高考物理必修知識(shí)點(diǎn)知識(shí)講解行星的運(yùn)動(dòng)與萬(wàn)有引力定律提高

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1、 行星的運(yùn)動(dòng)、萬(wàn)有引力定律 編稿：周軍 審稿：吳楠楠 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．了解地心說(shuō)與日心說(shuō)． 2．明確開(kāi)普勒三大定律，能應(yīng)用開(kāi)普勒三大定律分析問(wèn)題． 3．知道太陽(yáng)與行星間的引力與哪些因素有關(guān)．理解引力公式的含義并會(huì)推導(dǎo)平方反比規(guī)律． 4．理解萬(wàn)有引力定律的含義并掌握用萬(wàn)有引力定律計(jì)算引力的方法 【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、地心說(shuō)與日心說(shuō) 要點(diǎn)詮釋： 1．地心說(shuō) 地球是宇宙的中心，并且靜止不動(dòng)，一切行星圍繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)． 公元2世紀(jì)的希臘天文學(xué)家托勒密使地心說(shuō)發(fā)展和完善起來(lái)，由于地心說(shuō)能解釋一些天文現(xiàn)象，又符合人們的日常經(jīng)驗(yàn)(例如我們看到太陽(yáng)從東邊升起，從

2、西邊落下，就認(rèn)為太陽(yáng)在繞地球運(yùn)動(dòng))，同時(shí)地心說(shuō)也符合宗教神學(xué)關(guān)于地球是宇宙中心的說(shuō)法，所以得到教會(huì)的支持，統(tǒng)治和禁錮人們的思想達(dá)一千多年之久． 2．日心說(shuō) 16世紀(jì)，波蘭天文學(xué)家哥白尼(1473～1543年)根據(jù)天文觀測(cè)的大量資料，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)達(dá)40多年的天文觀測(cè)和潛心研究，提出“日心體系”宇宙圖景． 日心體系學(xué)說(shuō)的基本論點(diǎn)有： (1)宇宙的中心是太陽(yáng)，所有的行星都在繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)． (2)地球是繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)的普通行星，月球是繞地球旋轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，它繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)還跟地球一起繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)． (3)天穹不轉(zhuǎn)動(dòng)，因?yàn)榈厍蛎刻熳晕飨驏|自轉(zhuǎn)一周，

3、造成天體每天東升西落的現(xiàn)象． (4)與日地距離相比，其他恒星離地球都十分遙遠(yuǎn)，比日地間的距離大得多． 隨著人們對(duì)天體運(yùn)動(dòng)的不斷研究，發(fā)現(xiàn)地心說(shuō)所描述的天體的運(yùn)動(dòng)不僅復(fù)雜而且問(wèn)題很多．如果把地球從天體運(yùn)動(dòng)的中心位置移到一個(gè)普通的、繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的行星的位置，換一個(gè)角度來(lái)考慮天體的運(yùn)動(dòng)，許多問(wèn)題都可以解決，行星運(yùn)動(dòng)的描述也變得簡(jiǎn)單了．因此日心說(shuō)逐漸被越來(lái)越多的人所接受，真理最終戰(zhàn)勝了謬誤． 注意：古代的兩種學(xué)說(shuō)都不完善，太陽(yáng)、地球等天體都是運(yùn)動(dòng)的，鑒于當(dāng)時(shí)自然科學(xué)的認(rèn)識(shí)能力，日心說(shuō)比地心說(shuō)更先進(jìn)，日心說(shuō)能更完美地解釋天體的運(yùn)動(dòng)．以后的觀測(cè)事實(shí)表明，哥白尼日心體系學(xué)說(shuō)有一定的優(yōu)越性

