高考數(shù)學復習：第六章 ：第三節(jié)二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題突破熱點題型

△+△2019年數(shù)學高考教學資料△+△ 第三節(jié)　二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 考點一 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 　 [例1]　(2013·山東高考)在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，則|OM|的最小值是________． [自主解答]　如圖所示陰影部分為可行域，數(shù)形結合可知，原點O到直線x＋y－2＝0的垂線長是|OM|的最小值，故|OM|min＝＝. [答案]　 【互動探究】 在本例條件下，求直線OM的斜率的最小值． 解：由例題圖可知，直線OM的斜率的取值范圍為[0，＋∞)，故直線OM的斜率的最小值為0.　　　　 【方法規(guī)律】 確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法 (1)確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法是：“直線定界，特殊點定域”，即先作直線，再取特殊點并代入不等式組．若滿足不等式組，則不等式(組)表示的平面區(qū)域為直線與特殊點同側(cè)的那部分區(qū)域；否則就對應與特殊點異側(cè)的平面區(qū)域． (2)當不等式中帶等號時，邊界為實線，不帶等號時，邊界應畫為虛線，特殊點常取原點． 若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線y＝kx＋分為面積相等的兩部分，求k的值． 解：由圖可知，線性規(guī)劃區(qū)域為△ABC邊界及內(nèi)部． y＝kx＋恰過A，[來源:] y＝kx＋將區(qū)域平均分成面積相等的兩部分， ∴直線y＝kx＋一定過線段BC的中點D，易求C(0,4)，B(1,1)， ∴線段BC的中點D的坐標為. 因此＝k×＋，k＝. 高頻考點 考點二 線性目標函數(shù)的最值問題　　 1．線性目標函數(shù)的最值問題是每年高考的熱點，屬必考內(nèi)容，題型多為選擇題和填空題，難度適中，屬中檔題． 2．高考對線性目標函數(shù)最值問題的考查有以下兩個命題角度： (1)求線性目標函數(shù)的最值； (2)已知線性目標函數(shù)的最值求參數(shù)． [例2]　(1)(2013·天津高考)設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝y(tǒng)－2x的最小值為(　　) A．－7 B．－4 C．1 D．2 (2)(2013·浙江高考)設z＝kx＋y，其中實數(shù)x，y滿足若z的最大值為12，則實數(shù)k＝________. [自主解答]　(1)由x，y滿足的約束條件可畫出所表示的平面區(qū)域為如圖所示的三角形ABC，作出直線y＝2x，經(jīng)過平移得目標函數(shù)z＝y(tǒng)－2x在點B(5,3)處取得最小值，即zmin＝3－10＝－7. (2)畫出可行域如圖所示． 其中A(2,3)，B(2,0)，C(4,4)． 當k＝0時，顯然不符合題意； 當k>0時，最大值在點C處取得，此時12＝4k＋4，即k＝2；[來源:] 當k<0時，最大值在點A處或C處取得，此時12＝2k＋3或12＝4k＋4，即k＝>0(舍)或k＝2>0(舍)．故k＝2. [答案]　(1)A　(2)2 線性目標函數(shù)最值問題的常見類型及解題策略[來源:學§科§網(wǎng)] (1)求線性目標函數(shù)的最值．線性目標函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得，所以對于一般的線性規(guī)劃問題，我們可以直接解出可行域的頂點，然后將坐標代入目標函數(shù)求出相應的數(shù)值，從而確定目標函數(shù)的最值． (2)由目標函數(shù)的最值求參數(shù)．求解線性規(guī)劃中含參問題的基本方法有兩種：一是把參數(shù)當成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標函數(shù)確定最值，通過構造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍；二是先分離含有參數(shù)的式子，通過觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)．[來源:] 1．(2013·新課標全國卷Ⅱ)已知a>0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝(　　) A. B. C．1 D．2 解析：選B　由約束條件畫出可行域(如圖所示的△ABC)． 由得A(1，－2a)， 當直線2x＋y－z＝0過點A時，z＝2x＋y取得最小值，所以1＝2×1－2a，解得a＝. 2．已知變量x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值是________． 解析：如圖所示，畫出約束條件表示的平面區(qū)域(四邊形ABCD)，作出目標函數(shù)z＝x＋y的基本直線l0：x＋y＝0，通過平移可知z＝x＋y在點C處取最大值，而點C的坐標為(1,4)，故zmax＝5. 答案：5 考點三 線性規(guī)劃的實際應用 　 　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　 [例3]　(2013·湖北高考)某旅行社租用A、B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛．則租金最少為(　　) A．31 200元 B．36 000元 C．36 800元 D．38 400元 [自主解答]　設租A型車x輛，B型車y輛，租金為z， 則 畫出可行域(圖中陰影區(qū)域中的整數(shù)點)， 則目標函數(shù)z＝1 600x＋2 400y在點N(5,12)處取得最小值36 800元． [答案]　C 【方法規(guī)律】 求解線性規(guī)劃應用題的注意點 (1)注意結合實際問題的實際意義，判斷所設未知數(shù)x，y的取值范圍，特別注意分析x，y是否是整數(shù)、是否是非負數(shù)等． (2)對于有實際背景的線性規(guī)劃問題，可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個凸多邊形區(qū)域，此時變動直線的最佳位置一般通過這個凸多邊形的頂點． 某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元．公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗A，B原料都不超過12千克．通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最 大利潤是(　　) A．1 800元 B．2 400元 C．2 800元 D．3 100元 解析：選C　根據(jù)題意，整理表格如下： A原料(千克) B原料(千克) 利潤(元) 甲產(chǎn)品(桶) 1 2 300 乙產(chǎn)品(桶) 2 1 400 限制 12 12 設每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶，乙產(chǎn)品y桶，相應的利潤為z元，[來源:] 于是有 z＝300x＋400y. 作出可行域如圖中陰影部分內(nèi)的整點． 將z＝300x＋400y變形為y＝－x＋，得到斜率為－，在y軸上的截距為，隨z變化的一族平行直線．由圖可知，當直線y＝－x＋經(jīng)過點A時，最大，即z最大．解方程組得A點坐標為(4,4)，所以zmax＝300×4＋400×4＝2 800元． 故每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4桶，乙產(chǎn)品4桶時，公司共可獲得的最大利潤為2 800元． ————————————[課堂歸納——通法領悟]———————————————— 1種方法——確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的方法 　(1)直線定界，即若不等式不含等號，則應把直線畫成虛線；若不等式含有等號，把直線畫成實線． (2)特殊點定域，即在直線Ax＋By＋C＝0的同一側(cè)取一個特殊點(x0，y0)作為測試點代入不等式檢驗，若滿足不等式，則表示的就是包括該點的這一側(cè)，否則就表示直線的另一側(cè)．特別地，當C≠0時，常把原點作為測試點；當C＝0時，常選點(1,0)或者(0,1)作為測試點． 1個步驟——利用線性規(guī)劃求最值的步驟 　(1)在平面直角坐標系內(nèi)作出可行域； (2)考慮目標函數(shù)的幾何意義，將目標函數(shù)進行變形； (3)在可行域內(nèi)平行移動目標函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解； (4)將最優(yōu)解代入目標函數(shù)即可求出最大值或最小值． 2個注意點——求線性目標函數(shù)最值應注意的問題 　求二元一次函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y＝－x＋，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值，應注意以下兩點： (1)若b>0，則截距取最大值時，z也取最大值；截距取最小值時，z也取最小值． (2)若b<0，則截距取最大值時，z取最小值；截距取最小值時，z取最大值． 高考數(shù)學復習精品 高考數(shù)學復習精品