九年級數(shù)學(xué)上冊 第23章 解直角三角形 23.2 解直角三角形及其應(yīng)用 第2課時(shí) 仰角、俯角問題同步練習(xí) 滬科版.doc
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九年級數(shù)學(xué)上冊 第23章 解直角三角形 23.2 解直角三角形及其應(yīng)用 第2課時(shí) 仰角、俯角問題同步練習(xí) 滬科版.doc
23.2 第2課時(shí) 仰角、俯角問題
知|識|目|標(biāo)
通過對實(shí)際問題的分析,了解仰角、俯角的定義,并能利用仰角、俯角的定義計(jì)算物體的高度.
目標(biāo) 會運(yùn)用解直角三角形解決仰角、俯角問題
例1 [教材補(bǔ)充例題][xx南通改編]熱氣球探測器顯示,從熱氣球A看一棟樓頂部B的仰角α為45,看這棟樓底部C的俯角β為60,熱氣球與樓的水平距離為100 m.按照下列步驟,求這棟樓的高度(計(jì)算結(jié)果保留根號).
圖23-3-4
(1)由題意可知,在Rt△ABD中,∠BAD=________,AD=________m,則BD=________m;
(2)在Rt△ACD中,∠CAD=________.根據(jù)正切的定義,tan∠DAC=,則CD=ADtan∠DAC=________m,∴BC=BD+CD=________m.
綜上所述,這棟樓的高度為________m.
例2 [高頻考題][xx荊門金橋]學(xué)校“科技體藝節(jié)”期間,八年級數(shù)學(xué)活動小組的任務(wù)是測量學(xué)校旗桿AB的高.如圖23-2-5,他們在旗桿正前方臺階上的點(diǎn)C處,測得旗桿頂端A的仰角為45,朝著旗桿的方向走到臺階下的點(diǎn)F處,測得旗桿頂端A的仰角為60.已知升旗臺的高度BE為1米,點(diǎn)C距地面的高度CD為3米,臺階的坡角為30,且點(diǎn)E,F(xiàn),D在同一直線上.求旗桿AB的高.(計(jì)算結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73)
圖23-2-5
【歸納總結(jié)】視線、水平線、物體的高構(gòu)成直角三角形,已知仰角(俯角)和測量點(diǎn)到物體的水平距離,利用解直角三角形的知識就可以求出物體的高度.
知識點(diǎn)一 俯角和仰角的概念
在進(jìn)行高度測量過程中,視線與水平線會形成一個(gè)夾角,當(dāng)視線在水平線______時(shí)這個(gè)夾角叫做仰角; 當(dāng)視線在水平線______時(shí)這個(gè)夾角叫做俯角.
如圖23-2-6所示,∠1是仰角,∠2是俯角.
圖23-2-6
[點(diǎn)撥] (1)仰角和俯角必須是視線與水平線所夾的角,而不是與鉛垂線所夾的角;(2)仰角和俯角都是銳角.
知識點(diǎn)二 解直角三角形——俯角、仰角問題
利用解直角三角形的知識解決有關(guān)仰角和俯角的實(shí)際問題,通常借助視線、水平線、鉛垂線構(gòu)成的直角三角形進(jìn)行解答.
如圖23-2-7所示,直升機(jī)在大橋AB上方的點(diǎn)P處,此時(shí)飛機(jī)離地面的高度為a m,A,B,O三點(diǎn)在一條直線上且PO⊥AB于點(diǎn)O,測得點(diǎn)A的俯角為α,點(diǎn)B的俯角為β,求大橋AB的長度.
圖23-2-7
解:在Rt△POA中,∵∠APO=α,tan∠APO=,∴OA=OPtanα.在Rt△POB中,∵∠BPO=β,tan∠BPO=,∴OB=OPtanβ,∴AB=OA-OB=OP(tanα-tanβ)=a(tanα-tanβ)m.
上面的解答過程正確嗎?若不正確,請說明理由,并寫出正確的解答過程.
教師詳解詳析
【目標(biāo)突破】
例1 (1)45 100 100 (2)60 100 100(1+) 100(1+)
例2 [解析] 設(shè)AM=x.過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M,則MC=AM.在Rt△AEF中,用含x的式子表示EF.在Rt△CFD中,求出FD,從而根據(jù)ED=MC列方程求出x,由此可求出AB的長.
解:如圖,過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M,則四邊形CMED是矩形,且△AMC是等腰直角三角形.
設(shè)AM=x,則ED=MC=AM=x,AE=AM+ME=AM+CD=x+3.
在Rt△AEF中,EF==.
在Rt△CFD中,F(xiàn)D==3 .
∵ED=MC,
∴+3 =x.
解得x=6 +6,
∴AB=AM+ME-BE=6 +6+3-1=6 +8≈61.73+8≈18.4(米).
答:旗桿AB的高約為18.4米.
【總結(jié)反思】
[小結(jié)] 知識點(diǎn)一 上方 下方
[反思] 不正確.本題錯在把從點(diǎn)P觀測點(diǎn)A的俯角誤認(rèn)為是∠APO,從點(diǎn)P觀測點(diǎn)B的俯角誤認(rèn)為是∠BPO,只有弄清俯角的定義才能避免這類錯誤.
正解:根據(jù)題意,得∠CPA=α,∠BPC=β,
∴∠PAO=α,∠PBO=β.
在Rt△POA中,∵tan∠PAO=,
∴OA== m.
在Rt△POB中,∵tan∠PBO=,
∴OB== m,
∴AB=OA-OB=(-)m.
課堂反饋(三十三)
1.7tanα
2.1200 [解析] 由題意可知∠BAC=60,則BC=ACtan∠BAC=1200=1200 (m).
3.3(-1) [解析] 由題意可知,△ABD是等腰直角三角形,∴AD=AB=3 m.在Rt△ACD中,AC=ADtan∠CDA=3tan60=3 (m),∴BC=AC-AB=3 -3=3(-1)m.
4.解:過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E.在Rt△BCE中,∠BCE=30,BE=CD=5 m,∴∠CBE=60.根據(jù)正切的定義,得CE=BEtan∠CBE=5 m.
由題意可知,△ACE是等腰直角三角形,∴AE=CE=5 m,∴AB=AE+BE=5(+1)m.故大樹的高度為5(+1)m