4、．但是，限于哥白尼時(shí)代科學(xué)發(fā)展的水平，哥白尼學(xué)說(shuō)存在兩大缺點(diǎn)：①把太陽(yáng)當(dāng)做宇宙的中心．實(shí)際上太陽(yáng)僅是太陽(yáng)系的中心天體，而不是宇宙的中心．②沿用了行星在圓形軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的陳舊觀念．實(shí)際上行星軌道是橢圓的，行星的運(yùn)動(dòng)也不是勻速的． 要點(diǎn)二、開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)行星運(yùn)動(dòng)定律的歷史過(guò)程 要點(diǎn)詮釋： (1)丹麥天文學(xué)家第谷連續(xù)20年對(duì)行星的位置進(jìn)行了精確的測(cè)量，積累了大量的數(shù)據(jù)．到1601年他逝世時(shí)，這些耗盡了他畢生心血獲得的天文資料傳給了他的助手德國(guó)人開(kāi)普勒． (2)開(kāi)普勒通過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的觀察、記錄、思考與計(jì)算，逐漸發(fā)現(xiàn)哥白尼把所有行星運(yùn)動(dòng)都看成是以太陽(yáng)為圓心的勻速圓周運(yùn)動(dòng)似乎簡(jiǎn)單了一些

5、，因?yàn)樗c實(shí)際觀察到的數(shù)據(jù)有著不小的出入． (3)開(kāi)普勒承擔(dān)了準(zhǔn)確地確定行星軌道的任務(wù)，他仔細(xì)研究了第谷對(duì)行星位置的觀測(cè)記錄，經(jīng)過(guò)四年多的刻苦計(jì)算，所得結(jié)果與第谷的觀測(cè)數(shù)據(jù)至少有8′的角度誤差，那么這不容忽視的8′可能就是人們認(rèn)為行星繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所造成的．最后開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)行星運(yùn)行的真實(shí)軌道不是圓，而是橢圓，并于1609年發(fā)表了兩條關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的定律． (4)開(kāi)普勒在發(fā)表了第一定律和第二定律后，進(jìn)一步研究了不同行星的運(yùn)動(dòng)之間的相互關(guān)系，在1619年又發(fā)表了行星運(yùn)動(dòng)的第三條定律． 開(kāi)普勒提出描述行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，使人類的天文學(xué)知識(shí)提高了一大步，他被稱為“創(chuàng)制天空法律者”．

6、要點(diǎn)三、開(kāi)普勒的行星運(yùn)動(dòng)定律 要點(diǎn)詮釋： (1)開(kāi)普勒第一定律(軌道定律) 所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上．不同行星橢圓軌道則是不同的． 開(kāi)普勒第一定律說(shuō)明了行星的運(yùn)動(dòng)軌道是橢圓，太陽(yáng)在此橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，而不是位于橢圓的中心．不同的行星位于不同的橢圓軌道上，而不是位于同一橢圓軌道，再有，不同行星的橢圓軌道一般不在同一平面內(nèi)． (2)開(kāi)普勒第二定律(面積定律) 對(duì)任意一個(gè)行星來(lái)說(shuō)，它與太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積． 如圖所示，行星沿著橢圓軌道運(yùn)行，太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上． 如果時(shí)間間隔相

7、等，即t2－t1＝t4－t3如，那么SA＝SB，由此可見(jiàn)，行星在遠(yuǎn)日點(diǎn)a的速率最小，在近日點(diǎn)b的速率最大． (3)開(kāi)普勒第三定律(周期定律) 所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等．若用a代表橢圓軌道的半長(zhǎng)軸，T代表公轉(zhuǎn)周期，即(其中，比值k是一個(gè)與行星無(wú)關(guān)的常量) 要點(diǎn)四、對(duì)行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理解 要點(diǎn)詮釋： (1)開(kāi)普勒第二定律可以用來(lái)確定行星的運(yùn)行速率．如圖所示，如果時(shí)間間隔相等，即t2－t1＝t4－t3，由開(kāi)普勒第二定律，面積A＝面積B，可見(jiàn)離太陽(yáng)越近，行星在相等時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，即行星的速率就越大． (2)開(kāi)普勒三定

