2019-2020年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 巧求周長.doc

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2019-2020年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 巧求周長 　　我們知道： 　　這兩個計算公式看起來十分簡單，但用途卻十分廣泛。用它們可以解決許多直角多邊形(所有的角都是直角的多邊形)的周長問題。這是因為直角多邊形總可以分割成若干個正方形或長方形。 　　例如，下面的圖形都可以分割成若干個正方形或長方形，當(dāng)然分割的方法不是唯一的。 　　由此，可以演變出許多只涉及正方形、長方形周長計算公式的題目。 例1一個苗圃園(如左下圖)，周邊和中間有一些路供人行走(圖中線段表示“路”)，幾個小朋友在里面觀賞時發(fā)現(xiàn)：從A處出發(fā)，在速度一樣的情況下，只要是按“向右”、“向上”方向走，幾個人分頭走不同的路線，總會同時達(dá)到B處。你知道其中的道理嗎？ 分析與解：如右上圖所示，將各個交點標(biāo)上字母。由A處到B處，按“向右”、“向上”方向走，只有下面六條路線： (1)A→C→D→E→B； (2)A→C→O→E→B； (3)A→C→O→F→B； (4)A→H→G→F→B； (5)A→H→O→E→B； (6)A→H→O→F→B。 　　因為A→C與H→O，G→F的路程一樣長，所以可以把它們都換成A→C；同理，將O→E，F(xiàn)→B都換成C→D；將A→H，C→O都換成D→E；將H→G，O→F都換成E→B。這樣換過之后，就得到六條路線的長度都與第(1)條路線相同，而第(1)條路線的長“AD+DB”就是長方形的“長+寬”，也就是說，每條路線的長度都是“長+寬”。路程、速度都相同，當(dāng)然到達(dá)B處的時間就相同了。 例2 計算下列圖形的周長(單位：厘米)。 解：(1)將圖中右上缺角處的線段分別向上、向右平行移動到虛線處(見左下圖)，這樣正好移補成一個正方形，所以它的周長為254=100(厘米)。 (2)與(1)類似，可以移補成一個長方形，周長為 　　(10＋15)2=50(厘米)。 例3 求下面兩個圖形的周長(單位：厘米)。 　 解：(1)與例2類似，可以移補成一個長(15＋10＋15)厘米、寬(12＋20)厘米的長方形，所以周長為 　　(15＋10＋15)2＋(12＋20)2＝144(厘米)。 (2)設(shè)想先把長20厘米的線段向上平移到兩條長15厘米的線段中間，構(gòu)成一個長60厘米，寬(15＋20＋15)厘米的長方形，此時，還有兩條長35厘米的豎線段。所以周長為 　　602＋(15＋20＋15)2＋352＝290(厘米)。 例4在一張紙上畫出由四個邊長為3厘米的正方形拼湊或組合成的圖形(重疊的線段只算畫一次)。顯然，這個圖形有多種多樣的畫法，下列各圖是其中的一部分畫法。在所有的這些畫法中， (1)哪種畫法畫出的線段總長最長？有多長？ (2)哪種畫法畫出的線段總長最短？有多長？ 分析與解：畫的線段重疊部分越少，畫的線段就越長。反之，重疊部分越多，畫的線段就越短。因此，類似圖1那樣畫的線條最長，共畫了 　　344=48(厘米)。 　　右圖畫的線條最短，共畫了 　　(3＋3)6=36(厘米)。 　 例5下圖是一個方形螺線。已知兩相鄰平行線之間的距離均為1厘米，求螺線的總長度。 分析與解：如左下圖所示，按箭頭方向轉(zhuǎn)動虛線部分，于是得到了三個邊長分別為3，5，7厘米的正方形和中間一個三邊圖形(見右下圖)。所以螺線總長度為 　　(3＋5＋7)4＋13=63(厘米)。 練習(xí) 　　1.試求左下圖的周長(單位：厘米)。 　 　　2.上頁右下圖是由邊長為1厘米的11個正方形堆成的“土”字圖形。試求出其周長。 　　3.右圖是某小學(xué)教學(xué)樓的平面示意圖，設(shè)計者在圖上只標(biāo)明了三條線段的長度(單位：米)。請你算出它的周長。 　　4.下圖是由七個長5厘米、寬3厘米的相同長方形經(jīng)過豎放、橫放而成的圖形。求這個圖形的周長。 　　5.下面兩圖中的小方格的大小相同。圖(1)的周長為48厘米，圖(2)的周長等于多少？ 　　6.如右圖所示，一個正方形被分成了三個相同的長方形。如果其中一個長方形的周長是16米，那么這個正方形的周長是多少米？ 附送： 2019-2020年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 巧求周長（一） 專題簡析： 一個圖形的周長是指圍成它的所有線段的長度和。