高考數(shù)學一輪復習 第八章第八節(jié) 第三課時 定點 定值 探索性問題 文 湘教版

第三課時定點、定值、探索性問題第三課時定點、定值、探索性問題解(1)如圖， 設動圓圓心O1(x， y)， 由題意， |O1A|O1M|，當 O1不在 y 軸上時， 過 O1作 O1HMN 交 MN 于 H， 則 H是 MN 的中點，|O1M|x242，又|O1A|x42y2， x42y2x242，化簡得 y28x(x0)又當 O1在 y 軸上時，O1與 O 重合，點 O1的坐標(0,0)也滿足方程y28x，動圓圓心的軌跡C 的方程為 y28x.思路點撥思路點撥1設出圓心坐標，利用圓在設出圓心坐標，利用圓在y y軸上截得的弦長軸上截得的弦長構建方程，得到圓心的軌跡方程構建方程，得到圓心的軌跡方程( (注意對圓心注意對圓心是否在是否在y y軸上進行討論軸上進行討論). ).(2)證明：如圖，由題意，設直線 l 的方程為 ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將 ykxb 代入 y28x 中，得 k2x2(2bk8)xb20，其中32kb640.由根與系數(shù)的關系得，x1x282bkk2，x1x2b2k2，思路點撥思路點撥2設出直線設出直線l l的方程，與曲線的方程，與曲線C C的方程聯(lián)立，得到的方程聯(lián)立，得到關于關于x x的方程，由根與系數(shù)的關系得到兩根的的方程，由根與系數(shù)的關系得到兩根的和與積，并利用和與積，并利用x x軸是角軸是角PBQPBQ的角平分線的性的角平分線的性質得到質得到P,QP,Q兩點的坐標關系式，進而得到直線兩點的坐標關系式，進而得到直線所過定點所過定點. .針對訓練針對訓練 典例(2013江西高考)橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的離心率e32，ab3.思路點撥思路點撥1由橢圓的離心率及條件由橢圓的離心率及條件a+b=3a+b=3構建方程組，構建方程組，解得解得a,ba,b即可即可. .解(1)因為 e32ca，所以 a23c，b13c.代入 ab3 得，c 3，a2，b1.故橢圓 C 的方程為x24y21.典例(2013江西高考)橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的離心率e32，ab3.(2)如圖，A，B，D 是橢圓 C 的頂點，P 是橢圓 C 上除頂點外的任意一點，直線 DP 交 x 軸于點 N，直線 AD 交 BP 于點 M，設 BP 的斜率為 k，MN 的斜率為 m.證明：2mk 為定值思路點撥思路點撥2運用點斜式設出直線運用點斜式設出直線BPBP的方程，代入橢圓方程中，的方程，代入橢圓方程中，求得點求得點P P的坐標，同理求得點的坐標，同理求得點M M的坐標，然后由的坐標，然后由D,P,D,P,N N三點共線得三點共線得N N的坐標，再由兩點的斜率公式進行化的坐標，再由兩點的斜率公式進行化簡即可證明簡即可證明. .解(2)證明：因為 B(2,0)，P 不為橢圓頂點，則直線BP 的方程為yk(x2)k0，k12 ，把代入x24y21，解得 P8k224k21，4k4k21 .針對訓練針對訓練解(1)拋物線 y28x 的焦點為橢圓E 的頂點，即 a2.又ca12， 故 c1，b 3.橢圓 E 的方程為x24y231.思路點撥思路點撥1由拋物線焦點坐標得橢圓長半軸長由拋物線焦點坐標得橢圓長半軸長a a，由離，由離心率求心率求b b，得到橢圓方程，得到橢圓方程. .典例(2013成都模擬)已知橢圓 E：x2a2y2b21(ab0)以拋物線 y28x 的焦點為頂點，且離心率為12.(2)若直線 l：ykxm 與橢圓 E 相交于 A，B 兩點，與直線 x4相交于 Q 點，P 是橢圓 E 上一點且滿足OP OA OB (其中 O 為坐標原點)，試問在 x 軸上是否存在一點T，使得OP TQ為定值？若存在，求出點 T 的坐標及OP TQ 的值；若不存在，請說明理由思路點撥思路點撥2將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系表示出向量系表示出向量OPOP的坐標，再表示出向量的坐標，再表示出向量TQTQ坐標，坐標，結合向量數(shù)量積為定值來確定點結合向量數(shù)量積為定值來確定點T T的坐標的坐標. .解(2)設 A(x1，y1)，B(x2，y2)聯(lián)立ykxm，3x24y212.得(4k23)x28kmx4m2120.由根與系數(shù)的關系，得x1x28km4k23，y1y2k(x1x2)2m6m4k23.將 P8km4k23，6m4k23 代入橢圓 E 的方程，得64k2m244k23236m234k2321.整理，得 4m24k23.設 T(t,0)，Q(4，m4k)