8、律不僅適用于行星，也適用于其他天體，例如對(duì)于木星的所有衛(wèi)星來(lái)說(shuō)，它們的一定相同，但常量k的值跟太陽(yáng)系各行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的k值不同．以后將會(huì)證明，開(kāi)普勒恒量k的值只跟(行星運(yùn)動(dòng)時(shí)所圍繞的)中心天體的質(zhì)量有關(guān)． (3)要注意長(zhǎng)軸是指橢圓中過(guò)焦點(diǎn)與橢圓相交的線段，半長(zhǎng)軸即長(zhǎng)軸的一半，注意它和遠(yuǎn)日點(diǎn)到太陽(yáng)的距離不同． (4)由于大多數(shù)行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道與圓十分接近，因此，在中學(xué)階段的研究可以按圓周運(yùn)動(dòng)處理，這樣開(kāi)普勒三定律就可以這樣理解： ①大多數(shù)行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道十分接近圓，太陽(yáng)處在圓心； ②對(duì)某一行星來(lái)說(shuō)，它繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的速率不變，即行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

9、； ③所有行星軌道半徑的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等，即．如繞同一中心天體運(yùn)動(dòng)的兩顆行星的軌道半徑分別為R1、R2，公轉(zhuǎn)周期分別為T1、T2，則有． 要點(diǎn)五、太陽(yáng)與行星間引力的推導(dǎo) 要點(diǎn)詮釋： (1)假設(shè)地球以太陽(yáng)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，那么太陽(yáng)對(duì)地球的引力就為做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的地球提供向心力．設(shè)地球的質(zhì)量為m，運(yùn)動(dòng)線速度為v，地球到太陽(yáng)的距離為r，太陽(yáng)的質(zhì)量為M．則由勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知 ， ① ． ② 由①②得 ． ③ 又由開(kāi)普勒第三定律 ， ④ 由③④式得

10、 ， ⑤ 即 ． ⑥ 這表明：太陽(yáng)對(duì)不同行星間的引力，跟行星的質(zhì)量成正比，跟行星與太陽(yáng)距離的平方成反比． (2)根據(jù)牛頓第三定律，力的作用足是相互的，且等大反向，因此地球?qū)μ?yáng)的引力F′也應(yīng)與太陽(yáng)的質(zhì)量成正比，且F′＝-F． 即 ． ⑦ (3)比較⑥⑦式不難得出，寫(xiě)成等式，式中G是比例系數(shù)，與太陽(yáng)、行星無(wú)關(guān)． 注意：在中學(xué)階段只能將橢圓軌道近似成圓形軌道來(lái)推導(dǎo)引力公式，但牛頓是在橢圓軌道下推導(dǎo)引力表達(dá)式的． 要點(diǎn)六、月—地檢驗(yàn) 要點(diǎn)詮釋： (1)牛頓的思路：地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)是因?yàn)槭艿教?yáng)的

11、引力，人跳起后又能落回地球是因?yàn)槿耸艿降厍虻囊Γ@些力是否是同一種力?是否遵循相同的規(guī)律?實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，但在當(dāng)時(shí)的條件下很難通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證，這就自然想到了月球． (2)月一地檢驗(yàn)的基本思想：如果重力和星體間的引力是同一性質(zhì)的力，都與距離的二次方成反比關(guān)系，那么月球繞地球做近似圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度就應(yīng)該是地面重力加速度的1/3600，因?yàn)樵滦牡降匦牡木嚯x約為地球半徑的60倍． (3)檢驗(yàn)過(guò)程：牛頓根據(jù)月球的周期和軌道半徑，計(jì)算出月球圍繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度 ． —個(gè)物體在地面的重力加速度為g＝9.8m/s2，若把這個(gè)物體移到月球軌道的高度，根據(jù)

12、開(kāi)普勒第三定律可以導(dǎo)出．因?yàn)樵滦牡降匦牡木嚯x是地球半徑的60倍，． 即其加速度近似等于月球的向心加速度的值． (4)檢驗(yàn)結(jié)果：月球圍繞地球做近似圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度十分接近地面重力加速度的1/3600，這個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)為牛頓發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定律提供了有力的證據(jù)，即地球?qū)Φ孛嫖矬w的引力與天體間的引力，本質(zhì)上是同一性質(zhì)的力，遵循同一規(guī)律． 要點(diǎn)七、萬(wàn)有引力定律 要點(diǎn)詮釋： 1.內(nèi)容 自然界中任何兩個(gè)物體都是相互吸引的，引力的方向沿兩物體的連線，引力的大小F與這兩個(gè)物體質(zhì)量的乘積成正比，與這兩個(gè)物體間距離r的平方成反比。 2.公式 ，其中G為萬(wàn)有引力常量， 3.適用條件

