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1、 一、對函數(shù)自變量的取值范圍一分為二
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例1（2010年高考全國卷Ⅰ第20題）已知函數(shù).（1）若，求的取值范圍；（2）證明:.
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分析 （1）略；（2）對自變量的取值范圍一分為二，則只要證：①當(dāng)時，；②當(dāng)時，.
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證明? ①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以
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，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
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②當(dāng)時，因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞減，所以，從而在上單調(diào)遞增，所以，故當(dāng)時，.
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綜上可知.
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點(diǎn)評? 對自變量的取值范圍一分為二實(shí)際上就是分類討論的思想.
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例2(2011年高考浙江卷理科第22題)設(shè)函數(shù).（1）若為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)；（2）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使
2、得對任意的，恒有成立.
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分析 ?對于第(2)問，注意到，當(dāng)時，不等式恒成立，因而問題等價于當(dāng)時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 由可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，不等式及都恒成立.于是問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值及函數(shù)的最小值，易求得的取值范圍是.
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點(diǎn)評? 本題先將自變量的取值一分為二，再用分離參數(shù)法將函數(shù)一分為二.
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二、對函數(shù)解析式一分為二成兩種類型的函數(shù)
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例3 討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).
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解析? 要討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，按對數(shù)型和二次函數(shù)將該函數(shù)一分為二，則只要討論兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)個數(shù)即可.由于，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以.又時，；當(dāng)時，.而，在同一坐標(biāo)
3、系畫出這兩個函數(shù)的圖像如圖所示.
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從圖像可知：
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（1）當(dāng)即時，兩函數(shù)圖像只有一個公共點(diǎn)，則只有一個零點(diǎn)；
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（2）當(dāng)即時，兩函數(shù)的圖像沒有公共點(diǎn)，則沒有零點(diǎn)；
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（3）當(dāng)即時，兩函數(shù)圖像有兩個公共點(diǎn)，則有兩個零點(diǎn).
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例4? 求證:對任意的，都有.
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分析? 設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求最小值，只要證明即可.易求得，然而很難求出的零點(diǎn)，故可考慮按指數(shù)、對數(shù)的形式將函數(shù)一分為二成兩個函數(shù)，從這兩個函數(shù)的圖像和最值尋找解題契機(jī).
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解? 設(shè)，則只要證明即可.，當(dāng)時，；
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當(dāng)時，，所以.因?yàn)椋?
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當(dāng)時，；當(dāng)時，，
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所以.因此，.因?yàn)閮蓚€等號成立的條件分別是和，故兩個等號不能同時成立，所以.這兩個函數(shù)的圖像如圖所示.
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三、將函數(shù)一分為二成兩個函數(shù)之積
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例5（2011年湖南卷理科第22題）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，并說明理由；（Ⅱ）略.
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解 因函數(shù)，故零點(diǎn)的集合就是函數(shù)在上零點(diǎn)集合之并.顯然有一個零點(diǎn)，又，由零存在性定理知，在上有零點(diǎn)，又在上單調(diào)遞增，故在上有唯一零點(diǎn).綜上所述，函數(shù)有兩個零點(diǎn).
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例6（2010年江西高考題）等比數(shù)列中，，函數(shù)，則（?? ）
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解 設(shè)，則，所以，所以，故選.
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