八年級數(shù)學上冊 第13章 軸對稱 13.3 等腰三角形 13.3.1 等腰三角形同步練習 新人教版.doc

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13.3.1 等腰三角形 學校：___________姓名：___________班級：___________ 一．選擇題（共12小題） 1．已知等腰三角形的兩條邊長分別為2和3，則它的周長為（　　） A．7 B．8 C．5 D．7或8 2．已知等腰三角形的頂角為40，則這個等腰三角形的底角為（　?。? A．40 B．70 C．100 D．140 3．如圖，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125，則∠C的度數(shù)是（　　） A．55 B．45 C．35 D．65 4．如圖，△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30，且AD=AE，則∠EDC等于（　?。? A．10 B．12.5 C．15 D．20 5．已知△ABC的三條邊長分別為3，4，6，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（　?。? A．5條 B．6條 C．7條 D．8條 6．如圖，已知每個小方格的邊長為1，A，B兩點都在小方格的格點（頂點）上，請在圖中找一個格點C，使△ABC是以AB為腰的等腰三角形，這樣的格點C有（　?。? A．4個 B．5個 C．6個 D．7 7．如圖，A、B兩點在正方形網(wǎng)格的格點上，每個方格都是邊長為1的正方形，點C也在格點上，且△ABC是等腰三角形，則符合條件是點C共有（　?。﹤€． A．8 B．9 C．10 D．11 8．已知△ABC的三條邊長分別為3，5，7，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中有一個邊長為3的等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（　?。? A．5條 B．4條 C．3條 D．2條 9．如圖，∠AOB=45，點M，N在邊OA上，OM=2，ON=4，點P是邊OB上的點，則能使點P，M，N構(gòu)成等腰三角形的點P的個數(shù)有（　　） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 10．如圖，D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，則BD的長為（　?。? A．1 B．1.5 C．2 D．4 11．如圖，D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，則CD的長是（　　） A．2 B．2.5 C．2 D． 12．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，則下列四個結(jié)論：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正確的有（　　） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 　 二．填空題（共6小題） 13．等腰三角形的一個底角為50，則它的頂角的度數(shù)為　 ?。? 14．我們規(guī)定：等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”，記作k，若k=，則該等腰三角形的頂角為　 　度． 15．已知△ABC的三條邊長分別為3，4，6，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫　 　條． 16．在平面直角坐標系xOy中，已知點A（2，﹣2），在坐標軸上確定一點B，使△AOB為等腰三角形，則符合條件的點B有　 　個． 17．如圖，下列4個三角形中，均有AB=AC，則經(jīng)過三角形的一個頂點的一條直線不能夠?qū)⑦@個三角形分成兩個小等腰三角形的是　 ?。ㄌ钚蛱枺? 18．已知：如圖，△ABC中，BO，CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，過O點的直線分別交AB、AC于點D、E，且DE∥BC．若AB=6cm，AC=8cm，則△ADE的周長為　 ?。? 　 三．解答題（共4小題） 19．數(shù)學課上，張老師舉了下面的例題： 例1 等腰三角形ABC中，∠A=110，求∠B的度數(shù)．