新版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專(zhuān)題4.1 立體幾何 全國(guó)高考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)大串講

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1、 1

2、 1 【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 【考點(diǎn)聚焦】 對(duì)知識(shí)的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個(gè)層次（在下表中分別用A、B、C表示）． 內(nèi) 容 要 求 A B C 空間幾何體 柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體　　 √ 柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積　　 √ 點(diǎn)、線(xiàn)、面 之間的位置關(guān)系 平面及其基本性質(zhì)　　 √ 直線(xiàn)與平面

3、平行、垂直的判定及性質(zhì)　　 √ 兩平面平行、垂直的判定及性質(zhì)　　 √ 一.空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖及表面積與體積 1.【原題】（必修2第15頁(yè)練習(xí)第4題）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，想象它的幾何結(jié)構(gòu)特征， 并說(shuō)出它的名稱(chēng)． 俯視圖 【原題解讀】（1）知識(shí)上；需要明確三視圖的原則即；主俯長(zhǎng)對(duì)正，主側(cè)高對(duì)齊，俯側(cè)寬相等。 （2）思路方法上；需要經(jīng)歷由三視圖對(duì)原幾何體的直觀想象，操作確認(rèn)（由三視圖畫(huà)出直觀圖），思辨論證（由所畫(huà)的直觀圖，再看是否能獲得對(duì)應(yīng)的三視圖）。 （3）考察空間想象能力及推理論證能力。 變式.【20xx湖北高考】 在如圖所示的空間直

4、角坐標(biāo)系中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），給出編號(hào)①、②、③、④的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（ ） A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和② 【答案】D 【解析】設(shè)， 在坐標(biāo)系中標(biāo)出已知的四個(gè)點(diǎn)， 根據(jù)三視圖的畫(huà)圖規(guī)則判斷三棱錐的正視圖為④與俯視圖為②，故選D. 2. 【原題】（必修2第28頁(yè)習(xí)題1.3第3題） 如圖將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三 個(gè)面的對(duì)角線(xiàn)截出一個(gè)棱錐，求棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比。 【原題解

5、讀】本題以最為熟悉的幾何體長(zhǎng)方體為背景，進(jìn)行截取并求體積。可采用 分解的思想，即求出長(zhǎng)方體和三棱錐的體積，而剩下體積可減出。從而 求出體積比。體現(xiàn)了基本運(yùn)算能力、空間想象能力和分解與組合的思想。 變式.【20xx高考新課標(biāo)2】一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為( ) A． B． C． D． 【答案】D 3.【原題】（必修2第29習(xí)題1.3 B組1）如圖是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖，是根據(jù)獎(jiǎng)杯的三視圖計(jì)算它的表面積和體積（尺寸如圖，單位：cm，π取3.14

6、，結(jié)果分別精確到1cm2，1cm3，可用計(jì)算器）。 【解析】由三視圖畫(huà)出獎(jiǎng)杯的草圖如圖可知， 可知球的直徑為4cm，則球的半徑R為2cm， 所以球的表面積和體積分別為： S球=4π =4π?22=16π（），V球=43πR3=43π?23=323π（）． 而四棱柱（長(zhǎng)方體）的長(zhǎng)為8cm，寬為4cm，高為20cm， 所以四棱柱（長(zhǎng)方體）的表面積和體積分別為： S四棱柱=（8×4+4×20+8×20）×2=272×2=544，V四棱柱=8×4×20=640。 該四棱臺(tái)的高為2cm，上底面為一個(gè)邊長(zhǎng)為12cm的正方形，下底面為邊長(zhǎng)為20cm的正方形．四棱臺(tái)的表面積等于四棱臺(tái)的

7、四個(gè)側(cè)面積與上、下底面面積的總和．所以關(guān)鍵的是求出四棱臺(tái)四個(gè)側(cè)面的面積，我們先求出四棱臺(tái)ABCD面上的斜高，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，AO垂直底面于點(diǎn)O，連接OE，已知AO=2cm，則AE為四棱臺(tái)ABCD面上的斜高：∴AE=20-1222+22=25cm，所以四棱臺(tái)的表面積和體積分別為： 【原題解讀】：本題在考察三視圖的同時(shí)，進(jìn)而要求計(jì)算常見(jiàn)幾何體的體積和表面積，而題中幾何體由常見(jiàn)幾何體組合而成，可采用分解的思想，化為基本幾何體體積和表面積的和來(lái)計(jì)算。注意算表面積時(shí)，幾何體接觸部分需減去。 變式.【20xx高考課標(biāo)1】圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖

8、中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16 + 20，則r=（ ） A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】B 4. 【原題】（必修2第37復(fù)習(xí)參考題B組2）一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是80 cm、60 cm、55cm的水槽中有水200000.線(xiàn)放入一個(gè)直徑為50 cm 的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否會(huì)從水槽中流出？ 【解析】水槽的容積V=80×60×55=264000(cm3)， 木球的體積，， ∴水不會(huì)從水槽中流出． 【原題解讀】本題以物理中漂浮

9、現(xiàn)象為背景，需要我們分析出利用體積，即水槽中水的體積加球體水中部 分的體積之和與長(zhǎng)方體體積比較，來(lái)解答。體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模能力和應(yīng)用意識(shí)與運(yùn)算能力。 同時(shí)可延伸拓展 為球體與多面體內(nèi)接域外切問(wèn)題. 變式.【20xx高考課標(biāo)2】已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB=900,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為( ) A．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C 二.空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系 1.【原題】（必修2第47頁(yè)例題3）　如圖，已知正方體

10、ABCD—A′B′C′D′. (1)哪些棱所在直線(xiàn)與直線(xiàn)BA′是異面直線(xiàn)？ (2)直線(xiàn)BA′和CC′的夾角是多少？ (3)哪些棱所在的直線(xiàn)與直線(xiàn)AA′垂直？ 【解析】(1) 由 異面直線(xiàn)的定義可知， 棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直線(xiàn)分別與直線(xiàn)BA′是異面直線(xiàn)． (2) 由BB′∥CC′可知，∠B′BA′為異面直線(xiàn)BA′與CC′的夾角，∠B′BA′＝45°， 所以直線(xiàn)BA′和CC′的夾角為45°. (3) 直線(xiàn)AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分別與直線(xiàn)AA′垂直． 【原題解讀】 （1）知識(shí)上；需要明確異面直線(xiàn)所成角的定

11、義。 （2）思路方法上；異面直線(xiàn)所成角問(wèn)題主要分三步；“找”、“證”、“算”，即；先要通過(guò)對(duì)空間幾何環(huán)境的觀察發(fā)現(xiàn)異面直線(xiàn)所成的角（對(duì)應(yīng)的平面角），然后回到定義進(jìn)行證明，最后進(jìn)行角的計(jì)算（一般放到三角形中）。 （3）考察空間想象能力及推理論證和計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想。 變式. 【20xx高考四川】如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線(xiàn)段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)。設(shè)異面直線(xiàn)EM與AF所成的角為，則的最大值為 . 【答案】 【解析】 如圖建立空間直角坐標(biāo)系；設(shè) ， 則， 2.【原題】（必修2第49頁(yè)例題4）

12、下列命題中正確的個(gè)數(shù)是 (　　) ①若直線(xiàn)l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α； ②若直線(xiàn)l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都平行； ③如果兩條平行直線(xiàn)中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行； ④若直線(xiàn)l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都沒(méi)有公共點(diǎn)． A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】 如圖借助長(zhǎng)方體模型來(lái)看命題是否正確． 命題①不正確，相交時(shí)也符合； 命題②不正確，如右圖中，A′B與平面DCC′D′平行， 但它與CD不平行；命題③不正確，另一條直線(xiàn)有可能 在平面內(nèi)，如AB∥CD，AB與平

13、面DCC′D′平行，但直線(xiàn)CD在平面DCC′D′內(nèi)； 命題④正確，l與平面α平行，則l與平面α無(wú)公共點(diǎn)，l與平面α內(nèi)所有直線(xiàn)都 沒(méi)有公共點(diǎn)． 【原題解讀】 （1）知識(shí)上：線(xiàn)與面平行的判定定理； （2）思路方法上；通過(guò)對(duì)判定定理中關(guān)鍵條件的辨析，（如“無(wú)數(shù)”與“任意”）加深對(duì)判定定理的理解。在命題真假判定中注意運(yùn)用幾何模型，假的可舉出反例。 （3）考察邏輯推理能力，空間想象能力和建模思想。 變式.【20xx高考廣東】若空間中四條直線(xiàn)兩兩不同的直線(xiàn)...，滿(mǎn)足，，，則下列結(jié)論一定正確的是( ) A. B. C. .既不平行也不垂直 D..的位

