五年高考真題數(shù)學(xué)理 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布

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1、 考點(diǎn)一 條件概率與相互獨(dú)立事件的概率 1.(2015·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,4)投籃測(cè)試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立,則該同學(xué)通過測(cè)試的概率為(  ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 解析 該同學(xué)通過測(cè)試的概率為p=0.6×0.6+C×0.4×0.62=0.648. 答案 A 2.(2014·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,5)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(  )

2、 A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 解析 由條件概率可得所求概率為=0.8,故選A. 答案 A 3.(2011·湖南,15)如圖,EFGH是以O(shè)為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)接正方形.將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi),用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”,則 (1)P(A)=________. (2)P(B|A)=________. 解析 圓的半徑為1,正方形的邊長(zhǎng)為,∴圓的面積為π,正方形面積為2,扇形面積為.故P(A)=, P(B|A)===. 答案 (1) (2) 4.(2014·陜西,19)在一塊耕地上種植

3、一種作物,每季種植成本為1 000元,此作物的市場(chǎng)價(jià)格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性,且互不影響,其具體情況如下表: 作物產(chǎn)量(kg) 300 500 概率 0.5 0.5 作物市場(chǎng)價(jià)格(元/kg) 6 10 概率 0.4 0.6 (1)設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤(rùn),求X的分布列; (2)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物,求這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于 2 000元的概率. 解 (1)設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”,B表示事件“作物市場(chǎng)價(jià)格為 6元/kg”,由題設(shè)知P(A)=0.5,P(B)=0.4, 因?yàn)槔麧?rùn)=產(chǎn)量×市場(chǎng)價(jià)格-成本, 所以

4、X所有可能的取值為 500×10-1 000=4 000,500×6-1 000=2 000, 300×10-1 000=2 000,300×6-1 000=800. P(X=4 000)=P()P()=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3, P(X=2 000)=P()P(B)+P(A)P(B)=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5, P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2, 所以X的分布列為 X 4 000 2 000 800 P 0.3 0.5 0.2 (2)設(shè)Ci表示事件“第i季利潤(rùn)不少于2 000元”(i=1,2,

5、3), 由題意知C1,C2,C3相互獨(dú)立,由(1)知, P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3), 3季的利潤(rùn)均不少于2 000元的概率為 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512; 3季中有2季的利潤(rùn)不少于2 000元的概率為P(1C2C3)+P(C12C3)+P(C1C23)=3×0.82×0.2=0.384, 所以,這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于2 000元的概率為0.512+0.384=0.896. 5.(2013·遼寧,19)現(xiàn)有10道題,其中6道甲類題,4道乙類題,張同學(xué)從中任取3

6、道題解答. (1)求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率; (2)已知所取的3道題中有2道甲類題,1道乙類題.設(shè)張同學(xué)答對(duì)每道甲類題的概率都是,答對(duì)每道乙類題的概率都是,且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立.用X表示張同學(xué)答對(duì)題的個(gè)數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解 (1)設(shè)事件=“張同學(xué)所取的3道題至少有1道乙類題”,則有A=“張同學(xué)所取的3道題都是甲類題”. 因?yàn)镻()==, 所以P(A)=1-P()=. (2)X所有的可能取值為0,1,2,3. P(X=0)=C···=; P(X=1)=C···+C··=; P(X=2)=C···+C··=; P(X=3)=C···=. 所以X的分布列為

7、: X 0 1 2 3 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×=2. 6.(2012·山東,19)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶,某射手向甲靶射擊一次,命中的概率為,命中得1分,沒有命中得0分;向乙靶射擊兩次,每次命中的概率為,每命中一次得2分,沒有命中得0分.該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.假設(shè)該射手完成以上三次射擊. (1)求該射手恰好命中一次的概率; (2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X). 解 (1)記:“該射手恰好命中一次”為事件A,“該射手射擊甲靶命中”為事件B,“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C,“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D,由題意知

8、P(B)=,P(C)=P(D)=,由于A=B+C+D,根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得P(A)=P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D) =P(B)P()P()+P()P(C)P()+P()P()P(D)=××+××+××=. (2)根據(jù)題意,X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5. 根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得 P(X=0)=P() =[1-P(B)][1-P(C)][1-P(D)] =(1-)××=, P(X=1)=P(BCD) =P(B)P()P() =××=, P(X=2)=P(BCD+BCD) =P(C)+P(D) =××+ ××=, P(X=3)=P(B

9、C+BD) =P(BC)+P(BD) =××+××=, P(X=4)=P(BCD)=××=, P(X=5)=P(BCD)=××=. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=. 7.(2011·大綱全國(guó),18)根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料,某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5,購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3.設(shè)各車主購(gòu)買保險(xiǎn)相互獨(dú)立. (1)求該地1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率; (2)X表示該地的100位車主中,甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的車主數(shù).求X的期望. 解 設(shè)A

10、表示事件:該地的1位車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn); B表示事件:該地的1位車主購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn); C表示事件:該地的1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種; D表示事件:該地的1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買. (1)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B, P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8. (2)D=C,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,X~B(100,0.2),即X服從二項(xiàng)分布, 所以期望E(X)=100×0.2=20. 考點(diǎn)二 正態(tài)分布 1.(2015·湖南,7)在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn),則落入陰影部分(曲線C為正

11、態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為(  ) 附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6, P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4. A.2 386 B.2 718 C.3 413 D.4 772 解析 由X~N(0,1)知,P(-1<X≤1)=0.682 6, ∴P(0≤X≤1)=×0.682 6=0.341 3,故S≈0.341 3. ∴落在陰影部分中點(diǎn)的個(gè)數(shù)x估計(jì)值為=(古典概型), ∴x=10 000×0.341 3=3 413,故選C. 答案 C 2.(2015·山東,8)已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)

12、分布N(0,32),從中隨機(jī)取一件,其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為(  ) (附:若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.) A.4.56% B.13.59%C.27.18% D.31.74% 解析 由題意,知P(3<ξ<6)===13.59%. 答案 B 3.(2014·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,18)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖: (1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中

13、點(diǎn)值作代表); (2)由直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù)x,σ2近似為樣本方差s2. (ⅰ)利用該正態(tài)分布,求P(187.8

14、×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200, s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150. (2)(ⅰ)由(1)知,Z~N(200,150),從而 P(187.8

15、 6=68.26. 4.(2013·湖北,20)假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800,502) 的隨機(jī)變量,記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p0. (1)求p0的值; (參考數(shù)據(jù):若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ

16、不超過21輛車的客運(yùn)車隊(duì),并要求B型車不多于A型車7輛,若每天要以不小于p0的概率運(yùn)完從甲地去乙地的旅客,且使公司從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本最小,那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛? 解 (1)由于隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布 N(800,502), 故有μ=800,σ=50,P(700

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