（答案：35） 例2 等腰三角形ABC中，∠A=40，求∠B的度數(shù)，（答案：40或70或100） 張老師啟發(fā)同學們進行變式，小敏編了如下一題： 變式 等腰三角形ABC中，∠A=80，求∠B的度數(shù)． （1）請你解答以上的變式題． （2）解（1）后，小敏發(fā)現(xiàn)，∠A的度數(shù)不同，得到∠B的度數(shù)的個數(shù)也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，設∠A=x，當∠B有三個不同的度數(shù)時，請你探索x的取值范圍． 20．如圖，將一塊三角板ABC的直角頂點C放在直尺的一邊PQ上，直尺的另一邊MN與三角板的兩邊AC、BC分別交于兩點E、D，且AD為∠BAC的平分線，∠B=30，∠ADE=15． （1）求∠BDN的度數(shù)； （2）求證：CD=CE． 21．如圖，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分線，DE∥BC，交AC于點E． （1）求證：DE=CE． （2）若∠CDE=35，求∠A的度數(shù)． 22．（1）操作實踐：△ABC中，∠A=90，∠B=22.5，請畫出一條直線把△ABC分割成兩個等腰三角形，并標出分割成兩個等腰三角形底角的度數(shù)；（要求用兩種不同的分割方法） （2）分類探究：△ABC中，最小內(nèi)角∠B=24，若△ABC被一直線分割成兩個等腰三角形，請畫出相應示意圖并寫出△ABC最大內(nèi)角的所有可能值； （3）猜想發(fā)現(xiàn)：若一個三角形能被一直線分割成兩個等腰三角形，需滿足什么條件？（請你至少寫出兩個條件，無需證明） 　  參考答案與試題解析 　 一．選擇題（共12小題） 1． 解：①2是腰長時，能組成三角形，周長=2+2+3=7， ②3是腰長時，能組成三角形，周長=3+3+2=8， 所以，它的周長是7或8． 故選：D． 　 2． 解：∵等腰三角形的頂角為50， ∴這個等腰三角形的底角為：（180﹣40）2=70， 故選：B． 　 3． 解：∵∠1=125， ∴∠ADE=180﹣125=55， ∵DE∥BC，AB=AC， ∴AD=AE，∠C=∠AED， ∴∠AED=∠ADE=55， 又∵∠C=∠AED， ∴∠C=55． 故選：A． 　 4． 解：∵△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30， ∴∠DAC=∠BAD=30（等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合）， ∵AD=AE（已知）， ∴∠ADE=75 ∴∠EDC=90﹣∠ADE=15． 故選：C． 　 5． 解：如圖所示： 當BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7時都能得到符合題意的等腰三角形． 故選：C． 　 6． 解：當AB為腰時，分別以A、B點為頂點，以AB為半徑作圓，可找出格點點C的個數(shù)有6個； 當AB為底時，作AB的垂直平分線，可找出格點C的個數(shù)有2個， 使△ABC是以AB為腰的等腰三角形，這樣的格點C有6個． 故選：C． 　 7． 解：①點C以點A為標準，AB為底邊，符合點C的有5個； ②點C以點B為標準，AB為等腰三角形的一條邊，符合點C的有4個． 所以符合條件的點C共有9個． 故選：B． 　 8． 解：如圖所示，當AB=AF=3，BA=BD=3，AB=AE=3，BG=AG，都能得到符合題意的等腰三角形． 故選：B． 　 9． 解：如右圖1所示，當點P在線段MN的垂直平分線上時，PM=PN，此時點P，M，N構(gòu)成等腰三角形； 如右圖2所示，當MN=MP時，此時點P，M，N構(gòu)成等腰三角形； ∵∠AOB=45，OM=2，ON=4， ∴點N到OB的距離是4sin45=2＞2， ∴不存在NM=NP的情況， 故選B． 　 10． 解：延長BD與AC交于點E， ∵∠A=∠ABD， ∴BE=AE， ∵BD⊥CD， ∴BE⊥CD， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD=∠ECD， ∴∠EBC=∠BEC， ∴△BEC為等腰三角形， ∴BC=CE， ∵BE⊥CD， ∴2BD=BE， ∵AC=5，BC=3， ∴CE=3， ∴AE=AC﹣EC=5﹣3=2， ∴BE=2， ∴BD=1． 故選：A． 　 11． 解：延長BD，與AC交于點E， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∵BD⊥CD， ∴∠BDC=∠EDC=90， 在△BCD和△ECD中， ， ∴△BCD≌△ECD（ASA）， ∴BC=EC=3，BD=DE， ∵∠A=∠ABE， ∴AE=BE=AC﹣EC=AC﹣BC=5﹣3=2， ∴BD=1， 在Rt△BDC中，BD=1，BC=3， 根據(jù)勾股定理得：CD==2． 