亥姆霍茲線圈仿真

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1、題目:為了獲得一定區(qū)域上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，可采用多組Helmholtz線圈結(jié)構(gòu)。一種兩對(duì)線圈的結(jié)構(gòu)如圖1所示。線圈半徑 a ai,a,a,線圈間距 h hi,h h2,以及線圈中通過(guò)電流 i ii,i i2可變化量，如圖1(a)(a)所示。為了定量衡量關(guān)注區(qū)域的磁場(chǎng)均壓程度，過(guò)軸線做截面 ABOABOi%,取 CD=CD=0.8xABAB 和 E0E03=O.8XAOAO3,在 CDCD 和 E0E03線段上每邊均勻取20采樣點(diǎn)，從而形成如圖1(b)所示的采樣節(jié)點(diǎn)，定義 z z 方向B的不均壓系數(shù)為：其中，Bz為所有采樣點(diǎn)的 z z 方向磁感應(yīng)強(qiáng)度平均值；BZn)為第 n n 個(gè)采樣點(diǎn)的 z z 方

2、向磁感應(yīng)強(qiáng)度值。N為采樣點(diǎn)總數(shù)。定義參數(shù)：回hi/a1,S2一h2/a2。問(wèn)題：如果規(guī)定i1i2,問(wèn)說(shuō)、，32、aa2如何取值可以使得8最小，即關(guān)注區(qū)域磁場(chǎng)“最均勻”。(b)磁場(chǎng)采樣節(jié)點(diǎn)示意圖圖1.兩對(duì)線圈產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場(chǎng)示意圖仿真要求:1)寫出給定起點(diǎn)、終點(diǎn)、場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)，編制空間中一載流直線段在任意觀察點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算程序。2)寫出單個(gè)圓環(huán)線圈空間任意點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算程序，并進(jìn)行驗(yàn)證。3)復(fù)習(xí)Matlab中優(yōu)化工具箱的使用。(a)線圈結(jié)構(gòu)示意圖二、仿真與分析:(一)、一載流直線段在任意觀察點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度1、理論分析：如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為AB中點(diǎn)，AB在z軸上，起點(diǎn)A(0,0,-L

3、/2),終點(diǎn)B(0,0,L/2)o根據(jù)書中例3-1的結(jié)論可知，對(duì)于通過(guò)電流I的直導(dǎo)線AB,任意觀察點(diǎn)P(x,y,z)到AB的距離為R,作觀察點(diǎn)P到AB的垂線交于點(diǎn)H,則P點(diǎn)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為B=-sin/APHsin/BFH?4兀R又有sin/APH=cos/Asin/BPH=-cos/B故B=Jj_cos/A+cos/?04TtR2、仿真分析：為了提高計(jì)算效率，這里編程用matlab計(jì)算時(shí)需用離散的方式來(lái)計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度：先計(jì)算一小段直導(dǎo)線dl在觀測(cè)點(diǎn)處產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度dB,再用疊加的方法，求出整段載流直線段在觀測(cè)點(diǎn)處的磁場(chǎng)。如：要算一小段載流導(dǎo)線A?在P處產(chǎn)生的磁場(chǎng)時(shí)，根據(jù)畢奧-薩伐爾定律

4、,這里，由于AB是一小段載流導(dǎo)線，可做一個(gè)近似運(yùn)算:由此，可得到整一段載流導(dǎo)線在觀測(cè)點(diǎn)P處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為:B=/?fe根據(jù)以上分析，得到計(jì)算一載流直線段的matlab程序如附表?，F(xiàn)驗(yàn)證這種算法得到的結(jié)果與理論分析得到之間的誤差：?B=Idlxr4兀？?B=1/2(wIdzx解卬IdzxAP4兀?+4兀?)圖1-2以圖1-1為例，假設(shè)HA=7,HB=3,HP=5,假設(shè)電流I=1A。則：(1)由理論推導(dǎo)得到的公式計(jì)算:4?X10-7X174?X5%(+72+3cc)=2.6564584X10+32-8而由matlab用疊加的方法來(lái)計(jì)算時(shí)，將AB分成每段長(zhǎng)度為0.001的小段來(lái)計(jì)算和疊加,算得的結(jié)果為

