數(shù)學第十二章 概率、隨機變量及其分布 12.5 二項分布及其應用

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1、12.5二項分布及其應用第十二章概率、隨機變量及其分布基礎知識自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習1.條件概率及其性質條件概率及其性質(1)對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做 ，用符號 來表示，其公式為P(B|A)_(P(A)0).在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個數(shù)，則P(B|A) .知識梳理條件概率P(B|A)(2)條件概率具有的性質 ；如果B和C是兩個互斥事件，則P(BC|A) .2.相互獨立事件相互獨立事件(1)對于事件A，B，若事件A的發(fā)生與事件B的發(fā)生互不影響，則稱事件 .(2)若A與B相互獨立，則P(B|A)

2、 ，P(AB)P(B|A)P(A) .0P(B|A)1P(B|A)P(C|A)A，B是相互獨立事件P(B)P(A)P(B)(4)若P(AB)P(A)P(B)，則 .3.獨立重復試驗與二項分布獨立重復試驗與二項分布(1)獨立重復試驗是指在相同條件下可重復進行的，各次之間相互獨立的一種試驗，在這種試驗中每一次試驗只有 種結果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的.(2)在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P(Xk) ，此時稱隨機變量X服從 ，記為 ，并稱p為成功概率.A與B相互獨立兩二項分布XB(n，p)題組一思考辨析題組一思

3、考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)條件概率一定不等于它的非條件概率.()(2)相互獨立事件就是互斥事件.()(3)對于任意兩個事件，公式P(AB)P(A)P(B)都成立.()(4)二項分布是一個概率分布，其公式相當于(ab)n二項展開式的通項公式，其中ap，b1p.()(5)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，P(AB)表示事件A，B同時發(fā)生的概率.()基礎自測123456題組二教材改編題組二教材改編2.P55T3天氣預報，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假設在這段時間內兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降

4、雨的概率為 A.0.2 B.0.3C.0.38 D.0.56答案解析1234560.20.70.80.30.38.1234563.P54T2已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球，它們大小形狀完全相同，現(xiàn)需一個紅球，甲每次從中任取一個不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為 答案解析解析解析設A第一次拿到白球，B第二次拿到紅球，123456解析答案題組三易錯自糾題組三易錯自糾1234565.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A為“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B為“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于 解析答案1234566.箱子里有5個黑球，4個白球，每

5、次隨機取出一個球，若取出黑球，則放回箱中，重新取球；若取出白球，則停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率為 解析答案123456題型分類深度剖析1.已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形與功率都相同且燈口向下放著，現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只且不放回，則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為 解析答案題型一條件概率自主演練自主演練解析解析方法一方法一設事件A為“第1次抽到的是螺口燈泡”，事件B為“第2次抽到的是卡口燈泡”，解答2.一個正方形被平均分成9個部分，向大正方形區(qū)域隨機地投擲一個點(每次都能投中).設投中最左側3個小正方形區(qū)

6、域的事件記為A，投中最上面3個小正方形或正中間的1個小正方形區(qū)域的事件記為B，求P(AB)，P(A|B).解解如圖，n()9，n(A)3，n(B)4，(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A) ，這是通用的求條件概率的方法.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A) .思維升華思維升華典例典例 (2017哈爾濱質檢)某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為 現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立.(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率

7、；題型二相互獨立事件的概率師生共研師生共研解答(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預計企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預計企業(yè)可獲利潤100萬元，求該企業(yè)可獲利潤的分布列.解答解解設企業(yè)可獲利潤為X(萬元)，則X的可能取值為0,100,120,220，故所求的分布列為X0100120220P求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法(1)首先判斷幾個事件的發(fā)生是否相互獨立.(2)求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解；正面計算較煩瑣或難以入手時，可從其對立事件入手計算.思維升華思維升華(1)求乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率；解答解解記“甲回答正確這道題”、“

8、乙回答正確這道題”、“丙回答正確這道題”分別為事件A，B，C，則P(A)(2)求甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題的概率.解解有0個家庭回答正確的概率為有1個家庭回答正確的概率為所以不少于2個家庭回答正確這道題的概率為解答題型三獨立重復試驗與二項分布多維探究多維探究命題點命題點1根據(jù)獨立重復試驗求概率根據(jù)獨立重復試驗求概率典例典例 某市電視臺舉辦紀念紅軍長征勝利知識回答活動，宣傳長征精神，首先在甲、乙、丙、丁四個不同的公園進行支持簽名活動.公園甲乙丙丁獲得簽名人數(shù)45603015然后在各公園簽名的人中按分層抽樣的方式抽取10名幸運之星回答問題，從10個關于長征的問題中隨機抽取4個

