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1、
高三數(shù)學33個黃金考點總動員
【考點剖析】
1. 最新考試說明:
(1)了解函數(shù)、映射的概念;
(2)理解函數(shù)的三種表示法:解析法、圖象法和列表法;
(3)會求一些簡單函數(shù)的定義域;
(4)分段函數(shù)及其應用:了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應用.
2.命題方向預測:
預計高考對函數(shù)及其表示的考查仍以函數(shù)的表示法、分段函數(shù)、函數(shù)的定義域等基本知識點為主,題型延續(xù)選擇題、填空題的形式,分值為4分到5分.
3.課本結(jié)論總結(jié):
中學數(shù)學的很多領(lǐng)域都涉及定義域,忽視定義域?qū)罄m(xù)的復習帶來困難,由函數(shù)的解析式求函數(shù)的定義域的解題過程可總結(jié)為:考察整合化簡結(jié)論,即先
2、對解析式中的各部位進行必要的考察,得到自變量應滿足的條件,再把上述條件整合成自變量應滿足的不等式(組),解這個不等式(組)得到的解集即為函數(shù)的定義域.
4.名師二級結(jié)論:
形如的函數(shù)的值域的求法:可令或,利用三角換元求解,如果是更復雜的式子,如:,可令,,可令利用三角公式或其他方法解決.
5.課本經(jīng)典習題:
(1)新課標A版第17頁,例1 已知函數(shù),
(1)求函數(shù)的定義域;
(2)求,的值;
(3)當時,求,的值
【經(jīng)典理由】對于函數(shù)定義域的求解給出了總結(jié),也從抽象-具體的給出函數(shù)值的概念及其當自變量取定義域內(nèi)某一值時,函數(shù)值的求法.
(2) 新課標A版第18頁,例2 下列函
3、數(shù)中哪個與函數(shù)相等?
(1);(2);(3);(4).
【經(jīng)典理由】給出了函數(shù)相等的定義,并對如何判斷兩個函數(shù)相等作出了總結(jié).
6.考點交匯展示:
(1)函數(shù)與方程相結(jié)合
例1. 【20xx高考江蘇,13】已知函數(shù),,則方程實根的個數(shù)為
【答案】4
(2)函數(shù)與不等式相結(jié)合
例2【20xx高考北京,理7】如圖,函數(shù)的圖象為折線,則不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
(3)函數(shù)與集合相結(jié)合
例3設全集為R, 函
4、數(shù)的定義域為M, 則為( )
A. [-1,1] B. (-1,1) C. D.
【答案】D
【解析】的定義域為,故,選D.要注意避免出現(xiàn)及求補集時區(qū)間端點的取舍錯誤.
【考點分類】
熱點1 函數(shù)的定義域和值域
1.【20xx高考福建,理14】若函數(shù) ( 且 )的值域是 ,則實數(shù) 的取值范圍是 .
【答案】
【解析】當,故,要使得函數(shù)的值域為,只需()的值域包含于,故,所以,所以,解得,所以實數(shù)的取值范圍是.
2.【20xx山東高考理第3題】函數(shù)的定義域為( )
A. B.
5、C. D.
【答案】
【解析】由已知得即或,解得或,故選.
3. 下列函數(shù)中,與函數(shù)y=定義域相同的函數(shù)為( ?。?
A.y= B.y= C. D.
【答案】D
4. 已知函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意知,則.故選B.
【方法規(guī)律】與定義域有關(guān)的幾類問題
第一類是給出函數(shù)的解析式,這時函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍;
第二類是實際問題或幾何問題,此時除要考慮解析式有意義外,還應考慮使實際問題或幾何問題有意義;
第三類是不給出函數(shù)的解析式,而由的定義域確定函數(shù)的定義
6、域或由的定義域確定函數(shù)的定義域.
第四類是已知函數(shù)的定義域,求參數(shù)范圍問題,常轉(zhuǎn)化為恒成立問題來解決.