13、 適用于相距很遠(yuǎn)，可以看作質(zhì)點(diǎn)的物體之間的相互作用。質(zhì)量分布均勻的球體可以認(rèn)為質(zhì)量集中于球心，也可以用此公式計(jì)算，其中r為兩球心之間的距離。 4.重力與萬(wàn)有引力的關(guān)系 在地球(質(zhì)量為M)表面上的物體所受的萬(wàn)有引力F可以分解成物體所受的重力mg和隨地球自轉(zhuǎn)而做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，其中，而。 （1）當(dāng)物體在赤道上時(shí) F、mg、三力同向，此時(shí)達(dá)到最大值，重力加速度達(dá)到最小值 （2）當(dāng)物體在兩極的極點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)重力等于萬(wàn)有引力，重力加速度達(dá)到最大值，此最大值為。 （3）因地球自轉(zhuǎn)角速度很小，，所以在一般情況下進(jìn)行計(jì)算時(shí)認(rèn)為。 【典型例題】 類型一、對(duì)開(kāi)普勒定律的考查 例1、 (20

14、15 浙江校級(jí)二模)假設(shè)有一載人宇宙飛船在距地面高度為4200km的赤道上空繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，地球半徑約為6400km，地球同步衛(wèi)星距地面高度為36000km，宇宙飛船和地球同步衛(wèi)星繞地球同向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)兩者相距最近時(shí)，宇宙飛船就向同步衛(wèi)星發(fā)射信號(hào)，然后再由同步衛(wèi)星將信號(hào)發(fā)送到地面接收站，某時(shí)刻二者相距最遠(yuǎn)，從此刻開(kāi)始，在一晝夜的時(shí)間內(nèi)，接收站共接收到信號(hào)的次數(shù)為（ ） A．4次 B．6次 C．7次 D．8次 【答案】C 【思路點(diǎn)撥】當(dāng)它們從距離最遠(yuǎn)到距離最近，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度相差（n=0,1,2,3……） 【解析】根據(jù)開(kāi)普勒第三定律，

15、其中，故，已知地球同步衛(wèi)星的運(yùn)行周期為24h，因而載人宇宙飛船的運(yùn)行周期，由勻速圓周的角速度可分別得，宇宙飛船的角速度為，同步衛(wèi)星的角速度為，若追擊距離為一個(gè)半圓，則所需追擊時(shí)間為，此后若追擊距離變?yōu)橐粋€(gè)圓周，則追擊時(shí)間，依次類推： （n=0,1,2,3……）可得到24h內(nèi)共用時(shí)完成追擊7次 【總結(jié)升華】首先運(yùn)用開(kāi)普勒第三定律求解出同步衛(wèi)星與宇宙飛船的周期之比，再根據(jù)它們之間的角度差計(jì)算出24h以內(nèi)的所有的追擊時(shí)間，最后統(tǒng)計(jì)追擊次數(shù)。 例2、月球環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑約為地球半徑的60倍，運(yùn)行周期約為27天．應(yīng)用開(kāi)普勒定律計(jì)算：在赤道平面內(nèi)離地多高時(shí)，人造地球衛(wèi)星隨地球一起轉(zhuǎn)動(dòng)，就像停留在

16、天空中不動(dòng)一樣?(＝6400 km) 【思路點(diǎn)撥】月球和人造地球衛(wèi)星都環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)，故可用開(kāi)普勒第三定律求解． 【解析】當(dāng)人造地球衛(wèi)星相對(duì)地球不動(dòng)時(shí)，則人造地球衛(wèi)星的周期同地球自轉(zhuǎn)周期相同． 設(shè)人造地球衛(wèi)星軌道半徑為R、周期為T． 根據(jù)題意知月球軌道半徑為60，周期為T0＝27天，則有：． 整理得：． 衛(wèi)星離地高度 衛(wèi)星離地高度＝5.67×6400km＝3.63×104km． 【總結(jié)升華】開(kāi)普勒第三定律，不僅適用于行星繞太陽(yáng)的運(yùn)行，也適用于衛(wèi)星或月球繞地球的運(yùn)行，在使用時(shí)一定要注意公式中是指兩行星(或衛(wèi)星)繞同一中心天體運(yùn)動(dòng)． 舉一反三 【高清課程：

