2018-2019版高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.1 第1課時 排列與排列數(shù)公式學案 新人教A版選修2-3.doc

第1課時　排列與排列數(shù)公式 學習目標　1.了解排列的概念.2.理解并掌握排列數(shù)公式，能應用排列知識解決簡單的實際問題． 知識點一　排列的定義 從甲、乙、丙三名同學中選出2人參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另1名同學參加下午的活動． 思考　讓你安排這項活動需要分幾步？ 答案　分兩步．第1步確定上午的同學； 第2步確定下午的同學． 梳理　一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列． 知識點二　排列數(shù)及排列數(shù)公式 思考　從1,2,3,4這4個數(shù)字中選出3個能構成多少個無重復數(shù)字的3位數(shù)？ 答案　432＝24(個)． 梳理 排列數(shù)定義 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù) 排列數(shù)表示法 A 排列數(shù)公式 乘積式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 階乘式 A＝ 性質 A＝n！，0?。? 備注 n，m∈N*，m≤n  1．a(chǎn)，b，c與b，a，c是同一個排列．(　　) 2．同一個排列中，同一個元素不能重復出現(xiàn)．(　√　) 3．在一個排列中，若交換兩個元素的位置，則該排列不發(fā)生變化．(　　) 4．從4個不同元素中任取3個元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．(　　) 類型一　排列的概念 例1　判斷下列問題是否為排列問題： (1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)； (2)選2個小組分別去植樹和種菜； (3)選2個小組去種菜； (4)選10人組成一個學習小組； (5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員； (6)某班40名學生在假期相互通信． 考點　排列的概念 題點　排列的判斷 解　(1)中票價只有三種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題． (2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題． (3)(4)不存在順序問題，不屬于排列問題． (5)中每個人的職務不同，例如甲當班長或當學習委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題． (6)A給B寫信與B給A寫信是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題． 所以在上述各題中(2)(5)(6)是排列問題，(1)(3)(4)不是排列問題． 反思與感悟　判斷一個具體問題是否為排列問題的思路 跟蹤訓練1　判斷下列問題是否為排列問題． (1)會場有50個座位，要求選出3個座位有多少種方法？若選出3個座位安排三位客人，又有多少種方法？ (2)從集合M＝{1,2，…，9}中，任取兩個元素作為a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的橢圓方程＋＝1？可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程－＝1? (3)平面上有5個點，其中任意三個點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？可確定多少條射線？ 考點　排列的概念 題點　排列的判斷 解　(1)第一問不是排列問題，第二問是排列問題．“入座”問題同“排隊”問題，與順序有關，故選3個座位安排三位客人是排列問題． (2)第一問不是排列問題，第二問是排列問題． 若方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則必有a>b，a，b的大小關系一定； 在雙曲線－＝1中，不管a>b還是a<b，方程－＝1均表示焦點在x軸上的雙曲線，且是不同的雙曲線，故是排列問題． (3)確定直線不是排列問題，確定射線是排列問題． 類型二　排列的列舉問題 例2　(1)從1,2,3,4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位不同的數(shù)，一共可以組成多少個？ (2)寫出從4個元素a，b，c，d中任取3個元素的所有排列． 考點　排列的概念 題點　列舉所有排列 解　(1)由題意作“樹狀圖”，如下． 故組成的所有兩位數(shù)為12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12個． (2)由題意作“樹狀圖”，如下． 故所有的排列為abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb. 反思與感悟　利用“樹狀圖”法解決簡單排列問題的適用范圍及策略 (1)適用范圍：“樹狀圖”在解決排列元素個數(shù)不多的問題時，是一種比較有效的表示方式． (2)策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個元素為分類標準進行分類，再安排第二個元素，并按此元素分類，依次進行，直到完成一個排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹狀圖寫出排列． 