我們已經(jīng)學(xué)會了求長方形、正方形這些標(biāo)準(zhǔn)圖形的周長，那么怎樣運用長方形、正方形的周長計算公式，巧妙地求一些復(fù)雜圖形的周長呢？ 對于一些不規(guī)則的比較復(fù)雜的幾何圖形，要求它們的周長，我們可以運用平移的方法，把它轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的長方形或正方形，然后再利用周長公式進行計算。 將一個大長方形或正方形分割成若干個長方形和正方形，那么圖形周長就會增加幾個長或?qū)挘环粗?，將若干個小長方形或正方形合成一個大長方形或正方形，圖形周長就會減少幾個長或?qū)挕? 例題1 下圖是一個樓梯的側(cè)面圖，求此圖形的周長。 思路導(dǎo)航：如果把每層臺階的寬度向上移到和最上層臺階同樣高的地方，把每層臺階的高度向右移到和最下層的臺階長度一致的地方（如下圖），這樣樓梯側(cè)面圖就轉(zhuǎn)化為一個長方形，然后我們利用長方形周長計算公式求出此圖形的周長。 （2＋3）2=10米。 練 習(xí) 一 1．下圖是一個樓梯的側(cè)面，如果在階梯上鋪地毯，要計算地毯的長度，可以怎樣測量？ 2．如下圖所示，小明和小玲同時從學(xué)校到少兒書店，小明沿A路線行走，小玲沿B路線行走。如果兩人速度一樣，誰先到少兒書店？為什么？ 3．下圖是一個“凹”字形的花園，求花園的周長。（單位：米） 例題2 下圖是由6個邊長2厘米的正方形拼成的，這個圖形的周長是多少厘米？ 思路導(dǎo)航：這題我們可以用平移的方法將它轉(zhuǎn)化為一個長方形，如下圖： 這個長方形的長含有4個小正方形的邊長，長為24=8厘米；寬含有2個小正方形的邊長，寬為22=4厘米。這個長方形的周長為：（24＋22）2=24厘米。 練 習(xí) 二 1．下圖是由5個邊長為3厘為的正方形組成的圖形，求此圖形的周長。 2．下圖是由6個邊長為2厘米的正方形組成的，求此圖形的周長。 3．用24個邊長是1厘米的正方形拼成一個長方形，這個長方形的周長是多少厘米？ 例題3 兩個大小相同的正方形拼成一個長方形后，周長比原來兩個正方形周長的和減少了6厘米。原來一個正方形的周長是多少厘米？ 思路導(dǎo)航：根據(jù)題意，畫出下圖。 當(dāng)兩個正方形拼成一個長方形時，組成兩個正方形的8條邊就減少了2條，而已知兩條邊的和是6厘米，那么一條邊長就是62=3厘米。所以，原來正方形的周長是：34=12厘米。 練 習(xí) 三 1．把兩個大小相同的正方形拼成一個長方形后，周長比原來兩個正方形的周長和減少10厘米。原來一個正方形的周長是多少？ 2．把一個正方形剪成兩個大小相同的長方形后，兩個長方形的周長和比原來正方形的周長增加28分米。原來正方形的周長是多少？ 3．把邊長是48厘米的正方形剪成三個同樣大小的長方形，算一算，每個長方形的周長是多少厘米？ 例題4 一個正方形，邊長是5厘為，將9個這樣的正方形如下圖一樣拼成一個大正方形，問：拼成的大正方形的周長是多少？ 思路導(dǎo)航：從圖上可以看出，9個小正方形拼成的大正方形共有3排，每排由3個小正方形組成。已知小正方形的邊長是5厘米，所以大正方形的邊長就是53=15厘米，大正方形的周長就是154=60厘米。 練 習(xí) 四 1．把16個邊長為3厘米的小正方形拼成一個大正方形，這個大正方形的周長是多少厘米？ 2．把6個邊長為4厘米的小正方形如下圖拼成一個長方形，這個長方形的周長為多少厘米？ 3．把6個長為3厘米、寬為2厘米的小長方形如下圖拼成一個大長方形，這個大長方形的周長是多少？ 例題5 將一張邊長為36厘米的正方形紙，剪成4個完全一樣的小正方形紙片，這4個小正方形周長的和比原來的正方形周長增加了多少厘米？ 思路導(dǎo)航：將邊長36厘米的正方形，沿豎直方向剪一刀，周長的和就比原來大正方形周長增加2個邊長；再沿水平方向剪一刀，又增加2個邊長，一共增加22個邊長。所以這4個小正方形周長的和比原來的正方形周長增加了364=144厘米。 練 習(xí) 五 1．將一張邊長為12厘米的正方形紙，剪成4個完全一樣的小正方形，那么這4個小正方形周長之和比原來的大正方形的周長增加了多少厘米？ 2．把一個邊長為20厘米的正方形，如下圖剪成6個完全一樣的小長方形，這6個小長方形周長的和與原來的正方形相比，增加了多少厘米？ 3．將一個長為8分米，寬為6分米的長方形如下圖剪成6個完全一樣的小長方形，這6個小長方形周長之和比原來的正方形周長增加了多少分米？