河南省靈寶市第五高級(jí)中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列通項(xiàng)公式的求法課件 新人教版必修5

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1、知識(shí)框架知識(shí)框架數(shù)數(shù) 列列等差數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列等比數(shù)列通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式前前 項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式n通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式前前 項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式n數(shù)列的應(yīng)用數(shù)列的應(yīng)用由遞推公式求通項(xiàng)由遞推公式求通項(xiàng)數(shù)列求和數(shù)列求和由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)由前由前 項(xiàng)和求通項(xiàng)項(xiàng)和求通項(xiàng)n通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式1. . 數(shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法數(shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖象、解析法）；單的表示方法（列表、圖象、解析法）； 了解數(shù)列是自變了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一種特殊函數(shù)量為正整數(shù)的一種特殊函數(shù).2. . 等差數(shù)列、等比數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列理解等差數(shù)

2、列、等比數(shù)列的概念理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式項(xiàng)和的公式.能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.了解等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系了解等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.理解由遞推公式求通項(xiàng)公式及數(shù)列求和的常用方法理解由遞推公式求通項(xiàng)公式及數(shù)列求和的常用方法.考試要求考試要求從高考情況來(lái)看從高考情況來(lái)看, ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式主要有三種類型求數(shù)列的通項(xiàng)公式主要有三種

3、類型: :(1)(1)給出數(shù)列前幾項(xiàng)的值給出數(shù)列前幾項(xiàng)的值, ,求通項(xiàng)公式求通項(xiàng)公式; ;(2)(2)給出數(shù)列的首項(xiàng)給出數(shù)列的首項(xiàng)( (或前幾項(xiàng)或前幾項(xiàng)) )和遞推公式和遞推公式, ,求通項(xiàng)公式求通項(xiàng)公式; ;(3)(3)給出數(shù)列的前給出數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式S Sn n, ,求通項(xiàng)公式求通項(xiàng)公式. . 對(duì)于對(duì)于(1)(1)、(2)(2)兩種類型兩種類型, ,應(yīng)先考慮是否為應(yīng)先考慮是否為等差或等比等差或等比數(shù)列數(shù)列, ,或者能否轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列或者能否轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列, ,如是如是, ,則可利用則可利用等差等差( (或等比或等比) )數(shù)列通項(xiàng)公式求解數(shù)列通項(xiàng)公式求解; ;若不是

4、若不是, ,則可以考慮則可以考慮觀察歸納法觀察歸納法, ,通過(guò)對(duì)數(shù)列前幾項(xiàng)的觀察、分析通過(guò)對(duì)數(shù)列前幾項(xiàng)的觀察、分析, ,尋找尋找a an n與與n n之間的關(guān)系之間的關(guān)系, ,從而求出通項(xiàng)公式從而求出通項(xiàng)公式. . 對(duì)于第對(duì)于第(3)(3)類類, ,則可利用則可利用a an n與與S Sn n之間的關(guān)系求解之間的關(guān)系求解, ,但要但要注意分注意分n=1n=1和和n n 2 2兩種情況計(jì)算兩種情況計(jì)算, ,最后要驗(yàn)證兩者能否最后要驗(yàn)證兩者能否統(tǒng)一統(tǒng)一. .121112 34(2) 12132 4 6 821 1 1142 3 451 2 4 82(6)1 4 9 1671 1 1 11nnnnn

5、nnnn;(an)(an), , ,(an), ,(a)n, , ,(a), , ,;(an )( ), ,.(a() （）自自然然數(shù)數(shù)列列： ， ， ， ，奇奇數(shù)數(shù)列列： ，3 3, ,5 5, ,7 7, , ；（）偶偶數(shù)數(shù)列列： ， ；（） 倒倒數(shù)數(shù)列列： 1 1, , ，；（） 數(shù)數(shù)列列： ；數(shù)數(shù)列列： 數(shù)數(shù)列列： 或或11nna() 要要熟熟知知一一些些常常見(jiàn)見(jiàn)數(shù)數(shù)列列的的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式. .251017,.(1)0 3 8 15 2421 713 1921017 26373137911134 9 99 999 99995 3 33 333 33337 77 777 7777(7)

6、3, 5, 3, 5, 3, 5,;(8)2 ,4 ,6 ,.8根根據(jù)據(jù)下下列列各各數(shù)數(shù)列列的的前前幾幾項(xiàng)項(xiàng)的的值值 寫寫出出數(shù)數(shù)列列的的一一個(gè)個(gè)通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式， ， ， ；（ ） ， ， ， ；（ ） ， ， ， ， ；（ ）， ， ； （ ）， ， ；（6 6）， ， ；例例1 1;(9) 25 2 211 ， ， ； 點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng) 求通項(xiàng)公式主要有（求通項(xiàng)公式主要有（1）觀察法（也稱不完全歸納法）；）觀察法（也稱不完全歸納法）； （2）公式法（等差或等比）公式法（等差或等比）.題型一題型一 已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求通項(xiàng)公式：已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求通項(xiàng)公式： 22nnn2n1nnnnnnnnnn1

