高考數(shù)學(xué) 專題二 數(shù)列 第2講 數(shù)列的求和問題 理
第2講數(shù)列的求和問題專題二數(shù)列板塊三專題突破核心考點考情考向分析高考對數(shù)列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn),通過分組轉(zhuǎn)化、錯位相減、裂項相消等方法求一般數(shù)列的和,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.熱點分類突破真題押題精練內(nèi)容索引熱點分類突破有些數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將數(shù)列通項拆開或變形,可轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列,即先分別求和,然后再合并.熱點一分組轉(zhuǎn)化法求和解答例例1(2018西南名校聯(lián)盟月考)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,a1a34,a3是a22與a4的等差中項,若an1 (nN*).(1)求數(shù)列bn的通項公式;2nb解解設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,且q0,由an0,a1a34,得a22,又a3是a22與a4的等差中項,故2a3a22a4,22q222q2,q2或q0(舍).ana2qn22n1,an12n ,bnn(nN*).2nb解答在處理一般數(shù)列求和時,一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想.把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和,在求和時要分清楚哪些項構(gòu)成等差數(shù)列,哪些項構(gòu)成等比數(shù)列,清晰正確地求解.在利用分組求和法求和時,由于數(shù)列的各項是正負(fù)交替的,所以一般需要對項數(shù)n進(jìn)行討論,最后再驗證是否可以合并為一個公式.思維升華思維升華解答跟蹤演練跟蹤演練1(2018焦作模擬)已知an為等差數(shù)列,且a23,an前4項的和為16,數(shù)列bn滿足b14,b488,且數(shù)列bnan為等比數(shù)列(nN*).(1)求數(shù)列an和bnan的通項公式;解解設(shè)an的公差為d,因為a23,an前4項的和為16,解得a11,d2,所以an1(n1)22n1(nN*).設(shè)bnan的公比為q,則b4a4(b1a1)q3,所以bnan(41)3n13n(nN*).解答(2)求數(shù)列bn的前n項和Sn.解解由(1)得bn3n2n1,所以Sn(332333n)(1352n1)熱點二錯位相減法求和錯位相減法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法,這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項和,其中an,bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.解答例例2(2018百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足a1a3,an1 ,設(shè)bn2nan(nN*).(1)求數(shù)列bn的通項公式;所以bnb13(n1)3n1(nN*).所以數(shù)列bn是公差為3的等差數(shù)列,又a1a3,(2)求數(shù)列an的前n項和Sn.解答(1)錯位相減法適用于求數(shù)列anbn的前n項和,其中an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列.(2)所謂“錯位”,就是要找“同類項”相減.要注意的是相減后得到部分求等比數(shù)列的和,此時一定要查清其項數(shù).(3)為保證結(jié)果正確,可對得到的和取n1,2進(jìn)行驗證.思維升華思維升華跟蹤演練跟蹤演練2(2018濱海新區(qū)七所重點學(xué)校聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項和是Sn,且Sn an1(nN*).數(shù)列bn是公差d不等于0的等差數(shù)列,且滿足:b1 a1,b2,b5,b14成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an,bn的通項公式;解答b11,d22d0,因為d0,解得d2,bn2n1(nN*).(2)設(shè)cnanbn,求數(shù)列cn的前n項和Tn.解答裂項相消法是指把數(shù)列和式中的各項分別裂開后,某些項可以相互抵消從而求和的方法,主要適用于 或 (其中an為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和.熱點三裂項相消法求和解答例例3(2018天津市十二校模擬)已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足:Sna(Snan1) (nN*)(a為常數(shù),a0,a1).(1)求an的通項公式;解解Sna(Snan1),n1時,a1a.n2時,Sn1a(Sn1an11),SnSn1ana(SnSn1)aanaan1,數(shù)列an是以a為首項,a為公比的等比數(shù)列,anan(nN*).解答(2)設(shè)bnanSn,若數(shù)列bn為等比數(shù)列,求a的值;解解由bnanSn得,b12a,b22a2a,b32a3a2a.