新編人教版高中數(shù)學(xué)選修11：2.1 橢 圓 課時(shí)提升作業(yè)九 2.1.1 含解析

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1、新編人教版精品教學(xué)資料 課時(shí)提升作業(yè)(九) 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 (25分鐘　60分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.a=6,c=1的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是　(　　) A.x236+y235=1 B.y236+x235=1 C.x236+y21=1 D.以上都不對 【解析】選D.由a=6,c=1,所以b2=a2-c2=35, 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),方程為x236+y235=1; 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),方程為y236+x235=1. 2.已知F1,F2是定點(diǎn),|F1F2|=8,動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=8,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡 是　(　　) A.橢圓

2、B.直線 C.圓 D.線段 【解析】選D.因?yàn)閨MF1|+|MF2|=8=|F1F2|, 所以點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2. 3.(2015·漳州高二檢測)如果方程x2a2+y2a+6=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　(　　) A.a>3 B.a<-2 C.a>3或a<-2 D.a>3或-6a+6,a+6>0,即(a+2)(a-3)>0,a>-6. ?a>3或-60導(dǎo)致錯(cuò)誤. 4.已知橢圓x225+y29=1上的點(diǎn)M到該橢圓一個(gè)焦

3、點(diǎn)F的距離為2,N是MF的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),那么線段ON的長是　(　　) A.2 B.4 C.8 D.32 【解題指南】借助三角形中位線的性質(zhì)求解. 【解析】選B.設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為E,如圖, 則|MF|+|ME|=10, 所以|ME|=8. 又ON為△MEF的中位線, 所以|ON|=12|ME|=4. 5.(2015·荊州高二檢測)已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(-2,0),F2(2,0),P為橢圓上的一點(diǎn),且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項(xiàng).該橢圓的方程是　(　　) A.x212+y264=1 B.x216+y212=1 C.x24+y216

4、=1 D.x24+y212=1 【解析】選B.因?yàn)閨PF1|+|PF2|=2|F1F2|=2×4=8, 所以2a=8,所以a=4, 所以b2=a2-c2=16-4=12, 所以橢圓方程是x216+y212=1. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.已知a=4,b=3,橢圓焦點(diǎn)在x軸上,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　　. 【解析】由題意可知,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216+y29=1. 答案:x216+y29=1 7.(2015·廣東高考改編)已知橢圓x225+y2m2=1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(-4,0),則m=　　　　. 【解題指南】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì),根據(jù)焦

5、點(diǎn)在x軸上,判斷出m2<25,進(jìn)而根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo),a2的值及m>0求得m. 【解析】由題意得:m2=25-42=9, 因?yàn)閙>0,所以m=3. 答案:3 8.已知A(0,-1),B(0,1)兩點(diǎn),△ABC的周長為6,則△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程是　　　　　. 【解析】因?yàn)?c=|AB|=2,所以c=1, 所以|CA|+|CB|=6-2=4=2a, 所以頂點(diǎn)C的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的橢圓(A,B,C不共線). 因此,頂點(diǎn)C的軌跡方程為y24+x23=1(y≠±2). 答案:y24+x23=1(y≠±2) 【誤區(qū)警示】本題在求解時(shí),常因?yàn)楹雎訟,B,C不共線導(dǎo)致增解. 三、解答

6、題(每小題10分,共20分) 9.(2015·臨沂高二檢測)設(shè)P是橢圓x225+y2754=1上一點(diǎn),F1,F2是橢圓的焦點(diǎn),若 ∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積. 【解析】由橢圓方程知,a2=25,b2=754, 所以c2=254,所以c=52,2c=5. 在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°, 即25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.?、? 由橢圓的定義得10=|PF1|+|PF2|, 即100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.　② ②-①,得3|PF1|·|P

7、F2|=75, 所以|PF1|·|PF2|=25, 所以S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|·sin60°=2534. 10.已知?jiǎng)訄AM過定點(diǎn)A(-3,0),并且內(nèi)切于定圓B:(x-3)2+y2=64.求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程. 【解析】設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r, 則|MA|=r,|MB|=8-r, 所以|MA|+|MB|=8,且8>|AB|=6, 所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓,且焦點(diǎn)分別是A(-3,0),B(3,0),且2a=8, 所以a=4,c=3, 所以b2=a2-c2=16-9=7. 所求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是x216+y27=1. (20分鐘　40分) 一、選擇題(每

8、小題5分,共10分) 1.(2015·重慶高二檢測)設(shè)F1,F2是橢圓x29+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上的點(diǎn),且|PF1|∶|PF2|=2∶1,則△PF1F2的面積等于　(　　) A.5 B.4 C.3 D.1 【解析】選B.由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得a=3,b=2,c=5, 所以|PF1|+|PF2|=6. 又|PF1|∶|PF2|=2∶1, 所以|PF1|=4,|PF2|=2, 所以△F1PF2為直角三角形, 所以S△PF1F2=12×2×4=4. 2.已知橢圓x216+y29=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓上.若P,F1,F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)

