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1、
1
2、 1
第4章 三角函數(shù)
第4節(jié) 解三角形
題型58 正弦定理的應(yīng)用
1. （20xx山東文7）的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，若，，
，則（ ）.
A. B. C. D.
1.分析 先利用正弦定理，求出角，進(jìn)而求出角和角，得出角為直角，從而利用勾
股定理求出邊.
解析 由正弦定理得：，因?yàn)椋?/p>
3、所示.
因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以.所以.又，所以，
所以.所以，所以為直角三角形.
由勾股定理得.故選B.
2. (20xx安徽文9） 設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長分別為，若
，則角（ ）.
A. B. C. D.
2. 解析 同理科卷12題.答案B.
3.（20xx浙江文3）若，則“”是“”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
3.分析 分別判斷能否推出和能否推出.
解析
4、若，則，所以，即；
但當(dāng)時(shí)，有，此時(shí).所以是的充分不必要條件.故選A.
4. (20xx湖南文5）在銳角中，角所對(duì)的邊長分別為. 若，則角等于（ ）.
A. B. C. D.
4.分析 利用正弦定理將邊化為角的正弦.
解析 在中，.
因?yàn)?，所?所以.又為銳角三角形，所以.故選A.
5.（20xx廣東文7）在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為則“”是“”的（ ）.
A. 充分必要條件 B.充分非必要條件
C.必要非充分條件 D.非充分非必要條件
6.（20xx江西文5）在中，內(nèi)角所
5、對(duì)的邊分別為，若，則的值為（ ）.
A. B. C. D.
7.（20xx安徽文）在中，，，，則 .
7.解析 由正弦定理可得，即，解得.
8.（20xx福建文）若在中，，，，則_______．
8.解析 由題意得．
由正弦定理得，則.
9.(20xx北京文)在中，，，， .
9.解析 在中，由正弦定理知，得，，
又，得.
10.（20xx全國1文）已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊，.
（1）若，求；
（2）設(shè)，且，求的面積.
10.解析 （1由正弦定理得，.又，所以，即.
則.
6、
（2）解法一：因?yàn)?，所以?
即，亦即.
又因?yàn)樵谥?，，所以?
則，得.所以為等腰直角三角形，
得，所以.
解法二：由（1）可知，①
因?yàn)?，所以，?
將②代入①得，則，所以.
11.（20xx山東文）在△中，角所對(duì)的邊長分別為. 已知，，，求和的值.
11.解析 在中，由，得.
因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所以，可得為銳角，所以，
因此.
由，可得.
又，所以.
12.（20xx全國丙文9）在中，，邊上的高等于，則（ ）.
A. B. C. D.
12. D 解析 解法一：，，
7、由正弦定理得，即，所以，所以，.故選D.
解法二：如圖所示，由，知.
由，則，.
由正弦定理知，則.故選D.
13.（20xx北京文13）在中，，，則________.
13.解析 由正弦定理及題設(shè)，可得，
所以，則.由，得，，，.
14.（20xx全國甲文15）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.若，，，則_______.
14.解析 解法一：由題可知，.
由正弦定理可得.由射影定理可得.
解法二：同解法一，可得.又
，由余弦定理可得.
解法三：因?yàn)椋?，，?
.
由正弦定理得，，解得.
15.（20xx江蘇15）在中，，，.
（1）求的長；（2）求的值.
15
8、. 解析 （1）因?yàn)?，而，所?
由正弦定理，故.
（2）因?yàn)?，所?
又，所以.故
.
16.（20xx天津文15）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，
已知.
（1）求；
（2）若，求的值.
16.分析 （1）利用正弦定理，將邊化為角：，再根據(jù)三角形內(nèi)角范圍化簡得，；（2）已知兩角，求第三角，利用三角形內(nèi)角和為，將所求角化為兩已知角的和，再根據(jù)兩角和的正弦公式求解.
解析 （1）在中，由正弦定理化簡，
得，所以，得.
（2）由，得，則，
所以.
17.（20xx浙江文16）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，.已知.
（1）求證：；
（2）若，求的值.
17
9、.解析 （1）由正弦定理得，
故，
于是.又，故，
所以或，因此（舍去）或，所以
（2）由，得，，
故，..
18.（20xx全國3文15）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，，，則_________.
18.解析 由正弦定理有，所以，又，所以，
所以.
評(píng)注 考查用正、余弦定理解三角形問題以及三角形的內(nèi)角和定理，難度偏低.
題型59 余弦定理的應(yīng)用
1.（20xx福建文14）在中，，則等于 .
2.（20xx廣東文）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若，，，且，則（ ）.
2.解析 由余弦定理得，
所以，
即，解得或.因?yàn)?，所?故選
10、C．
3.（20xx重慶文）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，，則________.