5、：B=2.6564577O兩者相對(duì)誤差低達(dá)10-7級(jí)別，可見(jiàn)這種算法與理論分析得到的解析解幾乎相同，所以算法合理。由圖可看出，B的方向與電流方向符合右手螺旋定則，箭頭的長(zhǎng)度代表磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，可以看到，越靠近載流線處B越大。結(jié)果合理。(二)單個(gè)圓環(huán)線圈空間任意點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度:1、理論推導(dǎo)：對(duì)于單圓環(huán)線圈所產(chǎn)生的磁場(chǎng)情況，由于此次仿真研究的問(wèn)題是在平行于圓環(huán)平面上的磁場(chǎng)不均勻程度，即如下圖2-1,對(duì)磁感應(yīng)強(qiáng)度z軸分量BZ進(jìn)行不均壓度分析，則只需關(guān)注在xoy平面上點(diǎn)的BZ,推導(dǎo)過(guò)程如下：建立直角坐標(biāo)系如上圖，以圓環(huán)圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓環(huán)在我們可以得到，取觀察點(diǎn)P(a,0,z)有以下關(guān)系:XOY平面上

6、，則根據(jù)對(duì)稱性dl=(-RsinddRqosdd0),r=(a-Rcosa-Rsinaz)_ij?dlxr=|-RsinadaRcosadada-Rcosa-Rsinazr3R-xcosr3其中，r-VR2+a2+z2-2xRcosa2、仿真與分析：(2-1)小段電流元疊加法：根據(jù)(一)中得到的結(jié)果，可用分小段疊加的方法來(lái)求得一段載流導(dǎo)線在空間產(chǎn)生的電磁場(chǎng)情況，此處，所謂的小段電流元疊加法，就是采取這種方法，根據(jù)以直代曲的方法，以等邊多邊形來(lái)代替圓，這樣通過(guò)多邊形的各邊產(chǎn)生的電磁場(chǎng)的疊加，即可得到圓形載流線圈在空間產(chǎn)生電磁場(chǎng)的情況。具體實(shí)現(xiàn)程序見(jiàn)附表。(2-2)梯形積分法求解：理論分析已經(jīng)得到

7、了圓形載流線圈在空間分布的計(jì)算公式，可在matlab中用梯形積分的方法對(duì)該情況下的磁場(chǎng)的分布。具體編程見(jiàn)附表?！拘〗Y(jié)】以上所述兩種方法都可得到單個(gè)圓形載流線圈在空間的分布情況。以下探討這兩種方法的精度和運(yùn)算速度，以確定后面進(jìn)行多個(gè)線圈的磁場(chǎng)求解時(shí)求解方法的選擇。在線圈軸線上，線圈軸線上的磁場(chǎng)理論計(jì)算較為簡(jiǎn)便，故對(duì)軸線上的磁場(chǎng)情況進(jìn)行分析：假設(shè)線圈半徑R-2,線圈電流I-1A,用理論解析法和以上兩種數(shù)值方法計(jì)算線圈軸線上各點(diǎn)磁場(chǎng)的結(jié)果進(jìn)行歸納，如下表所示(數(shù)值方法1:即小段電流元疊加法，此處的計(jì)算將圓分為正100邊形進(jìn)行計(jì)算；數(shù)值方法2:用梯形積分法進(jìn)行求解)：d?=卬Idlxr4兀戶-R27t

8、zsinBy?B-Z12345理論計(jì)算結(jié)果（10-7）2.247941.110720.536200.280990.16093數(shù)值方法1計(jì)算結(jié)果（10-7）2.247941.110720.536200.280990.16093數(shù)值方法2計(jì)算結(jié)果（10-7）2.246461.109990.535840.280810.16083可見(jiàn)，用數(shù)值方法2,即用梯形函數(shù)積分法進(jìn)行求解時(shí)，在小數(shù)點(diǎn)后5為都與理論計(jì)算相同，精度非常高；而用數(shù)值方法1計(jì)算時(shí)，由于采用100等邊形來(lái)近似圓，計(jì)算結(jié)果與理論結(jié)果也比較相近，但還是存在一定誤差，為了減小這種誤差，只要將圓分細(xì)一些，就能夠?qū)⑦@種誤差控制在要求范圍之內(nèi)。但是，用