14、置關(guān)系不確定 【答案】D 三.直線(xiàn)、平面平行的判斷及其性質(zhì) 1.【原題】（必修2第59頁(yè)例題3）如圖所示的一塊木料中，棱BC平行于面A′C′. (1)要經(jīng)過(guò)面A′C′內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開(kāi)，應(yīng)怎樣畫(huà)線(xiàn)？ (2)所畫(huà)的線(xiàn)與平面AC是什么位置關(guān)系？ 【解析】 (1)如圖，在平面A′C′內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)EF， 使EF∥B′C′，并分別交棱A′B′，C′D′于點(diǎn)E，F(xiàn). 連接BE，CF. 則EF、BE、CF就是應(yīng)畫(huà)的線(xiàn)． 【原題解讀】 （1）知識(shí)上：線(xiàn)與面平行的判定定理； （2）思路方法上；通過(guò)題目中的條件和幾何環(huán)境，利用線(xiàn)面平行的判定定理（平面外的

15、一條直線(xiàn)只要和平面內(nèi)的任一條直線(xiàn)平行，則就可以得到這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行）。 （3）考察邏輯推理能力，空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想。 變式.【20xx新課標(biāo)2】 如圖,長(zhǎng)方體中 AB=16,BC=10,,點(diǎn)E,F分別在 上,過(guò)點(diǎn)E,F的平面與此長(zhǎng)方體的面相交,交線(xiàn)圍成一個(gè)正方形. （I）在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形（不必說(shuō)明畫(huà)法與理由）； （II）求平面把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值. 【答案】（I）見(jiàn)解析（II） 或 【解析】（I）利用平面與平面平行的性質(zhì)，可在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形；交線(xiàn) 圍成的正方形EFGH如圖所示； （Ⅱ）作EM⊥AB，垂足為M，則AM=A1E=4，EB1=1

16、2， EM=AA1=8．因?yàn)镋FGH為正方形，所以EH=EF=BC=10， 于是,AH=10，HB=6． 因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面α分成兩個(gè)高為10的直棱柱，所以其體積的比值為 四.直線(xiàn)、平面垂直的判定和性質(zhì) 1.【原題】（必修2第66頁(yè)例題2）在正方體ABCD-A1B1C1D1中.求直線(xiàn)A1B和平面A1B1CD所成的角. 【原題解讀】（1）知識(shí)上；需要明確直線(xiàn)與平面所成角的定義。 （2）思路方法上；解決直線(xiàn)與平面所成角問(wèn)題主要分三步；“找”、“證”、“算”，即；先要通過(guò)定義找垂線(xiàn)，看射影（轉(zhuǎn)化為斜線(xiàn)與射影所成的平面角），然后回到定義進(jìn)行證明，最后進(jìn)行角的計(jì)算（一般放到三角形中）。

17、 （3）考察空間想象能力及推理論證和計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想。 變式1.【20xx高考湖南】（本小題滿(mǎn)分12分）如圖4，直三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，分別是的中點(diǎn)。 （I）證明：平面平面； （II）若直線(xiàn)與平面所成的角為， 求三棱錐的體積。 【答案】（I）略；(II) . 變式2. 【20xx高考新課標(biāo)2】如圖，長(zhǎng)方體中,，，，點(diǎn)，分別在，上，．過(guò)點(diǎn)，的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交線(xiàn)圍成一個(gè)正方形． （Ⅰ）在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形（不必說(shuō)出畫(huà)法和理由）； （Ⅱ）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析 （Ⅱ）． 源: 2.【原題】（必修2第69頁(yè)例題3

18、）如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)， 求證：平面PAC⊥平面PBC. 【原題解讀】 （1）知識(shí)上：線(xiàn)與面平行的判定定理； （2）思路方法上；通過(guò)題目中的條件和幾何環(huán)境，利用線(xiàn)面平行的判定定理（平面外的一條直線(xiàn)只要和平面內(nèi)的任一條直線(xiàn)平行，則就可以得到這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行）。 （3）考察邏輯推理能力，空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想。 變式1. 【20xx江蘇高考】如圖在三棱錐中，分別為棱的中點(diǎn)，已知， 求證（1）直線(xiàn)平面； （2）平面平面. 【答案】（I）略；(II)見(jiàn)解析 變式2．【20xx高考新課標(biāo)1】如圖，，

19、四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°， E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD， DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. （Ⅰ）證明：平面AEC⊥平面AFC； （Ⅱ）求直線(xiàn)AE與直線(xiàn)CF所成角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ） 【解析】 在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=， ∴，∴EG⊥FG， ∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC， ∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. （Ⅱ）如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S， y軸正方向，為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz， 由（Ⅰ）可得A（0