9、問題讓幸運之星回答，全部答對的幸運之星獲得一份紀念品.(1)求此活動中各公園幸運之星的人數(shù)；解答解解甲、乙、丙、丁四個公園幸運之星的人數(shù)分別為(2)若乙公園中每位幸運之星對每個問題答對的概率均為 ，求恰好2位幸運之星獲得紀念品的概率；解答(3)若幸運之星小李對其中8個問題能答對，而另外2個問題答不對，記小李答對的問題數(shù)為X，求X的分布列.解答所以X的分布列為X234P命題點命題點2根據(jù)獨立重復試驗求二項分布根據(jù)獨立重復試驗求二項分布典例典例 一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20

10、分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得200分).設每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為 ，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.(1)設每盤游戲獲得的分數(shù)為X，求X的分布列；解答解解X可能的取值為10,20,100，200.根據(jù)題意，有所以X的分布列為X1020100200P(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？解答解解設“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i1,2,3)，所以“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”的概率為獨立重復試驗與二項分布問題的常見類型及解題策略(1)在求n次獨立重復試驗中事件恰好發(fā)生k次的概率時，首先要確定好n和k的值，再準確利用公式求概率.(2)在根據(jù)獨

11、立重復試驗求二項分布的有關問題時，關鍵是理清事件與事件之間的關系，確定二項分布的試驗次數(shù)n和變量的概率，求得概率.思維升華思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練 (2017牡丹江模擬)為研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門隨機選取100名家用轎車駕駛員進行調查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在55名男性駕駛員中，平均車速超過100 km/h的有40人，不超過100 km/h的有15人；在45名女性駕駛員中，平均車速超過100 km/h的有20人，不超過100 km/h的有25人.(1)在被調查的駕駛員中，從平均車速不超過100 km/h的人中隨機抽取2人，求這2人恰好有1名男性駕駛員和1

12、名女性駕駛員的概率；解答(2)以上述樣本數(shù)據(jù)估計總體，從高速公路上行駛的家用轎車中隨機抽取3輛，記這3輛車平均車速超過100 km/h且為男性駕駛員的車輛為X，求X的分布列.解答所以X的分布列為X0123P獨立事件與互斥事件現(xiàn)場糾錯現(xiàn)場糾錯糾錯心得現(xiàn)場糾錯錯解展示錯解展示：錯解展示：現(xiàn)場糾錯現(xiàn)場糾錯(2)設“第i次射擊擊中目標”為事件Ai(i1,2,3,4,5)，“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標，另外2次未擊中目標”為事件A，則糾錯心得糾錯心得(1)搞清事件之間的關系，不要混淆“互斥”與“獨立”.(2)區(qū)分獨立事件與n次獨立重復試驗.課時作業(yè)1.把一枚硬幣連續(xù)拋兩次，記“第一次出現(xiàn)正面”

13、為事件A，“第二次出現(xiàn)正面”為事件B，則P(B|A)等于 基礎保分練解析答案123456789101112131415162.(2018大連模擬)某地區(qū)空氣質量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是 A.0.8 B.0.75C.0.6 D.0.45解析答案12345678910111213141516解析答案123456789101112131415164.投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概

14、率為 A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312解析答案12345678910111213141516解析解析3次投籃投中2次的概率為投中3次的概率為P(k3)0.63，解析答案123456789101112131415165.一袋中有5個白球，3個紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時停止，設停止時共取了X次球，則P(X12)等于 解析解析“X12”表示第12次取到紅球，前11次有9次取到紅球，2次取到白球，解析答案12345678910111213141516123456789101112131415161P(A)1P(B)1P(C)解析

15、答案123456789101112131415167.(2017德陽模擬)一盒中放有大小相同的10個小球，其中8個黑球、2個紅球，現(xiàn)甲、乙二人先后各自從盒子中無放回地任意取2個小球，已知甲取到了2個黑球，則乙也取到2個黑球的概率是_.8.某一部件由三個電子元件按如圖所示方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作.設三個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態(tài)分布N(1 000,502)，且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1 000小時的概率為_.解析答案123456789101112131415161234567891011121314151