17、行星的運(yùn)動(dòng) 例3】 【變式1】地球赤道上的物體A，近地衛(wèi)星B（軌道半徑等于地球半徑），同步衛(wèi)星C，若分別用rA、rB、rC；TA、TB、TC；vA、vB、vC；分別表示三者離地心距離，周期，線速度，則三者的大小關(guān)系 ， ， ； 【答案】rA=rBTB ， vB>vC>vA 【高清課程：行星的運(yùn)動(dòng) 例1】 【變式2】宇宙飛船圍繞太陽(yáng)在近似圓形的軌道上運(yùn)動(dòng)，若軌道半徑是地球軌道半徑的9倍，則宇宙飛船繞太陽(yáng)運(yùn)行的周期是 （ ） A．3年 B．9年 C．27年 D．81年 【

18、答案】C 類型二、太陽(yáng)與行星間引力的考查 例3、已知太陽(yáng)光從太陽(yáng)射到地球需要500s，地球繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)周期約為3.2×107s，地球的質(zhì)量約為6×1024kg，求太陽(yáng)對(duì)地球的引力為多大?(結(jié)果保留一位有效數(shù)字) 【思路點(diǎn)撥】地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)，由太陽(yáng)對(duì)地球的引力提供向心力。 【解析】地球繞太陽(yáng)做橢圓運(yùn)動(dòng)，由于橢圓非常接近圓軌道，所以可將地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)，需要的向心力由太陽(yáng)對(duì)地球的引力提供，即． 因?yàn)樘?yáng)光從太陽(yáng)射到地球用的時(shí)間為500s，所以太陽(yáng)與地球間的距離R＝ct(c為光速)，所以． 代入數(shù)據(jù)得F＝3×1022N． 【總結(jié)升華】在有的物理問(wèn)題

19、中，所求量不能直接用公式進(jìn)行求解，必須利用等效的方法間接求解，這就要求在等效替換中建立一個(gè)合理的物理模型，利用相應(yīng)的規(guī)律。尋找解題的途徑． 舉一反三 【變式】下列說(shuō)法正確的是( ) A．在探究太陽(yáng)對(duì)行星的引力規(guī)律時(shí)，我們引用了公式，這個(gè)關(guān)系式實(shí)際上是牛頓第二定律，是可以在實(shí)驗(yàn)室中得到驗(yàn)證的 B．在探究太陽(yáng)對(duì)行星的引力規(guī)律時(shí)，我們引用了公式，這個(gè)關(guān)系式實(shí)際上是勻速圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)公式，它是由速度的定義式得來(lái)的 C．在探究太陽(yáng)對(duì)行星的引力規(guī)律時(shí)，我們引用了公式，這個(gè)關(guān)系式是開(kāi)普勒第三定律，是可以在實(shí)驗(yàn)室中得到證明的 D．在探究太陽(yáng)對(duì)行星的引力規(guī)律時(shí)，使用

20、的三個(gè)公式，都是可以在實(shí)驗(yàn)室中得到證明的 【答案】A、B 【解析】開(kāi)普勒的三大定律是總結(jié)行星運(yùn)動(dòng)的觀察結(jié)果而總結(jié)歸納出來(lái)的規(guī)律，每一條都是經(jīng)驗(yàn)定律，都是從觀察行星運(yùn)動(dòng)所取得的資料中總結(jié)出來(lái)的，故開(kāi)普勒的三大定律都是在實(shí)驗(yàn)室無(wú)法驗(yàn)證的規(guī)律． 【總結(jié)升華】物理公式的推導(dǎo)是由已知的公式規(guī)律在滿足一定的條件下推導(dǎo)新的理論方式的一類問(wèn)題，在公式的推導(dǎo)分析中注意公式的成立條件是關(guān)鍵． 類型三、對(duì)萬(wàn)有引力定律的考查 例4、如圖所示，在一個(gè)半徑為R，質(zhì)量為M的均勻球體中，緊貼球的邊緣挖去一個(gè)半徑為的球形空穴后，剩余的陰影部分對(duì)位于球心和空穴中心連線上，與球心相距d的質(zhì)點(diǎn)m的引力