20、，－，0），E(1,0, )，F(xiàn)（－1,0，）， C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，） 故.，所以直線(xiàn)AE與CF所成的角的余弦值為. 3.【原題】（必修2第79頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組1題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中， (1)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，將分別沿DE， DF折起， 使A，C兩點(diǎn)重合與，求證：. (2) 當(dāng)時(shí)，求三棱錐體積. 【原題解讀】 （1）知識(shí)上：線(xiàn)與面垂直的判定定理、體積運(yùn)算及折疊問(wèn)題； （2）思路方法上；通過(guò)平面圖形的折疊，構(gòu)造幾何體，再提出問(wèn)題。需注意圖形折疊中幾何性質(zhì)的變與不變（隱含條件的挖掘），然后利用線(xiàn)面垂直的判定

21、定理（平面外的一條直線(xiàn)與平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)垂直，則該直線(xiàn)垂直與此平面。即由線(xiàn)與線(xiàn)垂直推出線(xiàn)與面垂直）。體積計(jì)算關(guān)鍵是底面和高的認(rèn)定。 （3）考察邏輯推理能力，空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想及運(yùn)算能力。 變式1.【20xx高考陜西】如圖1，在直角梯形中，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，將沿折起到圖2中的位置，得到四棱錐. (I)證明：平面； (II)當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐的體積為，求的值. 【答案】(I) 證明略，詳見(jiàn)解析；(II) . 【解析】(I)在圖1中，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，即在圖2中，， 從而平面 又，所以平面. 變式2.【20xx福建高考】在平行四邊形中，，.將沿折起，使得平面

22、平面，如圖. （1）求證： ； （2）若為中點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值. 【答案】(1)見(jiàn)解析; (2) 【解析】：(1)因?yàn)槠矫?平面平面平面 所以平面又平面所以. 即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為. 【感受高考】 1. 【20xx高考新課標(biāo)1卷】如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】 試題分析： 該幾何體直觀圖如圖所示： 是一個(gè)球被切掉左上角的,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以它的表面積是的球面面積和三個(gè)扇形面

23、積之和 故選A． 2. 【20xx高考新課標(biāo)1卷】平面過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,則m、n所成角的正弦值為( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】 考點(diǎn)：平面的截面問(wèn)題,面面平行的性質(zhì)定理,異面直線(xiàn)所成的角. 3.【20xx高考浙江理數(shù)】已知互相垂直的平面交于直線(xiàn)l.若直線(xiàn)m，n滿(mǎn)足 則（ ） A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n

24、 【答案】C 【解析】 試題分析：由題意知，．故選C． 4. 【20xx高考新課標(biāo)3理數(shù)】在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個(gè)體積為的球，若，，，，則的最大值是（ ） （A）4π （B） （C）6π （D） 【答案】B 【解析】 5.【20xx高考新課標(biāo)2理數(shù)】 是兩個(gè)平面，是兩條直線(xiàn)，有下列四個(gè)命題： （1）如果，那么. （2）如果，那么. （3）如果，那么. （4）如果，那么與所成的角和與所成的角相等. 其中正確的命題有 ． (填寫(xiě)所有正確命題的編號(hào)） 【答案】②③④ 【解析】

25、試題分析：對(duì)于①，，則的位置關(guān)系無(wú)法確定，故錯(cuò)誤；對(duì)于②,因?yàn)?，所以過(guò)直線(xiàn)作平面與平面相交于直線(xiàn)，則，因?yàn)?，故②正確；對(duì)于③，由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可知正確；對(duì)于④，由線(xiàn)面所成角的定義和等角定理可知其正確，故正確的有②③④. 6.【20xx高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿(mǎn)分為12分）如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD, ,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是． （I）證明：平面ABEF平面EFDC； （II）求二面角E-BC-A的余弦值． 【答案】（I）見(jiàn)解析（II） 【解析】 試題解析：（I）由已知可得,,所以平面． 又平面,

26、故平面平面． （II）過(guò)作,垂足為,由（I）知平面． 以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向,為單位長(zhǎng)度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 由（I）知為二面角的平面角,故,則,,可得,,,． 由已知,,所以平面． 又平面平面,故,． 由,可得平面,所以為二面角的平面角, ．從而可得． 所以,,,． 設(shè)是平面的法向量,則 ,即, 所以可?。? 設(shè)是平面的法向量,則, 同理可取．則． 故二面角的余弦值為． 7.【20xx高考山東理數(shù)】在如圖所示的圓臺(tái)中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O的直徑，F(xiàn)B是圓臺(tái)的一條母線(xiàn). （I）已知G,H分別為EC，F(xiàn)B的中點(diǎn)，求證：GH∥平面ABC； （II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ） 【解析】 試題解析： 由題意得，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)， 所以 可得 故. 設(shè)是平面的一個(gè)法向量. 由 可得 可得平面的一個(gè)法向量 因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量 所以. 所以二面角的余弦值為. 從而，可得 所以二面角的余弦值為. 歡迎訪問(wèn)“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org