屈婉玲版離散數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案4

第十章部分課后習(xí)題參考答案 4.判斷下列集合對所給的二元運算是否封閉： (1)整數(shù)集合Z和普通的減法運算。 封閉，不滿足交換律和結(jié)合律，無零元和單位元 (2)非零整數(shù)集合力和普通的除法運算。不封閉 (3)全體nn實矩陣集合(R)和矩陣加法及乘法運算，其中啟2。 封閉均滿足交換律，結(jié)合律，乘法對加法滿足分配律； 加法單位元是零矩陣，無零元； 乘法單位元是單位矩陣，零元是零矩陣； (4)全體nn實可逆矩陣集合關(guān)于矩陣加法及乘法運算，其中e2。不封閉 (5)正實數(shù)集合R-和0運算，其中0運算定義為： 爐工b三R-,=at-a—b 不封閉因為1111111R (6)n曰Z+nZ={nzIzE©eZ關(guān)于普通的加法和乘法運算。 封閉，均滿足交換律，結(jié)合律，乘法對加法滿足分配律 加法單位元是0,無零元； 乘法無單位元(n1),零元是0;n1單位元是1 ⑺A=3冏，自}n三2?匚運算定義如下： va,bEA,a=b=t 封閉不滿足交換律，滿足結(jié)合律， (8) S=(雹-1|星史Z+}關(guān)于普通的加法和乘法運算。 封閉均滿足交換律，結(jié)合律，乘法對加法滿足分配律 (9) S={0,1},S是關(guān)于普通的加法和乘法運算。 加法不封閉，乘法封閉；乘法滿足交換律，結(jié)合律 (10) S={x|x=卅》,S關(guān)于普通的加法和乘法運算。 加法不封閉，乘法封閉，乘法滿足交換律，結(jié)合律 5.對于上題中封閉的二元運算判斷是否適合交換律，結(jié)合律，分配律。 見上題 7.設(shè)*為Z上的二元運算x,yZ X*Y=min(ky)，即x和y之中較小的數(shù). (1)求4*6,7*3。4.3 (2)*在Z上是否適合交換律，結(jié)合律，和幕等律 滿足交換律，結(jié)合律，和幕等律 (3)求*運算的單位元，零元及Z中所有可逆元素的逆元。單位元無，零元1,所有元素?zé)o逆元 8.SQQQ為有理數(shù)集，*為$上的二元運算，B<a,b>,<x,y>S有 <a,b>*<x,y>=<axay+b> (1) *運算在S上是否可交換，可結(jié)合是否為幕等的 不可交換：<x,y>*<a,b>=<xaxb+y><a,b>*<x,y> 可結(jié)合：(<a,b>*<x,y>)*<c,d>=<ax,ay+b>*<c,d>=<axcaxd+(ay+b)> <a,b>*(<x,y>*<c,d>)=<a,b>*<xc,xd+y>=<axca(xd+y)+b> (<a,b>*<x,y>)*<c,d>=<a,b>*(<x,y>*<c,d>) 不是幕等的 (2) *運算是否有單位元，零元如果有請指出，并求S中所有可逆元素的逆元 設(shè)<a,b>1l單位元，爐<x,y>£S,<a,b>*<x,y>=<x,y>*<a,b>=<x,y> 貝U<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<x,y>解的<a,b>=<1,0>,即為單位。 設(shè)<a,b>ll零元，v<x,y>cS,<a,b>*<x,y>=<x,y>*<a,b>=<a,b> 貝U<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<a,b>無解。即無零元。 r<x,y>三S,設(shè)<a,b>1l它的逆元<a,b>*<x,y>=<x,y>*<a,b>=<1,0> <ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<1,0> a=1/x,b=-y/x 所以當(dāng)x 0時, x,y (a)交換律，結(jié)合律，幕等律都滿足，零元為a,沒有單位元； (b)滿足交換律和結(jié)合律，不滿足幕等律，單位元為a,沒有零元 a1a,b1b ⑹滿足交換律，不滿足幕等律，不滿足結(jié)合律a(bb)aab,(ab)babaa(bb)(ab)b 沒有單位元，沒有零元 (d)不滿足交換律，滿足結(jié)合律和幕等律 沒有單位元，沒有零元 (2)求每個運算的單位元，零元以及每一個可逆元素的逆元。 見上 16.設(shè)V=〈N,+,->,其中+,?分別代表普通加法與乘法，對下面給定的每個集合確定它是否構(gòu)成V的子代數(shù)，為什么 (1)Si=2n|nEZJ是 (2)與=加+不是加法不封閉 (3)及={-1,0,1}不是，加法不封閉 第十一章部分課后習(xí)題參考答案 8.設(shè) S={0, 1, 2, 3}, 為模4乘法，即 "x,yCS,x®y=(xy)mod4 問〈S,I8〉是否構(gòu)成群為什么 解：(1)x,y€S,x0y=(xy)mod4S向是S上的代數(shù)運算。 ⑵x,y,zCS設(shè)xy=4k+r0r3 (x二.y)：-.z=((xy)mod4)二；,=「--z=(rz)mod4 =(4kz+rz)mod4=((4k+r)z)mod4=(xyz)mod4 同理x(y,z)=(xyz)mod4 所以，(x-二y)"z=x4(y=z),結(jié)合律成立。 (3) x€S,(x31)=(1®x)=x?所以1是單位元。 (4)111,313,0和2沒有逆元 所以，〈S,吁〉不構(gòu)成群 9.設(shè)Z為整數(shù)集合，在Z上定義二元運算。