9、一百等邊形來(lái)近似圓時(shí)，計(jì)算時(shí)間已經(jīng)明顯比直接用積分函數(shù)求解的方法長(zhǎng)，若將圓再分得細(xì)一些，時(shí)間會(huì)進(jìn)一步增加。在到進(jìn)行優(yōu)化求解時(shí)，必然多次調(diào)用此程序，那么計(jì)算時(shí)間必然會(huì)成倍的增加。綜合考慮，后面的多線圈計(jì)算和不均壓系數(shù)的計(jì)算直接采用使用梯形積分法來(lái)求解。最后，在進(jìn)行下一步分析與仿真之前，根據(jù)梯形積分法，做出單個(gè)圓形載流線圈的電磁場(chǎng)沿z軸分布的情況，如下圖所示:讓上色紗溝廿小從圖中可看出，在線圈軸線上，磁場(chǎng)強(qiáng)度在線圈兩側(cè)對(duì)稱分布，在線圈處，磁場(chǎng)強(qiáng)度最大，離線圈越遠(yuǎn)的地方磁場(chǎng)強(qiáng)度越小，符合現(xiàn)實(shí)情況。（三）對(duì)不均勻系數(shù)的探討和仿真計(jì)算:由題目可知，若要減小不均壓系數(shù)，則應(yīng)使得各個(gè)觀察點(diǎn)的磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度均勻

10、分布。從以上圖形和結(jié)果中我們可以看出，為了進(jìn)行深入的研究我們可以先從簡(jiǎn)單入手，對(duì)軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行分析，由于軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度具有代表性，較為容易計(jì)算。所以，我們不妨先研究軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布。而之前已經(jīng)得到單個(gè)載流圓形線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)的空間分布情況，對(duì)兩個(gè)線圈的情況，選用相同的方法，直接進(jìn)行疊加即可。對(duì)兩個(gè)相距為2hi,R=2,I=1A的兩個(gè)圓環(huán)線圈的磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行分析。在直角坐標(biāo)系?.內(nèi)，以兩圓環(huán)圓心連線中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，XY平面與圓環(huán)所在平面平行，這樣的話，？=，仿真得到磁場(chǎng)隨hi的變化情況即可得到磁場(chǎng)隨？的變化情況。仿真得hi為不同值時(shí)軸線上B的分布如下：通過(guò)圖像可看出， 兩個(gè)載流線

11、圈所產(chǎn)生磁場(chǎng)的分布情況相當(dāng)于單個(gè)載流線圈所產(chǎn)生磁場(chǎng)情況的疊加，在軸線上，磁感應(yīng)強(qiáng)度最大值在每個(gè)圓環(huán)中心附近，而兩圓環(huán)中心連線的中點(diǎn)處（即原點(diǎn)）的磁感應(yīng)強(qiáng)度要小于前者。因此，當(dāng)線圈半徑和電流大小不變，而單一改變線圈距離2hi時(shí)，產(chǎn)生磁場(chǎng)在軸線上的分布隨2hi的變化情況可看作兩個(gè)單峰曲線波峰的移動(dòng)。半徑不變時(shí)，圓環(huán)間距離越大，磁感應(yīng)強(qiáng)度最大值點(diǎn)越偏移原點(diǎn)，原點(diǎn)處會(huì)產(chǎn)生一個(gè)波谷；圓環(huán)間距離減小，磁感應(yīng)強(qiáng)度最大值向原點(diǎn)移動(dòng)，兩個(gè)波峰重疊為一個(gè)波峰。而當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度分布為兩個(gè)波峰和一個(gè)波谷時(shí)，若增大圓環(huán)半徑，磁感應(yīng)強(qiáng)度分布將會(huì)變?yōu)橐粋€(gè)波峰，其效果與減小圓環(huán)間距類似，只是峰值變小，變化率變小，即分布更加分散

12、。另外，通過(guò)仿真發(fā)現(xiàn)，R/h不變時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的總趨勢(shì)大致相同，如R=i,2h=i和R=2,2h=2的情況，以及R=i,2h=i.5和R=2,2h=3的情況。 但是， 在比例不變的情況下， 改變大， 磁感應(yīng)強(qiáng)度分布會(huì)向兩側(cè)延伸，波峰、波谷的強(qiáng)度也會(huì)減弱。為了使線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)均勻，應(yīng)通過(guò)移動(dòng)波峰的位置，使整體的曲線更“均勻”一些。這一點(diǎn)結(jié)論，可應(yīng)用于之后的四個(gè)線圈的磁場(chǎng)情況。以下再來(lái)探討如何使四個(gè)線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)在空間中的分布更加均勻。四個(gè)線圈的情況與兩個(gè)線圈的情況相類似，可將四個(gè)線圈看作兩對(duì)線圈，其磁場(chǎng)疊加的情況依舊可看作波峰移動(dòng)的情況。值得注意的是，這兩對(duì)線圈中的電流方向是相反的，所以產(chǎn)生的磁

