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1、第第2 2講講 不等式選講不等式選講考情分析考情分析總綱目錄考點一 絕對值不等式考點二 不等式的證明考點三 含絕對值不等式的恒成立問題考點一 絕對值不等式含有絕對值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)-a;(2)|f(x)|0)-af(x)0).(1)當a=4時,已知f(x)=7,求x的取值范圍;(2)若f(x)6的解集為x|x-4或x2,求a的值.解析解析(1)因為|x+3|+|x-4|x+3-x+4|=7,當且僅當(x+3)(x-4)0時等號成立.所以f(x)=7時,-3x4,故x-3,4.(2)由題意知f(x)=當a+36時,不等式f(x)6的解集為R,不合題意
2、;當a+31的解集.解析解析(1)由題意得, f(x)=y=f(x)的圖象如圖所示.4,1,332, 1,234,2xxxxxx (2)由f(x)的表達式及圖象知,當f(x)=1時,可得x=1或x=3;當f(x)=-1時,可得x=或x=5,故f(x)1的解集為x|1x3; f(x)1的解集為.131|53x xx或1|1353x xxx或或考點二 不等式的證明1.含有絕對值的不等式的性質(zhì)|a|-|b|ab|a|+|b|.2.算術(shù)-幾何平均不等式定理1:設(shè)a,bR,則a2+b22ab,當且僅當a=b時,等號成立.定理2:如果a、b為正數(shù),則,當且僅當a=b時,等號成立.定理3:如果a、b、c為正
3、數(shù),則,當且僅當a=b=c時,等號成立.定理4:(一般形式的算術(shù)-幾何平均不等式)如果a1,a2,an為n個正數(shù),則,當且僅當a1=a2=an時,等號成立.2abab3abc3abc12naaan12nna aa典型例題典型例題(2017課標全國,23,10分)已知a0,b0,a3+b3=2.證明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.解析解析(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因為(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+(a+b)=2+,所以(
4、a+b)38,因此a+b2.23()4ab33()4ab方法歸納方法歸納不等式證明的常用方法不等式證明的常用方法有比較法、分析法、綜合法、反證法等.如果已知條件與待證結(jié)論直接聯(lián)系不明顯,可考慮用分析法;如果待證命題是否定性命題、唯一性命題或以“至少”“至多”等方式給出的,則考慮用反證法.在必要的情況下,可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡化對問題的表述和證明.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a-c=d-b,證明:(1)若abcd,則+;(2)+是|a-b|cd得(+)2(+)2.所以+.(2)若|a-b|c-d|,則(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4abcd.abcdab
5、cdababcdcdabcdabcd由(1)得+.若+,則(+)2(+)2,即a+b+2c+d+2.因為a+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|+是|a-b|a恒成立f(x)mina; f(x)a恒成立f(x)maxa有解f(x)maxa; f(x)a有解f(x)mina無解f(x)maxa; f(x)0).(1)若a=3,解關(guān)于x的不等式f(x)0;(2)若對于任意的實數(shù)x,不等式f(x)-f(x+a)a2+恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.解析解析(1)當a=3時, f(x)=|x-3|-x,即|x-3|-x0,-x-
6、3x,解得2x6,故不等式的解集為x|2x6.(2)f(x)-f(x+a)=|x-a|-|x|+,原不等式等價于|x-a|-|x|a2,122a12122x122a由絕對值不等式的性質(zhì),得|x-a|-|x|(x-a)-x|=|a|,原不等式等價于|a|0,a1.1.(2017課標全國,23,10分)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范圍.隨堂檢測隨堂檢測解析解析(1)f(x)=當x2時,由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集為x|x1.(2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2
7、+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-+,3,1,21, 12,3,2.xxxx 23|2x5454且當x=時,|x+1|-|x-2|-x2+x=.故m的取值范圍為.32545,42.(2017寶雞質(zhì)量檢測(一)已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.(1)解不等式|g(x)|5;(2)若對任意x1R,都存在x2R,使得f(x1)=g(x2)成立,求實數(shù)a的取值范圍.解析解析(1)由|x-1|+2|5得-5|x-1|+25,-7|x-1|3,得不等式的解集為x|-2x4.(2)因為對任意x1R,都存在x2R,使得f(x1)=g(x2)成立,所以y|y=f(x)y|y=g(x),又f(x)=|2x-a|+|2x+3|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+22,所以|a+3|2,解得a-1或a-5,所以實數(shù)a的取值范圍為a-1或a-5.
高三數(shù)學(xué)第一篇八 選修系列 第2講 不等式選講 理