跟蹤訓練2　寫出A，B，C，D四名同學站成一排照相，A不站在兩端的所有可能站法． 考點　排列的概念 題點　列舉所有排列 解　由題意作“樹狀圖”，如下， 故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB. 類型三　排列數(shù)公式及應用 例3　(1)用排列數(shù)表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且，n<55)； (2)計算； (3)求證：A－A＝mA. 考點　排列數(shù)公式 題點　利用排列數(shù)公式計算 (1)解　因為55－n,56－n，…，69－n中的最大數(shù)為69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(個)元素， 所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A. (2)解　 ＝ ＝＝1. (3)證明　方法一　因為A－A ＝－ ＝ ＝ ＝m＝mA， 所以A－A＝mA. 方法二　A表示從n＋1個元素中取出m個元素的排列個數(shù)，其中不含元素a1的有A個． 含有a1的可這樣進行排列： 先排a1，有m種排法，再從另外n個元素中取出m－1個元素排在剩下的m－1個位置上，有A種排法． 故A＝mA＋A， 所以mA＝A－A. 反思與感悟　排列數(shù)公式的形式及選擇方法 排列數(shù)公式有兩種形式，一種是連乘積的形式，另一種是階乘的形式，若要計算含有數(shù)字的排列數(shù)的值，常用連乘積的形式進行計算，而要對含有字母的排列數(shù)的式子進行變形或作有關的論證時，一般用階乘式． 跟蹤訓練3　不等式A<6A的解集為(　　) A．[2,8] B．[2,6] C．(7,12) D．{8} 考點　排列數(shù)公式 題點　解含有排列數(shù)的方程或不等式 答案　D 解析　由A<6A，得<6， 化簡得x2－19x＋84<0， 解得7<x<12，① 又所以2≤x≤8，② 由①②及x∈N*，得x＝8. 1．從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個數(shù)做加、減、乘、除運算，分別計算它們的結果，在這些問題中，有幾種運算可以看作排列問題(　　) A．1 B．3 C．2 D．4 考點　排列的概念 題點　排列的判斷 答案　C 解析　因為加法和乘法滿足交換律，所以選出兩個數(shù)做加法和乘法時，結果與兩數(shù)字位置無關，故不是排列問題，而減法、除法與兩數(shù)字的位置有關，故是排列問題． 2．從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為(　　) A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙，丙乙、丙甲 C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙 考點　排列的概念 題點　列舉所有排列 答案　C 3．(x－3)(x－4)(x－5)…(x－12)(x－13)，x∈N*，x>13可表示為(　　) A．A B．A C．A D．A 考點　排列數(shù)公式 題點　利用排列數(shù)公式計算 答案　B 解析　從(x－3)，(x－4)，…到(x－13)共(x－3)－(x－13)＋1＝11(個)數(shù)，所以根據(jù)排列數(shù)公式知(x－3)(x－4)(x－5)…(x－12)(x－13)＝A. 4．從5本不同的書中選2本送給2名同學，每人1本，不同的送法種數(shù)為(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 考點　排列的應用 題點　無限制條件的排列問題 答案　D 5．解方程A＝140A. 考點　排列數(shù)公式 題點　解含有排列數(shù)的方程或不等式 解　根據(jù)題意，原方程等價于 即 整理得4x2－35x＋69＝0(x≥3，x∈N*)， 解得x＝3. 1．判斷一個問題是否是排列問題的思路 排列的根本特征是每一個排列不僅與選取的元素有關，而且與元素的排列順序有關．這就說，在判斷一個問題是否是排列問題時，可以考慮所取出的元素，任意交換兩個，若結果變化，則是排列問題，否則不是排列問題． 2．關于排列數(shù)的兩個公式 (1)排列數(shù)的第一個公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)適用m已知的排列數(shù)的計算以及排列數(shù)的方程和不等式．在運用時要注意它的特點，從n起連續(xù)寫出m個數(shù)的乘積即可． (2)排列數(shù)的第二個公式A＝用于與排列數(shù)有關的證明、解方程、解不等式等，在具體運用時，應注意先提取公因式再計算，同時還要注意隱含條件“n，m∈N*，m≤n”的運用． 一、選擇題 1．A＝9101112，則m等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 考點　排列數(shù)公式 題點　利用排列數(shù)公式計算 答案　B 2．已知下列問題：①從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別參加數(shù)學、物理興趣小組；②從甲、乙、丙三名同學中選出兩人參加一項活動；③從a，b，c，d中選出3個字母；④從1,2,3,4,5這五個數(shù)字中取出2個數(shù)字組成一個兩位數(shù)．