故選：C． 　 12． 解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC ∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD=CD，∠BED=∠DFC=90 ∴DE=DF ∴AD垂直平分EF ∴（4）錯誤； 又∵AD所在直線是△ABC的對稱軸， ∴（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF． 故選：C． 　 二．填空題（共6小題） 13． 解：∵等腰三角形底角相等， ∴180﹣502=80， ∴頂角為80． 故填80． 　 14． 解： ∵△ABC中，AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”，記作k，若k=， ∴∠A：∠B=1：2， 即5∠A=180， ∴∠A=36， 故答案為：36． 　 15． 解：如圖所示： 當BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7時，都能得到符合題意的等腰三角形． 故答案為：7． 　 16． 8解：（1）若AO作為腰時，有兩種情況，當A是頂角頂點時，B是以A為圓心，以OA為半徑的圓與坐標軸的交點，共有2個（除O點）； 當O是頂角頂點時，B是以O為圓心，以OA為半徑的圓與坐標軸的交點，有4個； （2）若OA是底邊時，B是OA的中垂線與坐標軸的交點，有2個． 以上8個交點沒有重合的．故符合條件的點有8個． 故答案為：8． 　 17． 解：由題意知，要求“被一條直線分成兩個小等腰三角形”， ①中分成的兩個等腰三角形的角的度數(shù)分別為：36，36，108和36，7272，能； ②不能； ③顯然原等腰直角三角形的斜邊上的高把它還分為了兩個小等腰直角三角形，能； ④中的為36，72，72和36，36，108，能． 故答案為：② 　 18． 解：∵DE∥BC ∴∠DOB=∠OBC， 又∵BO是∠ABC的角平分線， ∴∠DBO=∠OBC， ∴∠DBO=∠DOB， ∴BD=OD， 同理：OE=EC， ∴△ADE的周長=AD+OD+OE+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=14cm． 故答案是：14cm． 　 三．解答題（共4小題） 19． 解：（1）若∠A為頂角，則∠B=（180﹣∠A）2=50； 若∠A為底角，∠B為頂角，則∠B=180﹣280=20； 若∠A為底角，∠B為底角，則∠B=80； 故∠B=50或20或80； （2）分兩種情況： ①當90≤x＜180時，∠A只能為頂角， ∴∠B的度數(shù)只有一個； ②當0＜x＜90時， 若∠A為頂角，則∠B=（）； 若∠A為底角，∠B為頂角，則∠B=（180﹣2x）； 若∠A為底角，∠B為底角，則∠B=x． 當≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x， 即x≠60時，∠B有三個不同的度數(shù)． 綜上所述，可知當0＜x＜90且x≠60時，∠B有三個不同的度數(shù)． 　 20． （1）解：在直角三角形ABC中，∠ACB=90，∠B=30， ∴∠BAC=60，又AD平分∠BAC， ∴∠CAD=30，又∠ACD=90， ∴∠CDA=60 又∠ADE=15， ∴∠CDE=∠CDA﹣∠ADE=60﹣15=45 ∴∠BDN=∠CDE=45； （2）證明：在△CED中，∠ECD=90，∠CDE=45 ∴∠CED=45 ∴CD=CE． 　 21． （1）證明：∵CD是∠ACB的平分線， ∴∠BCD=∠ECD． ∵DE∥BC， ∴∠EDC=∠BCD， ∴∠EDC=∠ECD， ∴DE=CE． （2）解：∵∠ECD=∠EDC=35， ∴∠ACB=2∠ECD=70． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=70， ∴∠A=180﹣70﹣70=40． 　 22． 解：（1）如圖所示： （4分） （2）設分割線為AD，相應用的角度如圖所示： （8分） 圖1的最大角=39+78=117，圖2的最大角=24+180﹣248=108， 圖3的最大角=24+66=90，圖4的最大角=84， 故△ABC的最大內(nèi)角可能值是117或108或90或84；（10分） （3）若一個三角形能被一直線分割成兩個等腰三角形，需滿足的條件如下： ①該三角形是直角三角形； ②該三角形有一個角是另一個角的2倍； ③該三角形有一個角是另一個角的3倍．（14分）