9、頂點(diǎn),則點(diǎn)P到x軸的距離為　(　　) A.95 B.3 C.977 D.94 【解析】選D.由題意,a2=16,b2=9,所以c2=7,c=7. 因?yàn)椤鱌F1F2為直角三角形.且b=3>7=c. 所以F1或F2為直角三角形的直角頂點(diǎn), 所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為±7, 設(shè)P(±7,|y|),把x=±7代入橢圓方程,知716+y29=1,所以y2=8116,所以|y|=94. 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.(2015·山師附中高二檢測)已知方程x2m-1+y22-m=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則m的取值范圍是　　　　　. 【解題指南】解答本題應(yīng)注意,方程表示橢圓

10、,分母應(yīng)取正值,焦點(diǎn)在y軸上,含y2項(xiàng)的分母較大,二者缺一不可. 【解析】由題意得m-1>0,2-m>0,2-m>m-1. 即m>1,m<2,m<32. 所以1

11、0=5,c=12×8=4, 所以b2=a2-c2=25-16=9.又因?yàn)辄c(diǎn)A,B,C不共線, 所以點(diǎn)C的軌跡方程為x225+y29=1(y≠0). 答案:x225+y29=1(y≠0) 【誤區(qū)警示】本題解答常因忽略了隱含條件——點(diǎn)A,B,C不共線導(dǎo)致忘記對x或y加以限制. 三、解答題(每小題10分,共20分) 5.(2015·安陽高二檢測)已知點(diǎn)P(6,8)是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點(diǎn),F1(-c,0),F2(c,0)為橢圓的兩焦點(diǎn),若PF1→·PF2→=0.試求 (1)橢圓的方程. (2)sin∠PF1F2的值. 【解析】(1)因?yàn)镻F1→·PF2→=0

12、, 所以-(c+6)(c-6)+64=0,所以c=10, 所以F1(-10,0),F2(10,0), 所以2a=|PF1|+|PF2| =(6+10)2+82+(6-10)2+82=125, 所以a=65,b2=80. 所以橢圓方程為x2180+y280=1. (2)因?yàn)镻F1⊥PF2, 所以S△PF1F2=12|PF1|·|PF2|=12|F1F2|·yP=80,所以|PF1|·|PF2|=160, 又|PF1|+|PF2|=125,且點(diǎn)P(6,8)在第一象限內(nèi), 所以|PF2|=45, 所以sin∠PF1F2=|PF2||F1F2|=4520=55. 6.(2015

13、·東莞高二檢測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對稱,P是動(dòng)點(diǎn),且直線AP與BP的斜率之積等于-13. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程. (2)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N,問:是否存在點(diǎn)P,使得△PAB與△PMN的面積相等?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對稱, 所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,-1). 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y), 由題意得y-1x+1·y+1x-1=-13, 化簡得x2+3y2=4(x≠±1). 故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2+3y2=4(x≠±1). (2)方法一:設(shè)點(diǎn)

14、P的坐標(biāo)為(x0,y0),點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(3,yM),(3,yN), 則直線AP的方程為y-1=y0-1x0+1(x+1), 直線BP的方程為y+1=y0+1x0-1(x-1), 令x=3得yM=4y0+x0-3x0+1,yN=2y0-x0+3x0-1. 于是△PMN的面積 S△PMN=12|yM-yN|(3-x0)=|x0+y0|(3-x0)2|x02-1|, 又直線AB的方程為x+y=0,|AB|=22, 點(diǎn)P到直線AB的距離d=|x0+y0|2. 于是△PAB的面積S△PAB=12|AB|·d=|x0+y0|, 當(dāng)S△PAB=S△PMN時(shí),得|x0+y0|=|x0

15、+y0|(3-x0)2|x02-1|, 又|x0+y0|≠0, 所以(3-x0)2=|x02-1|,解得x0=53. 因?yàn)閤02+3y02=4,所以y0=±339. 故存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為53,±339. 方法二:若存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等, 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0), 則12|PA|·|PB|sin∠APB=12|PM|·|PN|sin∠MPN. 因?yàn)閟in∠APB=sin∠MPN, 所以|PA||PM|=|PN||PB|, 所以|x0+1||3-x0|=|3-x0||x0-1|, 即(3-x0)2=|x02-1

16、|,解得x0=53. 因?yàn)閤02+3y02=4,所以y0=±339, 故存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為53,±339. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AB=2,AC=22,曲線E過C點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在E上運(yùn)動(dòng),且保持|PA|+|PB|的值不變,求曲線E的方程. 【解析】如圖所示,以AB所在直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立直角坐標(biāo)系. 在Rt△ABC中, BC=AC2+AB2=322, 因?yàn)閨PA|+|PB|=|CA|+|CB|=22+322=22. 又|PA|+|PB|>|AB|, 所以由橢圓定義知,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E為橢圓,a=2,c=1,b=1. 所以所求的軌跡方程為x22+y2=1. 關(guān)閉Word文檔返回原板塊