數(shù)列bn為等比數(shù)列,解答(1)裂項相消法的基本思想就是把通項an分拆成anbnkbn(k1,kN*)的形式,從而在求和時達(dá)到某些項相消的目的,在解題時要善于根據(jù)這個基本思想變換數(shù)列an的通項公式,使之符合裂項相消的條件. (2)常用的裂項公式思維升華思維升華解答跟蹤演練跟蹤演練3(2018華大新高考聯(lián)盟質(zhì)檢)已知數(shù)列an為遞增數(shù)列,a11,其前n項和為Sn,且滿足2Sna 2Sn11(n2,nN*).(1)求數(shù)列an的通項公式;又?jǐn)?shù)列an為遞增數(shù)列,a11,anan10,anan12(n3),a2a12,符合anan12,an是以1為首項,以2為公差的等差數(shù)列,an1(n1)22n1(nN*).解答又nN*,n的最小值為10.真題押題精練真題體驗答案解析解析解析 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,2.(2017天津)已知an為等差數(shù)列,前n項和為Sn(nN*),bn是首項為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2b312,b3a42a1,S1111b4.(1)求an和bn的通項公式;解答解解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2b312,得b1(qq2)12,而b12,所以q2q60.又因為q0,解得q2,所以bn2n.由b3a42a1,可得3da18,由S1111b4,可得a15d16,聯(lián)立,解得a11,d3,由此可得an3n2(nN*).所以數(shù)列an的通項公式為an3n2(nN*),數(shù)列bn的通項公式為bn2n(nN*).(2)求數(shù)列a2nb2n1的前n項和(nN*).解答解解設(shè)數(shù)列a2nb2n1的前n項和為Tn,由a2n6n2,b2n124n1,得a2nb2n1(3n1)4n,故Tn24542843(3n1)4n,4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1, ,得3Tn2434234334n(3n1)4n1押題預(yù)測答案解析押題依據(jù)押題依據(jù)押題依據(jù)數(shù)列的通項以及求和是高考重點考查的內(nèi)容,也是考試大綱中明確提出的知識點,年年在考,年年有變,變的是試題的外殼,即在題設(shè)的條件上有變革,有創(chuàng)新,但在變中有不變性,即解答問題的常用方法有規(guī)律可循.1押題依據(jù)押題依據(jù)錯位相減法求和是高考的重點和熱點,本題先利用an,Sn的關(guān)系求an,也是高考出題的常見形式.解答押題依據(jù)解解當(dāng)n1時,a1S11,當(dāng)n2時,anSnSn12n1(nN*),又a11滿足an2n1,an2n1(nN*).且bn0,2bn1bn,解答(2)設(shè)cnanbn,求數(shù)列cn的前n項和Tn.
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高考數(shù)學(xué)
專題二
數(shù)列
第2講
數(shù)列的求和問題
高考
數(shù)學(xué)
專題
求和
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第2講數(shù)列的求和問題專題二數(shù)列板塊三專題突破核心考點考情考向分析高考對數(shù)列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn),通過分組轉(zhuǎn)化、錯位相減、裂項相消等方法求一般數(shù)列的和,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.熱點分類突破真題押題精練內(nèi)容索引熱點分類突破有些數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將數(shù)列通項拆開或變形,可轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列,即先分別求和,然后再合并.熱點一分組轉(zhuǎn)化法求和解答例例1(2018西南名校聯(lián)盟月考)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,a1a34,a3是a22與a4的等差中項,若an1 (nN*).(1)求數(shù)列bn的通項公式;2nb解解設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,且q0,由an0,a1a34,得a22,又a3是a22與a4的等差中項,故2a3a22a4,22q222q2,q2或q0(舍).ana2qn22n1,an12n ,bnn(nN*).2nb解答在處理一般數(shù)列求和時,一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想.把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和,在求和時要分清楚哪些項構(gòu)成等差數(shù)列,哪些項構(gòu)成等比數(shù)列,清晰正確地求解.在利用分組求和法求和時,由于數(shù)列的各項是正負(fù)交替的,所以一般需要對項數(shù)n進(jìn)行討論,最后再驗證是否可以合并為一個公式.思維升華思維升華解答跟蹤演練跟蹤演練1(2018焦作模擬)已知an為等差數(shù)列,且a23,an前4項的和為16,數(shù)列bn滿足b14,b488,且數(shù)列bnan為等比數(shù)列(nN*).(1)求數(shù)列an和bnan的通項公式;解解設(shè)an的公差為d,因為a23,an前4項的和為16,解得a11,d2,所以an1(n1)22n1(nN*).設(shè)bnan的公比為q,則b4a4(b1a1)q3,所以bnan(41)3n13n(nN*).解答(2)求數(shù)列bn的前n項和Sn.