其中是排列問題的有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 考點　排列的概念 題點　排列的判斷 答案　B 解析　由排列的定義知①④是排列問題． 3．與AA不相等的是(　　) A．A B．81A C．10A D．A 考點　排列數(shù)公式 題點　利用排列數(shù)公式證明 答案　B 解析　AA＝10987?。紸＝10A＝A，81A＝9A≠A，故選B. 4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排頭的所有排列種數(shù)為(　　) A．6 B．4 C．8 D．10 考點　排列的概念 題點　列舉所有排列 答案　B 解析　列樹狀圖如下： 丙甲乙乙甲　乙甲丙丙甲 故組成的排列為丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4種． 5．從2,3,5,7四個數(shù)中任選兩個分別相除，則得到的不同結果有(　　) A．6個 B．10個 C．12個 D．16個 考點　排列的應用 題點　無限制條件的排列問題 答案　C 解析　不同結果有A＝43＝12(個)． 6．下列各式中與排列數(shù)A相等的是(　　) A. B．n(n－1)(n－2)…(n－m) C. D．AA 考點　排列數(shù)公式 題點　利用排列數(shù)公式證明 答案　D 解析　A＝，而AA＝n＝， ∴AA＝A. 7．四張卡片上分別標有數(shù)字“2”“0”“1”“1”，則由這四張卡片可組成不同的四位數(shù)的個數(shù)為(　　) A．6 B．9 C．12 D．24 考點　排列的概念 題點　列舉所有排列 答案　B 解析　這四位數(shù)列舉為如下： 1 012,1 021,1 102,1 120,1 201， 1 210,2 011,2 101,2 110，共9個． 二、填空題 8．從a，b，c，d，e五個元素中每次取出三個元素，可組成________個以b為首的不同的排列，它們分別是________________________________________． 考點　排列的概念 題點　列舉所有排列 答案　12　bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed 解析　畫出樹狀圖如下： 可知共12個，它們分別是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed. 9．若集合P＝{x|x＝A，m∈N*}，則集合P中共有________個元素． 考點　排列數(shù)公式 題點　利用排列數(shù)公式計算 答案　3 解析　由題意知，m＝1,2,3,4，由A＝A，故集合P中共有3個元素． 10．滿足不等式>12的n的最小值為________． 考點　排列數(shù)公式 題點　解含有排列數(shù)的方程或不等式 答案　10 解析?。剑?gt;12，得(n－5)(n－6)>12， 解得 n>9或n<2(舍去)．∴最小正整數(shù)n的值為10. 11．2017北京車展期間，某調研機構準備從5人中選3人去調查E1館、E3館、E4館的參觀人數(shù)，不同的安排方法種數(shù)為________． 考點　排列的應用 題點　無限制條件的排列問題 答案　60 解析　由題意可知，問題為從5個元素中選3個元素的排列問題，所以安排方法有543＝60(種)． 12．由1,4,5，x四個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，所有這些四位數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字之和為288，則x＝________. 考點　排列的應用 題點　無限制條件的排列問題 答案　2 解析　當x≠0時，有A＝24(個)四位數(shù)，每個四位數(shù)的數(shù)字之和為1＋4＋5＋x， 故24(1＋4＋5＋x)＝288，解得x＝2； 當x＝0時，每個四位數(shù)的數(shù)字之和為1＋4＋5＝10，而288不能被10整除，即x＝0不符合題意， 綜上可知，x＝2. 三、解答題 13．一條鐵路線原有n個車站，為了適應客運需要，新增加了2個車站，客運車票增加了58種，問原有多少個車站？現(xiàn)有多少車站？ 考點　排列的應用 題點　無限制條件的排列問題 解　由題意可得A－A＝58， 即(n＋2)(n＋1)－n(n－1)＝58， 解得n＝14. 所以原有車站14個，現(xiàn)有車站16個． 四、探究與拓展 14．若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，則S的個位數(shù)字是(　　) A．8 B．5 C．3 D．0 考點　排列數(shù)公式 題點　利用排列數(shù)公式計算 答案　C 解析　1！＝1,2?。?,3?。?,4?。?4,5！＝120，而6?。?5！，7！＝765！，…，100?。?0099…65！，所以從5！開始到100！，個位數(shù)字均為0，所以S的個位數(shù)字為3. 15．京滬高速鐵路自北京南站至上海虹橋站，雙線鐵路全長1 318公里，途經(jīng)北京、天津、河北、山東、安徽、江蘇、上海7個省市，設立包括北京南、天津西、濟南西、南京南、蘇州北、上海虹橋等在內的21個車站，計算鐵路部門要為這21個車站準備多少種不同的火車票？ 考點　排列的應用 題點　無限制條件的排列問題 解　對于兩個火車站A和B，從A到B的火車票與從B到A的火車票不同，因為每張票對應一個起點站和一個終點站．因此，結果應為從21個不同元素中，每次取出2個不同元素的排列數(shù)A＝2120＝420(種)．所以一共需要為這21個車站準備420種不同的火車票．