7、nn(1)a2 a(6n5);n13a2n14 a15 a37a9(7)a4;(8)a;(9)a2(n1)33n1 解解 ：= =n n - -1 1；（ ）= =( (- -1 1) )（ ）= =( (- -1 1) )；（ ）= =1 10 0 - -1 1；（ ）= =( (1 10 0 - -1 1) )；（ 6 6）= =( (1 10 0 - -1 1) )；= =( (- -1 1) )= =( (2 2n n) )= =n點(diǎn)點(diǎn)評(píng)評(píng): :（1 1）觀觀察察各各部部分分與與項(xiàng)項(xiàng)數(shù)數(shù) 的的觀觀察察法法用用不不完完全全歸歸納納根根據(jù)據(jù)數(shù)數(shù)列列的的前前若若干干項(xiàng)項(xiàng)求求通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式,

8、 ,常常用用. .( (如如符符號(hào)號(hào), ,絕絕對(duì)對(duì)值值, ,分分子子, ,分分母母, ,底底數(shù)數(shù), ,指指數(shù)數(shù)等等) ), ,然然后后, ,最最后后得得出出通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式；（2 2）若若某某一一部部分分成成等等差差數(shù)數(shù)列列或或等等比比數(shù)數(shù)列列, ,就就直直接接用用等等差差、等等比比數(shù)數(shù)列列的的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式；（3 3）要要通通常常先先將將熟熟知知一一些些每每項(xiàng)項(xiàng)分分解解成成幾幾部部分分常常見(jiàn)見(jiàn)數(shù)數(shù)列列的的通通法法關(guān)關(guān)系系項(xiàng)項(xiàng)公公式式. .注意注意“三定三定”： -定符號(hào)定符號(hào) -定分子、分母或底數(shù)、指數(shù)定分子、分母或底數(shù)、指數(shù) -確定項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系確定項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系題型二題型二:等差或等比

9、數(shù)列的通項(xiàng)公式求法等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求法（公式法）公式法） 當(dāng)已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時(shí)，可直接利用當(dāng)已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時(shí)，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求得首項(xiàng)及公差等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求得首項(xiàng)及公差公比。公比。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：1(1)naand等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式： 11nnqaaqqbb2213)2( 例：已知數(shù)列例：已知數(shù)列anan是公差為是公差為d d的等差數(shù)列，數(shù)列的等差數(shù)列，數(shù)列bnbn是公比為是公比為q(qRq(qR且且q1)q1)的等比數(shù)列，若函數(shù)的等比數(shù)列，若函數(shù)f f(x)(x)=(x=(x1)1)2

10、 2，且，且a a1 1=f=f(d(d1)1)，a a3 3=f=f(d+1)(d+1)，b b1 1=f=f(q+1)(q+1)，b b3 3=f=f(q(q1)1)，求數(shù)列，求數(shù)列 a an n 和和 b bn n 的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；解：解：(1)a(1)a1 1=f=f(d(d1)1)=(d=(d2)2)2 2，a a3 3=f=f(d+1)(d+1)=d=d2 2，aa3 3a a1 1=d=d2 2(d(d2)2)2 2=2d=2d，d=2d=2，aan n=a=a1 1+(n+(n1)d=2(n1)d=2(n1)1)；又又b b1 1=f=f(q+1)(q+1)=q=q2

11、2，b b3 3=f=f(q(q1)1)=(q=(q2)2)2 2， =q =q2 2，由，由qRqR，且，且q1q1，得，得q=q=2 2，bbn n=b=b1 1qqn n1=4(1=4(2)2)n n1 1)(1nfaann 類型類型1求法：累加法求法：累加法若數(shù)列若數(shù)列a an n , ,滿足滿足 , ,其中其中f f(n)(n)是可求和數(shù)列，那么可用逐項(xiàng)作差后累加的方法求是可求和數(shù)列，那么可用逐項(xiàng)作差后累加的方法求a an n，適用于差為特殊數(shù)列的數(shù)列。適用于差為特殊數(shù)列的數(shù)列。.),2( 12,2, 1,11的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式求數(shù)列求數(shù)列有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)已知已知中中在數(shù)列在數(shù)列 nn

12、aanaannn例例題型三題型三 由遞推公式求通項(xiàng)公式的方法：由遞推公式求通項(xiàng)公式的方法： )(1nfaann )(1nfaann 類型類型2求法：累乘法求法：累乘法.),2,()1(, 1,11的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式求數(shù)列求數(shù)列有有已知已知中中在數(shù)列在數(shù)列nnnnanNnannaaa 例例)1, 0(1 ppqpaann.),1(32, 1,11的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式求數(shù)列求數(shù)列若若中中已知數(shù)列已知數(shù)列nnnnanaaaa 例例.,),(.:1求通項(xiàng)求通項(xiàng)化為等比數(shù)列化為等比數(shù)列為待定系數(shù)為待定系數(shù)其中其中令令待定系數(shù)法待定系數(shù)法求法求法 nnna apa類型類型3類型類型 4nnS已已知知=f

