廣東省珠海一中高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 均值不等式定理及綜合法課件 新人教A版

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1、均值不等式定理定理1、如果,Rba那么abba222（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）證明：222)(2baabba所以時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng), 0, 0,22babababa, 02ba0222abba即abba222推論：如果,Rba那么abba2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）這是因?yàn)閎aba222abba2abba2naaaanRaaaann321321, 1,那么且如果叫做這個(gè)n正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，nnaaaa321叫做這個(gè)n正數(shù)的幾何平均數(shù)，上面的推論就是：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即 大于或等于）它們的幾何平均數(shù)。定理2、如果,Rcba那么abccba3333（當(dāng)且僅當(dāng) a=b=c時(shí)取“=”號(hào)）證明

2、：abccba3333abcabbacba3332233)(322cbaabccbabacbaabcbcacbabacba32222abbcaccbacba2220)(21222accbbacbaabccba3333 法二：由6。3節(jié)例3的結(jié)論可知同理可得) 1 (2233abbaba)2(2233bccbcb222222333)(2accabccbabbacba)3(2233accaca將（1），（2），（3）式兩邊分別相加，得)()()(222222cacbacabbcba)()()(222222baccbacababcabcbcaacb6222abccba3333推論：如果,Rcba那么

3、33abccba（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào)）這是因?yàn)?333333333cbacba33 abccba33abccba顯然，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)上面的推論就是：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即 大于或等于）它們的幾何平均數(shù)。綜合以上推論得：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即 大于或等于）它們的幾何平均數(shù)。即：naaaanRaaaann321321, 1,那么且如果nnaaaa321號(hào)時(shí)取當(dāng)且僅當(dāng)321naaaa 我們可以利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式（如上面的定理及其推論）作為基礎(chǔ)，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要求證的不等式。這種證明方法通常叫做綜合法。 綜合法就是從已知條件或定理及其推論或常

4、用結(jié)論出發(fā)，推導(dǎo)出所要求證的不等式的方法也可說(shuō)其為是“執(zhí)因索果”法。例4、已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證 abcbacacbcba6)()()(222222證明：0,222abccb 1222abccba 3222,2222abcbacabcacb同理因?yàn)閍,b,c不全相等，所以（1），（2），（3）中至少有一個(gè)式不能取“=”號(hào)abcbacacbcba6)()()(222222例5、已知,Rdcba求證abcdbdaccdab4,Rdcba證明：由得0202bdacbdaccdabcdababcdbdaccdab4abcdbdaccdab4)(即例6、已知,Rzyx求證xyzzyx273

5、證明：,Rzyx033xyzzyxxyzzyx3)3(xyzzyx273即柯西不等式：對(duì)于任意實(shí)數(shù), 3 , 2 , 1,nibaii有222212222122211nnnnbbbaaabababa其中當(dāng)且僅當(dāng)), 3 , 2 , 1(,nibakbaiiii與即成比例時(shí)取等號(hào)。naaan11121叫做n個(gè)正數(shù)naaa,21的調(diào)和平均數(shù)。naaan22221叫做n個(gè)正數(shù)naaa,21的平方平均數(shù)。對(duì)于n個(gè)正數(shù)naaa,21有調(diào)和平均數(shù)不大于幾何平均數(shù)不大于算術(shù)平均數(shù)不大于平方平均數(shù)。當(dāng)且僅當(dāng)它們互等時(shí)取等號(hào)。即naaanaaaaaaaaannnnnn22221212121111（當(dāng)且僅當(dāng)naa

6、a21時(shí)取“=”）掌握221122221212121aaaaaaaa（當(dāng)且僅當(dāng)21aa 時(shí)取“=”）練習(xí)1、已知：a0,b0,且a+b=1.求證：8144ba225)1()1(22bbaa證明：22244)2(2baba161)21()2(2222ba222222114)1()1(bababbaa222222)(4babaabba2222)(214baabbaab222125baabab4121, 1, 0, 0ababbaba225)41(41214125)1()1(222bbaa練習(xí)2、若1222cba求證：121acbcab0)(2:0)(:2222acbcabcbacba得由證0)(211222acbcabcba21acbcab)()()(211222222222cacbbacba又由acbcabacbcab)222(211acbcab即121acbcab故