【解題技巧】求函數(shù)的定義域的依據(jù)就是要使函數(shù)的解析式有意義的自變量的取值范圍.其求解根據(jù)一般有:(1)分式中,分母不為零;(2)偶次根式中,被開方數(shù)非負;(3)對數(shù)的真數(shù)大于0:(4)實際問題還需要考慮使題目本身有意義.體現(xiàn)考綱中要求了解一些簡單函數(shù)的定義域,來年需要注意一些常見函數(shù):帶有分式,對數(shù),偶次根式等的函數(shù)的定義域的求法
【易錯點睛】求復合函數(shù),的定義域的方法:
①若的定義域為,則解不等式得即可求出的定義域;②若的定義域為,則求出的值域即為的定義域,如第4題,首先根據(jù)條件的
7、定義域為,可令,解得,即的定義域為.
熱點2 函數(shù)的解析式
1. 【20xx高考浙江,理7】存在函數(shù)滿足,對任意都有( )
A. B. C. D.
【答案】D.
2.【20xx江西高考理第3題】已知函數(shù),,若,則( )
A.1 B. 2 C. 3 D. -1
【答案】A
【解析】因為,所以,即,,選A.
3.【20xx高考安徽卷理第6題】 設函數(shù)滿足當時, ,則( )
A. B. C.0 D.
【答案】A
【解析】由題意,
,故選A.
4.【20x
8、x浙江高考理第6題】已知函數(shù)( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得,,解得,所以,由,得,即,故選C.
【解題技巧】(1)配湊法:由已知條件,可將改寫成關(guān)于的表達式,然后以替代,便得的解析式;
(2)待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)),可用待定系數(shù)法;
(3)換元法:已知復合函數(shù)的解析式,可用換元法,此時要注意新元的取值范圍;
(4)方程思想:已知關(guān)于與或的表達式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組,通過解方程組求出.
【易錯點睛】解決函數(shù)解析式問題,必須優(yōu)
9、先考慮函數(shù)的定義域,用換元法解題時,應注意換元前后的等價性,例如第11題,在利用換元法進行整體代換后,由可知,因此必須說明從而保證換元前后的等價性,
熱點3 分段函數(shù)
1. 【20xx高考新課標2,理5】設函數(shù),( )
A.3 B.6 C.9 D.12
【答案】C
2.【20xx高考福建卷第7題】已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的是( )
A. 是偶函數(shù) B. 是增函數(shù) C.是周期函數(shù) D.的值域為
【答案】D
3.【20xx浙江高考理第15題】設函數(shù),若,則實數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【解析】由題意,或,解
10、得,當或,解得.
4.【20xx高考上海理科第題】設若,則的取值范圍為_____________.
【答案】
【解析】由題意,若,則不合題意,因此,此時時,,滿足.
【方法規(guī)律】對于分段函數(shù)結(jié)合復合函數(shù)的求值問題,一定要先求內(nèi)層函數(shù)的值,因為內(nèi)層函數(shù)的函數(shù)值就是外層函數(shù)的自變量的值.另外,要注意自變量的取值對應著哪一段區(qū)間,就使用哪一段解析式,體現(xiàn)考綱中要求了解簡單的分段函數(shù)并能應用,來年需要注意分段函數(shù)的分段區(qū)間及其對應區(qū)間上的解析式,千萬別代錯解析式.
【解題技巧】求分段函數(shù)的值域,關(guān)鍵在于“對號入座”:即看清待求函數(shù)值的自變量所在區(qū)域,再用分段函數(shù)的定義即可解決。求分段函數(shù)解析
11、式主要是指已知函數(shù)在某一區(qū)間上的圖象或解析式,求此函數(shù)在另一區(qū)間上的解析式,常用解法是利用函數(shù)性質(zhì)、待定系數(shù)法及數(shù)形結(jié)合法等.畫分段函數(shù)的圖象要特別注意定義域的限制及關(guān)鍵點(如端點、最值點)的準確性.分段函數(shù)的性質(zhì)主要包括奇偶性、單調(diào)性、對稱性等,它們的判斷方法有定義法、圖象法等.總而言之,“分段函數(shù)分段解決”,其核心思想是分類討論,如第14題,即通過或分類討論,從而求解.
【熱點預測】
1.已知函數(shù),那么的定義域是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知得,所以函數(shù),則有,故函數(shù)的定義域為.所以正確答案為B.