解解由(1)得bn3n2n1,所以Sn(332333n)(1352n1)熱點二錯位相減法求和錯位相減法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法,這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項和,其中an,bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.解答例例2(2018百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足a1a3,an1 ,設(shè)bn2nan(nN*).(1)求數(shù)列bn的通項公式;所以bnb13(n1)3n1(nN*).所以數(shù)列bn是公差為3的等差數(shù)列,又a1a3,(2)求數(shù)列an的前n項和Sn.解答(1)錯位相減法適用于求數(shù)列anbn的前n項和,其中an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列.(2)所謂“錯位”,就是要找“同類項”相減.要注意的是相減后得到部分求等比數(shù)列的和,此時一定要查清其項數(shù).(3)為保證結(jié)果正確,可對得到的和取n1,2進(jìn)行驗證.思維升華思維升華跟蹤演練跟蹤演練2(2018濱海新區(qū)七所重點學(xué)校聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項和是Sn,且Sn an1(nN*).數(shù)列bn是公差d不等于0的等差數(shù)列,且滿足:b1 a1,b2,b5,b14成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an,bn的通項公式;解答b11,d22d0,因為d0,解得d2,bn2n1(nN*).(2)設(shè)cnanbn,求數(shù)列cn的前n項和Tn.解答裂項相消法是指把數(shù)列和式中的各項分別裂開后,某些項可以相互抵消從而求和的方法,主要適用于 或 (其中an為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和.熱點三裂項相消法求和解答例例3(2018天津市十二校模擬)已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足:Sna(Snan1) (nN*)(a為常數(shù),a0,a1).(1)求an的通項公式;解解Sna(Snan1),n1時,a1a.n2時,Sn1a(Sn1an11),SnSn1ana(SnSn1)aanaan1,數(shù)列an是以a為首項,a為公比的等比數(shù)列,anan(nN*).解答(2)設(shè)bnanSn,若數(shù)列bn為等比數(shù)列,求a的值;解解由bnanSn得,b12a,b22a2a,b32a3a2a.數(shù)列bn為等比數(shù)列,解答(1)裂項相消法的基本思想就是把通項an分拆成anbnkbn(k1,kN*)的形式,從而在求和時達(dá)到某些項相消的目的,在解題時要善于根據(jù)這個基本思想變換數(shù)列an的通項公式,使之符合裂項相消的條件. (2)常用的裂項公式思維升華思維升華解答跟蹤演練跟蹤演練3(2018華大新高考聯(lián)盟質(zhì)檢)已知數(shù)列an為遞增數(shù)列,a11,其前n項和為Sn,且滿足2Sna 2Sn11(n2,nN*).(1)求數(shù)列an的通項公式;又?jǐn)?shù)列an為遞增數(shù)列,a11,anan10,anan12(n3),a2a12,符合anan12,an是以1為首項,以2為公差的等差數(shù)列,an1(n1)22n1(nN*).解答又nN*,n的最小值為10.真題押題精練真題體驗答案解析解析解析 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,2.(2017天津)已知an為等差數(shù)列,前n項和為Sn(nN*),bn是首項為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2b312,b3a42a1,S1111b4.(1)求an和bn的通項公式;解答解解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2b312,得b1(qq2)12,而b12,所以q2q60.又因為q0,解得q2,所以bn2n.由b3a42a1,可得3da18,由S1111b4,可得a15d16,聯(lián)立,解得a11,d3,由此可得an3n2(nN*).所以數(shù)列an的通項公式為an3n2(nN*),數(shù)列bn的通項公式為bn2n(nN*).(2)求數(shù)列a2nb2n1的前n項和(nN*).解答解解設(shè)數(shù)列a2nb2n1的前n項和為Tn,由a2n6n2,b2n124n1,得a2nb2n1(3n1)4n,故Tn24542843(3n1)4n,4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1, ,得3Tn2434234334n(3n1)4n1押題預(yù)測答案解析押題依據(jù)押題依據(jù)押題依據(jù)數(shù)列的通項以及求和是高考重點考查的內(nèi)容,也是考試大綱中明確提出的知識點,年年在考,年年有變,變的是試題的外殼,即在題設(shè)的條件上有變革,有創(chuàng)新,但在變中有不變性,即解答問題的常用方法有規(guī)律可循.1押題依據(jù)押題依據(jù)錯位相減法求和是高考的重點和熱點,本題先利用an,Sn的關(guān)系求an,也是高考出題的常見形式.解答押題依據(jù)解解當(dāng)n1時,a1S11,當(dāng)n2時,anSnSn12n1(nN*),又a11滿足an2n1,an2n1(nN*).且bn0,2bn1bn,解答(2)設(shè)cnanbn,求數(shù)列cn的前n項和Tn.
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