16、6該部件的使用壽命超過1 000小時的概率9.位于坐標原點的一個質點P按下述規(guī)則移動：質點每次移動一個單位，移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是 .質點P移動五次后位于點(2,3)的概率是_.解析答案12345678910111213141516解析答案1234567891011121314151610.(2017長沙模擬)排球比賽的規(guī)則是5局3勝制(無平局)，甲在每局比賽獲勝的概率都為 ，前2局中乙隊以20領先，則最后乙隊獲勝的概率是_.11.挑選空軍飛行員可以說是“萬里挑一”，要想通過需要五關：目測、初檢、復檢、文考(文化考試)、政審.若某校甲、乙、丙三位同學都順利通過了前

17、兩關，根據(jù)分析甲、乙、丙三位同學通過復檢關的概率分別是0.5,0.6,0.75，能通過文考關的概率分別是0.6,0.5,0.4，由于他們平時表現(xiàn)較好，都能通過政審關，若后三關之間通過與否沒有影響.(1)求甲、乙、丙三位同學中恰好有一人通過復檢的概率；12345678910111213141516解答(2)設只要通過后三關就可以被錄取，求錄取人數(shù)X的分布列.解答12345678910111213141516解解甲被錄取的概率為P甲0.50.60.3，同理P乙0.60.50.3，P丙0.750.40.3.12345678910111213141516故X的分布列為X0123P0.3430.4410

18、.1890.02712.張先生家住H小區(qū)，他工作在C科技園區(qū)，從家開車到公司上班路上有L1，L2兩條路線(如圖)，L1路線上有A1，A2，A3三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為 ；L2路線上有B1，B2兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為12345678910111213141516(1)若走L1路線，求最多遇到1次紅燈的概率；解答解解設走L1路線最多遇到1次紅燈為A事件，12345678910111213141516(2)若走L2路線，求遇到紅燈次數(shù)X的分布列.12345678910111213141516解答解解依題意，X的可能取值為0,1,2.所以隨機變量X的分布列為X012P13.甲罐

19、中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是_.(寫出所有正確結論的序號)技能提升練解析答案12345678910111213141516事件B與事件A1相互獨立；A1，A2，A3是兩兩互斥的事件；P(B)的值不能確定，它與A1，A2，A3中哪一個發(fā)生都有關.解析解析由題意知A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，而P(B)P(A1B)P(A2B)P(A3B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(

20、B|A2)P(A3)P(B|A3)1234567891011121314151612345678910111213141516解答14.(2017蘭州模擬)甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是假設兩人射擊是否擊中目標相互之間沒有影響，每人每次射擊是否擊中目標相互之間也沒有影響.(1)求甲射擊4次，至少有1次未擊中目標的概率；12345678910111213141516解解記“甲連續(xù)射擊4次，至少有1次未擊中目標”為事件A1，則事件A1的對立事件 為“甲連續(xù)射擊4次，全部擊中目標”.由題意知，射擊4次相當于做4次獨立重復試驗.解答(2)求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標

21、3次的概率；解解記“甲射擊4次，恰好有2次擊中目標”為事件A2，“乙射擊4次，恰好有3次擊中目標”為事件B2，由于甲、乙射擊相互獨立，12345678910111213141516解答(3)假設每人連續(xù)2次未擊中目標，則終止其射擊.問：乙恰好射擊5次后，被終止射擊的概率是多少？解解記“乙恰好射擊5次后，被終止射擊”為事件A3，“乙第i次射擊未擊中”為事件Di(i1,2,3,4,5)，由于各事件相互獨立，故12345678910111213141516拓展沖刺練答案解析1234567891011121314151615.設隨機變量XB(2，p)，隨機變量YB(3，p)，若P(X1) ，則P(Y1

22、)_.解析解析XB(2，p)，16.現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲.(1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；解答12345678910111213141516設“這4個人中恰有k人去參加甲游戲”為事件Ak(k0,1,2,3,4).12345678910111213141516故這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率為(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；解答12345678910111213141516解解設“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則BA3A4.由于A3與A4互斥，故(3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記|XY|，求隨機變量的分布列.12345678910111213141516解答024P12345678910111213141516解解的所有可能取值為0,2,4.由于A1與A3互斥，A0與A4互斥，故所以的分布列是