2.已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),且滿足對任
12、意,都有,則的值是( )
A.85 B.82 C.80 D.76
【答案】B
3.已知函數(shù).若,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依題意可得或解得.
4.【湖北省部分重點中學20xx-上學期高三起點考試】已知,,現(xiàn)有下列命題:
①;②;③.其中的所有正確命題的序號是( )
A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②
【答案】A.
5.若函數(shù)的定義域為,則實數(shù)的取值范圍是( )
13、A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由題意知,對于任意,恒成立,則,解得,故選D.
6.已知,,,則 .
【答案】
【解析】令得,;令得,;令得,.
7.函數(shù)(,且)的定義域為,則 .
【答案】
【解析】可得,即,則,知,則,則,解
得.
8.【20xx高考浙江,理10】已知函數(shù),則 ,的最小值是 .
【答案】,.
【解析】,當時,,當且僅當時,等
號成立,當時,,當且僅當時,等號成立,故最小值為.
9. 二次函數(shù)滿足,且,則________.
【答案】
14、
10.湖北省部分重點中學20xx-上學期高三起點考試】以表示值域為R的函數(shù)組成的集合,
表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)組成的集合:對于函數(shù),存在一個正數(shù),使得函數(shù)的值域
包含于區(qū)間。例如,當,時,,?,F(xiàn)有如下命題:
①設函數(shù)的定義域為,則“”的充要條件是“,,”;
②函數(shù)的充要條件是有最大值和最小值;
③若函數(shù),的定義域相同,且,,則
④若函數(shù) (,)有最大值,則.
其中的真命題有__________________.(寫出所有真命題的序號).
【答案】①③④.
【解析】若,則的值域為,于是,對任意的,一定存在,使得,故①正確.取函數(shù),其值域為,于是,存在,使得的值域
15、包含于,但此時沒有最大值和最小值,故②錯誤.
當時,由①可知,對任意的,存在,使得,∴當時,對于函數(shù),如果存在一個正數(shù),使得的值域包含于,那么對于該區(qū)間外的某一個,一定存在一個,使得,即,故③正確.對于,當或時,函數(shù)都沒有最大值.要使得函數(shù)有最大值,只有,此時.
易知,所以存在正數(shù),使得,故④正確.
11.定義在實數(shù)集上的函數(shù),如果存在函數(shù)(為常數(shù)),使得對一切實數(shù)都成立,那么稱為函數(shù)的一個承托函數(shù).給出如下四個結(jié)論:
①對于給定的函數(shù),其承托函數(shù)可能不存在,也可能有無數(shù)個;
②定義域和值域都是的函數(shù)不存在承托函數(shù);
③為函數(shù)的一個承托函數(shù);
④為函數(shù)的一個承托函數(shù).
其中所有
16、正確結(jié)論的序號是___________.
【答案】①③
12.設是的兩個非空子集,如果存在一個從到的函數(shù)滿足:(i);(ii)對任意,當時,恒有.那么稱這兩個集合“保序同構(gòu)”.現(xiàn)給出以下4對集合. ①;②;③;④,其中,“保序同構(gòu)”的集合對的對應的序號是 (寫出所有“保序同構(gòu)”的集合對的對應的序號).
【答案】②③④
【解析】“保序同構(gòu)”的集合是指存在一函數(shù)滿足:(1)S是的定義域,T是值域,(2) 在S上遞增.對于①,若任意,當時, 可能有,不是恒有成立,所以①中的兩個集合不一定是保序同構(gòu),對于②,取符合保序同構(gòu)定義,對于③,取函數(shù)符合保序同構(gòu)定義,對于④,取符合保序同構(gòu)定義,故選②③④.
13.【20xx高考北京,理14】設函數(shù)
①若,則的最小值為 ;
②若恰有2個零點,則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】(1)1,(2)或.
②若函數(shù)與軸有無交點,則函數(shù)與軸有兩個交點,當時與軸有無交點,在與軸有無交點,不合題意;當時,,與軸有兩個交點,和,由于,兩交點橫坐標均滿足;綜上所述的取值范圍或.
14.已知函數(shù),,,其中為常數(shù)且,令函數(shù).
(1)求函數(shù)的表達式,并求其定義域;
(2)當時,求函數(shù)的值域.
【答案】(1),,;(2)