13、(n),=f(n),求求通通項(xiàng)項(xiàng)a a 1112nnnnnSnaSSnSan 利利用用數(shù)數(shù)列列的的前前 項(xiàng)項(xiàng)和和與與通通項(xiàng)項(xiàng) 的的關(guān)關(guān)系系注意注意:此類題在求通項(xiàng)時(shí)此類題在求通項(xiàng)時(shí),要分兩種情況計(jì)算要分兩種情況計(jì)算, 最后看兩者能否統(tǒng)一最后看兩者能否統(tǒng)一. 2123232nnnnnaS,Snn;S已已知知下下面面各各數(shù)數(shù)列列的的前前項(xiàng)項(xiàng)和和的的公公式式求求的的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式. .1 1例例 、注意注意:此類題在求通項(xiàng)時(shí)此類題在求通項(xiàng)時(shí),要分兩種情況計(jì)算要分兩種情況計(jì)算, 最后看兩者能否統(tǒng)一最后看兩者能否統(tǒng)一. 11nn2nnanSlogS+ 1n,a . 練練 ：已已知知數(shù)數(shù)列列的的前前 項(xiàng)

14、項(xiàng)和和滿滿足足求求通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式)(nnafS .,N),2()1(6, 11的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式求求且且滿足滿足項(xiàng)和項(xiàng)和的前的前列列已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)nnnnnnanaaSSSna 例例.,2:1的遞推關(guān)系求解的遞推關(guān)系求解或或化為化為時(shí)時(shí)利用利用求法求法nnnnnSa SSan 類型類型5)1, 0)(1 ppnfpaann.),(22, 111的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式求數(shù)列求數(shù)列中中在數(shù)列在數(shù)列nnnnnaNnaaaa 例例.)(:111后累加法求解后累加法求解待定系數(shù)法或化為待定系數(shù)法或化為求法求法 pnfpapannnnn 類型類型6., 12通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式的的

15、求求項(xiàng)和項(xiàng)和的前的前是是其中其中滿足滿足已知數(shù)列已知數(shù)列nnnnnnanaSnaSa 例例63類型類型7 73類型類型7 7),(1均不為零均不為零rqprqapaannn .,12, 1,111的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式求求中中已知數(shù)列已知數(shù)列nnnnnaSSSaa 例例7.3,;,:求通項(xiàng)求通項(xiàng)則化為類型則化為類型若若通項(xiàng)通項(xiàng)則化為等差數(shù)列求則化為等差數(shù)列求若若倒數(shù)法倒數(shù)法求法求法rp rp 類型類型8作業(yè)作業(yè)（自由選擇）（自由選擇） 111,5.nnnnaaaaa例2、在數(shù)列中，求 112,4.nnnnaaaaa練習(xí)、在數(shù)列中，求3、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：1111,32;nnaaa

16、（ ）1121,23;nnaaa（ ）11131,1;2nnaaa（ ）11141,2;3nnaaa（ ） 2 2、1 1、作業(yè)作業(yè)（自由選擇）（自由選擇）6、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：11213,(2)21nnnaaann5、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：11111,(2);nnnaaann （ ）4、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式、根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：11111,2;nnnaaa （ ）作業(yè)作業(yè)（自由選擇）（自由選擇） 2123232nnnnnaS,Snn;S 已已知知下下面面各各數(shù)數(shù)列列的

17、的前前項(xiàng)項(xiàng)和和的的公公式式求求的的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式. .1 1例例 、 11nn2nnanSlogS + 1n,a . 練練 ：已已知知數(shù)數(shù)列列的的前前 項(xiàng)項(xiàng)和和滿滿足足求求通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式 7 7、 8 8、作業(yè)作業(yè)（自由選擇）（自由選擇） 1nnnnaSaa . 例例2 2：在在數(shù)數(shù)列列中中，已已知知2 2（n n+ +2 2) )求求通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式 1123111111231,(),.nnnnaaaaaanna 已已知知數(shù)數(shù)列列滿滿足足a a求求數(shù)數(shù)列列的的通通練練 . .項(xiàng)項(xiàng)公公式式1 1 9 9、 10 10、 11 11、已知數(shù)列、已知數(shù)列 滿足滿足 ， ，求數(shù)列求數(shù)列 的通項(xiàng)公式。的通項(xiàng)公式。1232nnnaa作業(yè)作業(yè)（自由選擇）（自由選擇）12a na na 1212、已知數(shù)列、已知數(shù)列aan n 中，中，a a1 1=1,a=1,an+1n+1+3a+3an+1n+1a an n-a-an n=0, =0, 求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式.