高考數學一輪復習總教案103 空間點線面之間的位置關系

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1、10.3 空間點、線、面之間的位置關系 典例精析 題型一 證明三線共點 【例1】 已知空間四邊形ABCD中,E、F分別是AB、AD的中點,G、H分別是BC、CD上的點,且==2.求證:直線EG、FH、AC相交于同一點P. 【證明】因為E、F分別是AB、AD的中點, 所以EF∥BD,且EF=BD. 又因為==2,所以GH∥BD,且GH=BD, 所以EF∥GH且EF>GH, 所以四邊形EFHG是梯形,其兩腰所在直線必相交, 設兩腰EG、FH的延長線相交于一點P, 因為EG?平面ABC,F(xiàn)H?平面ACD, 所以P∈平面ABC,P∈平面ACD. 又平面ABC∩平面ACD=A

2、C,所以P∈AC, 故直線EG、FH、AC相交于同一點P. 【點撥】證明三線共點的方法:首先證明其中的兩條直線交于一點,然后證明第三條直線是經過這兩條直線的兩個平面的交線;由公理3可知,兩個平面的公共點必在這兩個平面的交線上,即三條直線交于一點. 【變式訓練1】如圖,在四面體ABCD中作截面PQR,PQ、CB的延長線交于M,RQ、DB的延長線交于N,RP、DC的延長線交于K.求證:M、N、K三點共線. 【證明】 ?M、N、K在平面BCD與平面PQR的交線上,即M、N、K三點共線. 題型二 空間直線的位置關系 【例2】 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是CD的中點,連接AE

3、并延長與BC的延長線交于點F,連接BE并延長交AD的延長線于點G,連接FG. 求證:直線FG?平面ABCD且直線FG∥A1B1. 【證明】因為E為CD的中點,在正方體中AE?平面ABCD, 又AE∩BC=F,所以F∈AE,所以F∈平面ABCD, 同理G∈平面ABCD,所以FG?平面ABCD. 因為ECAB,故在Rt△FBA中,CF=BC,同理DG=AD, 所以在正方體中CFDG,所以四邊形CFGD是平行四邊形, 所以FG∥CD,又CD∥AB,AB∥A1B1, 所以直線FG∥A1B1. 【點撥】空間直線的位置關系,常需利用線面、面面、線線的關系確定,推導時需有理有據. 【變式

4、訓練2】已知AC的長為定值,點D?平面ABC,點M、N分別是△DAB和△DBC的重心.求證:無論B、D如何變換位置,線段MN的長必為定值. 【解析】如圖,延長DM交AB于F,延長DN交BC于E. 因為M、N為重心,所以F、E分別為AB、BC的中點, 所以EF∥AC且EF=AC. 又在△DEF中,DM∶MF=DN∶NE=2∶1, 所以MN∥EF且MN=EF,所以MN∥AC且MN=AC, 即MN為與B、D無關的定值. 題型三 異面直線所成的角 【例3】 在空間四邊形ABCD中,已知AD=1,BC=且AD⊥BC,對角線BD=,AC=,求AC和BD所成的角. 【解析】作平行線,找出與

5、異面直線所成的角相等的平面角,將空間問題轉化為平面問題.如圖所示,分別取AD、CD、AB、BD的中點E、F、G、H,連接EF、FH、HG、GE、GF.由三角形的中位線定理知,EF∥AC,且EF=,GE∥BD,且GE=.GE和EF所成的銳角(或直角)就是AC和BD所成的角. 同理,GH=,HF=,GH∥AD,HF∥BC. 又AD⊥BC,所以∠GHF=90°,所以GF2=GH2+HF2=1. 在△EFG中,EG2+EF2=1=GF2, 所以∠GEF=90°,即AC和BD所成的角為90°. 【點撥】立體幾何中,計算問題的一般步驟:(1)作圖;(2)證明;(3)計算.求異面直線所成的角常采用

6、“平移線段法”,平移的方法一般有三種類型:利用圖中已有的平行線平移,利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移,補形平移.計算異面直線所成的角通常放在三角形中進行. 【變式訓練3】線段AB的兩端在直二面角α-CD-β的兩個面內,并與這兩個面都成30°角,求異面直線AB與CD所成的角. 【解析】在平面α內作AE⊥CD, 因為α-CD-β是直二面角,由面面垂直的性質定理, 所以AE⊥β,所以∠ABE是AB與平面β所成的角. 所以∠ABE=30°,所以AE=AB,同理作BF⊥CD,則易得BF=AB. 在平面β內作BGEF,則四邊形BGEF是矩形,即BG⊥GE. 又因為AE⊥β,BG?β,所以AE⊥BG. 所以BG⊥平面AEG,所以BG⊥AG. 因為BG∥EF,所以BG∥CD,所以∠ABG是異面直線AB與CD所成的角. 又因為在Rt△AEG中,AG===AB, 所以在Rt△ABG中,sin∠ABG==, 所以∠ABG=45°. 總結提高 本節(jié)內容主要以四個公理為依托,導出異面直線,等角定理,線線、線面、面面關系.可見,解決此類問題要以公理為標準,以眼前的點、線、面的實際物體為參考,培養(yǎng)空間想象能力,重點是點共線、線共面、異面直線、等角定理應用. 內容總結

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