13、場(chǎng)方向是相反的，所以相當(dāng)于把一對(duì)波峰反倒過(guò)來(lái)，或者直接進(jìn)行相減。先固定兩組線圈對(duì)的半徑，通過(guò)調(diào)節(jié)線圈的距離hh2,亦即調(diào)節(jié)題中的？?與？，來(lái)探討在？?與？?大概在什么情況下線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)在空間中的分布最均勻。固定兩組線圈的半徑分別為32=0.9ai=4,通過(guò)改變hi、h2的值進(jìn)行嘗試，最后得到最均勻的情況如下：這時(shí)，h1=2.5,h2=5o通過(guò)以上由試探法得到的仿真圖像可以看出，場(chǎng)強(qiáng)分布在z軸上一定范圍內(nèi)基本是均勻的，說(shuō)明調(diào)整參數(shù)得到均勻的磁場(chǎng)具有可行性。為了得到更精確的參數(shù)值，我們以下對(duì)最優(yōu)解進(jìn)行求解?，F(xiàn)用matlab工具箱對(duì)融行最優(yōu)化求解。優(yōu)化時(shí)，設(shè)定ai=1,Ii=-12=1,優(yōu)化變量?

14、=?i?、?=?2?、?=?,考慮實(shí)際情況，設(shè)置變量下限為0,用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化求解， 得到最優(yōu)結(jié)果為：?=0.373、?=9.532、?=0.1654。 并根據(jù)？、 ？?、？求得hi=0.373,%=6.046,h2=57.63。優(yōu)化得到的不均勻系數(shù)8=0.073?？梢?jiàn)，此時(shí)的磁場(chǎng)相對(duì)而言比較均勻。為了再進(jìn)一步驗(yàn)證此時(shí)的磁場(chǎng)相對(duì)而言是比較均勻的,做出xoy平面的磁場(chǎng)的情況，如卜圖:三、仿真結(jié)論：根據(jù)以上的討論分析與仿真的結(jié)果，對(duì)于本次仿真，可得出以下結(jié)論：當(dāng)工一%/2產(chǎn)0.373,戶2h2/a2=9.532時(shí)，a2/a16.046時(shí)，不均勻系數(shù)撮小，為注0.073。四、總結(jié)與反思：1、此次仿

15、真根據(jù)老師提供的方向，由淺到深，層層深入：先研究一根載流導(dǎo)線的問(wèn)題；再在一根載流導(dǎo)線的基礎(chǔ)上研究圓形載流線圈的問(wèn)題；在研究圓形載流線圈的問(wèn)題的時(shí)候，我們又先研究一個(gè)線圈的情況，再研究?jī)蓚€(gè)線圈的情況，最后再分析四個(gè)線圈的情況可想而知，當(dāng)問(wèn)題再深入復(fù)雜一點(diǎn)的時(shí)候，比如研究多個(gè)線圈的情況的時(shí)候，我們也可以繼續(xù)深入研究了。這種研究方法能把一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，不只是這道題的解決方法，也是我們研究其他問(wèn)題、解決生活實(shí)際困難的一個(gè)重要手段；2、本次仿真試驗(yàn)基本原理較為簡(jiǎn)單，甚至很多公式都可以直接從課本和課件中直接找到。而難點(diǎn)在于使用matlab對(duì)問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化。在編寫過(guò)程中使用過(guò)多種不同的算法，但是會(huì)遇