21、是多大？ 【思路點(diǎn)撥】 此題可用補(bǔ)償法，將挖去的部分填補(bǔ)上，變成勻質(zhì)球后，由萬(wàn)有引力公式可求解，再根據(jù)力的合成與分解求剩余部分對(duì)m的引力。 【解析】把整個(gè)球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力F看成是挖去的小球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力和剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力之和，即 填補(bǔ)上空穴的完整球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的引力 挖去的半徑為的小球體的質(zhì)量為，則 挖去球穴后的剩余部分對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)m的引力 【總結(jié)升華】物體不能看作質(zhì)點(diǎn)時(shí)，不能應(yīng)用萬(wàn)有引力公式求解，想辦法建立理想模型后再應(yīng)用公式求解。萬(wàn)有引力遵循力的合成與分解原則。 舉一反三 【變式】如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為M的勻質(zhì)實(shí)心球，半徑為R．如果從球上挖去一個(gè)直徑為R的球，放在

22、相距為d的地方．求下列兩種情況下，兩球之間的引力分別是多大? (1)從球的正中心挖去； (2)從與球面相切處挖去； 并指出在什么條件下，兩種計(jì)算結(jié)果相同? 【解析】根據(jù)勻質(zhì)球的質(zhì)量與其半徑的關(guān)系，兩部分的質(zhì)量分別為 ，． (1)如圖甲所示，根據(jù)萬(wàn)有引力定律，這時(shí)兩球之間的引力為 ． (2)如圖乙所示，在這種情況下，不能直接用萬(wàn)有引力公式計(jì)算．為此，可利用等效割補(bǔ)法，先將M′轉(zhuǎn)化為理想模型，即用同樣的材料將其填補(bǔ)為實(shí)心球M，這時(shí)，兩者之間的引力為 ． 由于填補(bǔ)空心球而增加的引力為 ，

23、 所以，這時(shí)M′與m之間的引力為 ， 當(dāng)d遠(yuǎn)大于R時(shí)，M′可以視為質(zhì)點(diǎn)．這時(shí)，引力變?yōu)? ． 即這時(shí)兩種計(jì)算結(jié)果相同． 【總結(jié)升華】萬(wàn)有引力定律表達(dá)式只適用于計(jì)算質(zhì)點(diǎn)間變力，在高中階段常見(jiàn)的質(zhì)點(diǎn)模型是質(zhì)量分布均勻的球體，因而利用“割補(bǔ)法”構(gòu)成質(zhì)點(diǎn)模型，再利用萬(wàn)有引力定律與力的合成知識(shí)可求“缺失”球間的引力． 例5、（2014 課標(biāo)II高考）假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體。已知地球表面重力加速度在兩極的大小為，在赤道上的大小為；地球自轉(zhuǎn)周期為T，引力常量為G。地球的密度（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【

24、解析】在地球兩極處：；在赤道處：，故，則 【總結(jié)升華】解決此題的關(guān)鍵明確地球表面的物體所受的萬(wàn)有引力與重力的區(qū)別，在地球表面的物體所受的重力隨緯度的不同而不同。在地球兩極所受的重力大，赤道處所受重力小。 例6、宇航員站在一星球表面上某高處，沿水平方向拋出一個(gè)小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t小球落到星球表面，測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L(zhǎng)，若拋出時(shí)的初速度增大為原來(lái)的2倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為．已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬(wàn)有引力常數(shù)為G，求該星球的質(zhì)量M． 【解析】設(shè)拋出點(diǎn)的高度為h，第一次水平位移為x，則 ． ① 同理對(duì)于第二次平拋過(guò)程有 ． ② 由①②解得 ． ③ 設(shè)該行星上重力加速度為g，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得： ． ④ 由萬(wàn)有引力定律與牛頓第二定律得： ． ⑤ 由③④⑤可解得出：． 【總結(jié)升華】本題是平拋與萬(wàn)有引力的綜合應(yīng)用，同學(xué)們一定要找到它們之間的聯(lián)系(中間橋梁)——重力加速度．