單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差：▽ = d — =、］ — =o.oi6c \ n —1 \14-1 （1分） 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差：；十=二-0'016 = 0.0043 C （2分） 算術(shù)平均值的極限誤差：t=3 , P=99.73% 、伽亍=：t；「T =： 3 0.0043 = ： 0.013C （2分） （3）測(cè)量結(jié)果： T 二「_、伽T =（20.56 _0.013）：C （2分） 2. 為求長(zhǎng)方體的體積V，直接測(cè)量其各邊長(zhǎng)為a = 161.6mm，b = 44.5mm， c = 11.2m m，已知測(cè)量的系統(tǒng)誤差為.〉a=1.2mm， b = -0.8mm， 0.5mm，測(cè)量的極限 誤差為-w二0.8mm，-p二0.5mm，氣二0.5mm。試求長(zhǎng)方體的體積及體積的極限誤差。 解： 長(zhǎng)方體的體積 直接測(cè)量結(jié)果: 3 V0=abc =161.6 44.5 11.2 =80541.44 mm (2 分) 由于 則，長(zhǎng)方體體積的系統(tǒng)誤差 ca cb cc ( 3 = 498.4 1.2 1809.92 (-0.8) 7191.2 0.5 = 2745.744mm3 分） 因此，長(zhǎng)方體的體積 (2 3 V =V0 - V =80541.44 -2745.744 = 77795.696 mm 分） 極限誤差為 (3 -■ 498.42 0.82 1809.922 0.52 7191.22 0.52 =3729.11mm3 分） 因此，長(zhǎng)方體的體積是77795.696mm3，體積的極限誤差是_3729.11mm3。 3. 測(cè)量某電路電阻R兩端的電壓U，由公式I二U；R算出電路電流I。若測(cè)得 U — =（16.50 _0.05）V， R _；「R =（4.26 _0.02）門(mén)，相關(guān)系數(shù)-0.36。試求標(biāo)準(zhǔn)不確定 度表示的電路電流I。 解： 不考慮誤差下的電路電流 I 二U . R =16.5 426 =3.87A 分） 電流的標(biāo)準(zhǔn)不確定度 ui 迄U丿 U2 -0.025A 2 cR s R ；R2 U；- R （5 分） 不確定度報(bào)告：I =（3.87 _0.025）A （ 3 分） -Lyi - xi 4. 已知測(cè)量方程為： y2 = x2 ，而yi，y2， y3的測(cè)量結(jié)果分別為l^ 5.26mm， I 丿3 X2 I2 =4.94mm，I3 =10.14mm，試求洛與x?的最小二乘估計(jì)及其精度估計(jì)。（10 分） 解： （1）求最小二乘估計(jì) 力=x 建立方程組，y^X2 ，寫(xiě)為矩陣的形式：L =A?，即 y^X1 X2 （3 分） 則 即，［:卜芝 X1與X2的最小二乘估計(jì)值分別為 X1 = 5.24mm， x^ 4.92mm。 （2分） （2）計(jì)算精度 a ?測(cè)量值的精度： .i 二 h - Xi i 二 0?02 2 = L ~'X? ，得'-:-2~ 0.02 「3 = I3 一(X[ X2) ■.■■■ 3 = —0?02 則， 0.022 0.022 (-0.02)2 V ^2 二 0.035mm (2 由^ 2土 ： ；，得正規(guī)方程，I2X1 qx^；5.40 仁 二 Xi+2x2 =15.08 ai2aiiXi ■ a2812X2 ai2h i 4 i 1 i A 2d11 d12 J d11 2d12 -1 =0 得, = 0.67 分） b ?估計(jì)值的精度為: 正規(guī)方程為 1 1 0 5.26 1 0 0 5.26 0 2 0 1 4.94 0 1 0 0 4.94 3 1 1 10.14 1 1 1 1 10.14 10.14 2 2 1 15.40 15.08 ] * 2 2 2 Z aiaMi +£ aiiai2X2 =送 aiili _ 同理, 2d12 d22 d12 2d22 =1 得, d22 = 0.67 則, (3 ；「x _ ； d22 二 0.035 、0.67 二 0.028mm 分）