16、到求解時(shí)間過(guò)長(zhǎng)或是尋找不到全局最優(yōu)解等問(wèn)題，最終保留了結(jié)果較好的遺傳算法；另外，通過(guò)這次仿真也再次考驗(yàn)了我們查找文獻(xiàn)的能力。對(duì)于本次仿真的問(wèn)題，一些文獻(xiàn)中也有相似的研究，通過(guò)對(duì)這些文獻(xiàn)的閱讀，能夠給我們更好的啟發(fā)。并且，在查找文獻(xiàn)資料的過(guò)程中有發(fā)現(xiàn)一些更好的算法，但是較為復(fù)雜，由于時(shí)間關(guān)系并沒(méi)有深入學(xué)習(xí)，希望能在日后的課余時(shí)間加深對(duì)用matlab解決優(yōu)化問(wèn)題的學(xué)習(xí)。3、回歸到本題的結(jié)果，為了得到不均勻度的最小值，我們最終得到的結(jié)果是用一h1/a1=0.373,戶2-h2/a2=9.532時(shí)，a2/a16.046,從中可看出h2與和相差了9倍，比與&相差了6倍；也就是說(shuō)，在ai=1時(shí)，為了得到0

17、.8、2乂h1M0.8乂a1-0.48大小面積的均勻磁場(chǎng)，就需要兩個(gè)半徑為6,兩個(gè)半徑為1的線圈通電，線圈距離場(chǎng)點(diǎn)甚至達(dá)到了57.63,幾乎沒(méi)有實(shí)用價(jià)值。所以在進(jìn)行實(shí)際工程設(shè)計(jì)時(shí)，要綜合考慮這個(gè)問(wèn)題，有時(shí)候，不一定需要得到最優(yōu)的不均勻度，在允許的范圍內(nèi)，可能需要降低對(duì)均勻度的要求，以尋求更優(yōu)的尺寸。程序附錄：此函數(shù)求解電流元磁場(chǎng)，P,S1,S2分別為場(chǎng)點(diǎn)，電流元起點(diǎn)終點(diǎn)functionB=current_element_B(P,S1,S2)r1=P-S1;r2=P-S2;r3=S1-S2;B=1e-7*(cross(r1,r3)/(norm(r1)3+cross(r2,r3)/(norm()，

18、3)/2;end此函數(shù)用于求解載流直線磁場(chǎng)B=0,0,0;P=0,5,0;delta=0.01;fori=-7:delta:3-deltaB=current_element_B(P,0,0,i,0,0,i+delta)+B;endB此函數(shù)通過(guò)電流元法求解單一線圈磁場(chǎng)，r、h、p分別為線圈半徑，據(jù)xoy平面距離，場(chǎng)點(diǎn)functionB=circle_1_B(r,h,p)N=100;alpha=0:2*pi/N:2*pi;B=0,0,0;forn=1:Np0(:,n)=r*cos(alpha(n),r*sin(alpha(n),h;endfori=1:N-1B=current_element_B(

19、p,p0(:,i),p0(:,i+1)+B;endB=current_element_B(p,p0(:,N),p0(:,1)+B;end此函數(shù)通過(guò)梯形積分法求解單一線圈磁場(chǎng)，r、z、R分別為場(chǎng)點(diǎn)柱坐標(biāo)下r、z軸坐標(biāo)，線圈半徑functionBz=circle1_Bz(r,z,R)dBz=(theta)R.*(R-r.*cos(theta)./sqrt(r.A2-2.*r.*R.*cos(theta)+R.A2+z.A2).A3);step=pi/20;Bz=0;last=dBz(0);fortheta=step:step:2*pinow=dBz(theta);Bz0=(now+last)*0.

20、5*step;last=now;Bz=Bz+Bz0;endBz=1e-7*Bz;此函數(shù)通過(guò)梯形積分法求解四個(gè)線圈磁場(chǎng)和delta,其中beta0=beta1,beta2,beta3functiondelta=circle4_Bz(beta0)a1=1;a2=beta0(3)*a1;h1=beta0(1)*a1;h2=beta0(2)*a2;N=20;r=linspace(0,0.8*a1,N);z=linspace(-0.8*h1,0.8*h1,N);R,Z=meshgrid(r,z);Z1=Z+h2;Z2=Z+h1;Z3=Z-h1;Z4=Z-h2;Bz1=circle1_Bz(R,Z1,a2);Bz2=circle1_Bz(R,Z2,a1);Bz3=circle1_Bz(R,Z3,a1);Bz4=circle1_Bz(R,Z4,a2);Bz=-Bz1+Bz2+Bz3-Bz4;mesh(R,Z,Bz);delta=sqrt(mean2(Bz.A2)/mean2(Bz)A2-1);end