如下： "x,y6Z,xoy=x+y-2 問Z關(guān)于o運算能否構(gòu)成群為什么 解：(1)x,y€Z,xoy=x+y-2Z,o是Z上的代數(shù)運算。 ⑵x,y,z€Z, (xoy)oz=(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz=xo(yoz)結(jié)合律成立。 (3)設(shè)e是單位元，x€Z,xoe=eox=x1Px+e-2=e+x-2=x,e=2 (4) x€Z,設(shè)x的逆元是y,xoy=yox=e,即x+y-2=y+x-2=2, 所以，x1y4x 所以〈Z,o＞構(gòu)成群 10101010,,,一…… 11.設(shè)G=,,,，證明G關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成一個群. 01010101 解：(1)x,y€G,易知xyCG乘法是Z上的代數(shù)運算。 (2)矩陣乘法滿足結(jié)合律 1 0 ⑶設(shè)'0是單位元， 01 (4)每個矩陣的逆元都是自己。 所以G關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成一個群． 14 .設(shè)G為群，且存在aCG,使得 G={OkIkCZ} 證明：G是交換群。 證明：x,yCG,設(shè)xak,yal,xyakalaklalkalakyx 所以，G是交換群 17 .設(shè)G為群，證明e為G中唯一的幕等元。 證明:設(shè)e0G也是號等兀，則e0e0,即e°eOe,由消去律知eoe 18 .設(shè)G為群，a,b,cCG,證明 IabcI=IbcaI=IcabI 證明：先證設(shè)(abc)ke(bca)ke 設(shè)(abc)ke,則(abc)(abc)(abc)(abc)e， 即a(bca)(bca)(bca)(bca)a1e 左邊同乘a1,右邊同乘a得 k1(bca)(bca)(bca)(bca)(bac)aeae反過來，設(shè)(bac)ke,則(abc)ke. 由元素階的定義知，IabcI=IbcaI,同理IbcaI=IcabI 19 .證明：偶數(shù)階群G必含2階元。 證明：設(shè)群G不含2階元，aG,當(dāng)ae時，a是一階元，當(dāng)ae時，a至少是3階元,因為群G時有限階的，所以a是有限階的，設(shè)a是k階的，則a1也是k階的，所以高于3階的元成對出現(xiàn)的,G不含2階元，G含唯一的1階元e，這與群G是偶數(shù)階的矛盾。所以，偶數(shù)階群G必含2階元 20 .設(shè)G為非Abel群，證明G中存在非單位元a和b,awb,ab=ba. 證明：先證明G含至少含3階元。 若G只含1階元，則G={e},G為Abel群矛盾； 若G除了1階元e外,其余元a均為2階元，則a2e，a1a a,bG,a1a,b1b,(ab)1ab,所以aba1b1(ba)1ba, 與G為Abel群矛盾； 所以，G含至少含一個3階元，設(shè)為a，則aa2，且a2aaa2。 令ba2的證。 21 .設(shè)G是Mn(R)h的加法群，n》Z判斷下述子集是否構(gòu)成子群。 ( 1)全體對稱矩陣是子群 ( 2)全體對角矩陣是子群 ( 3)全體行列式大于等于0的矩陣.不是子群 ( 4)全體上(下)三角矩陣。是子群 22.設(shè)G為群，a是G中給定元素，a的正規(guī)化子N(a)表示G中與a可交換的元素構(gòu)成的集合，即 N(a)={xIx€GAxa=ax}證明N(a)構(gòu)成G的子群。 證明：ea=ae,eN(a) x,yN(a),則axxa,ayya a(xy)(ax)y(xa)yx(ay)x(ya)(xy)a,所以xyN(a) 由axxa，得x1axx1x1xax1,x1aeeax1，即x1aax1，所以x1N(a)所以N(a)構(gòu)成G的子群 31.設(shè)1是群G1到G2的同態(tài)，2是G2到G3的同態(tài)，證明12是G1到G3的同態(tài)。 證明：有已知1是Gi到G2的函數(shù)，2是G2到G3的函數(shù)，則1-2是G到Q的函 數(shù)。 a,bG1,(12)(ab)2(1(ab))2(1(a)1(b)) (2(1(a)))(2(1(b)))(12)(a)(12)(b) 所以：1,2是G1到G3的同態(tài)。 33.證明循環(huán)群一定是阿貝爾群，說明阿貝爾群是否一定為循環(huán)群，并證明你的結(jié)論。 證明：設(shè)G是循環(huán)群，令G=<a>,x,yG,令xak,yal,那么 xyakalaklalkalakyx,G是阿貝爾群 克萊因四元群,G{e,a,b,c} abcabc ecbceabae 是交換群，但不是循環(huán)群，因為e是一階元，a,b,c是二階元 36.設(shè),是5元置換，且 1234512345 21453’34512 ⑴計算，，1,1,1； ⑵將，1,1表示成不交的輪換之積。 (3)將(2)中的置換表示成對換之積，并說明哪些為奇置換，哪些為偶置換 解：⑴ 1 1 2 3 4 5 2 15 3 4 1 ⑵ (1425) (3) (14)(12)(15) 1 _ - (14)(12)(15)(13) 12345112345 4312545123 112345 54132 -一1一- (14253)(143)(25) 奇置換， 偶置換 (14)(13)(25)奇置換