3.解析 因?yàn)椋愿鶕?jù)正弦定理得．又因?yàn)椋?
所以．因?yàn)?，所以，代入解得?
4.（20xx江蘇文）在中，已知，，．
（1）求的長；
（2）求的值．
4.解析 （1）由余弦定理，
解得．
（2），
因?yàn)?，故?
故．
評(píng)注 在運(yùn)算的過程中類似，可不化簡，有時(shí)候會(huì)利于下面的運(yùn)算．
5.（20xx全國2文）中，是上的點(diǎn)，平分， .
(1)求；
(2)若，求.
5.分析 (1)根據(jù)題意，由正弦定理可得.
(2)由誘導(dǎo)公式可得，由(1)可知，所以，.
解析 (1)由正弦定
11、理得，，.
因?yàn)槠椒?，，所?
(2)因?yàn)?，?
所以.
由(1)知，所以，即.
評(píng)注 三角是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，在高考中主要是利用三角函數(shù)，三角恒等變換及解三角形的正弦定理及余弦定理，在求解時(shí)，注意角的轉(zhuǎn)化及定理的使用.
6.（20xx陜西文）的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，向量與平行.
（1）求；
（2）若，，求的面積.
6.解析 (1)因?yàn)?，所?
由正弦定理得，
將式代入式，又，得到，由于，所以.
(2)解法一：由余弦定理得，，而，，，
得，即.因?yàn)椋裕?
故的面積為.
解法二：由正弦定理，得，從而.
又由知，所以.
12、故，
所以面積為.
7（20xx四川文）已知為的內(nèi)角，，是關(guān)于方程的兩個(gè)實(shí)根.
（1）求C的大小；
（2）若，，求p的值.
7.解析 （1）由題意可得方程的判別式，所以或.
由韋達(dá)定理，得，，
所以，
可得.
所以，所以.
（2）由正弦定理，可得，
解得或（舍去）.所以.
則.
所以.
8.（20xx天津文）在中，內(nèi)角，， 所對(duì)的邊分別為，，，已知的面積為，，.
（1）求和的值；
（2）求 的值.
8.分析 （1）由面積公式可得，結(jié)合，可解得，.再由余弦定理求得.最后由正弦定理求的值；（2）直接展開求值.
解析 （1）中，由，得，
由，得，又由，解得，.
13、
由，可得.
又由，得.
（2）
.
9.（20xx浙江文）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，.已知.
(1)求的值；
(2)若，求的面積.
9.解析 (1) ，得.
.
(2) ，.由正弦定理得，，所以，
又，
所以.
10.（20xx全國乙文4）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，，，則（ ）.
A. B. C. D.
10. D 解析 由余弦定理得，即，
整理得，解得.故選D.
11.（20xx山東文8）在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，已知，，則（ ）.
A. B.
14、C. D.
11. C解析 由余弦定理，得.
因?yàn)?，所? 由已知得，所以，
所以.因?yàn)椋?故選C.
評(píng)注 考試的時(shí)候得到，若尋找不到因式分解可考慮代入選項(xiàng)檢驗(yàn).
題型60 判斷三角形的形狀
1. (20xx陜西文9）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的形狀為（ ）.
A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 不確定
1.分析 利用余弦定理的變形將角的余弦值轉(zhuǎn)化為三角形邊之間的關(guān)系．
解析 因?yàn)?
,所以.
因?yàn)?，所以，即是直角三角形．故選B.
題型61 解三角形的綜合應(yīng)用
15、
1. （20xx江西文17）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知.
（1）求證：成等差數(shù)列；
（2）若，求的值.
1.分析 （1）根據(jù)正弦定理把已知條件中的角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，從而證明成等
差數(shù)列；（2）應(yīng)用（1）的結(jié)論和余弦定理得出的關(guān)系式，從而求出結(jié)論.
解析 （1）由已知得.因?yàn)?，所?
由正弦定理得，即成等差數(shù)列.
（2）由及余弦定理得，即有，所以.
2. (20xx天津文16）在中， 內(nèi)角所對(duì)的邊分別是. 已知，， .
（1）求的值;
（2）求的值.
2.分析 （1）先用正弦定理求出，再用余弦定理求出；（2）用二倍角公式和兩角差公式求值.
解析 （1
16、）在△中，由可得又由
可得.又故由可得
（2）由得進(jìn)而得
所以
3.（20xx湖北文18）
在中，角，，對(duì)應(yīng)的邊分別是，，. 已知．
（1）求角的大??；
（2）若的面積，，求的值．
3.分析 利用倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡已知條件，求得的值，即得角的大?。挥擅?
積求出邊，再利用余弦定理求出邊，最后利用正弦定理求出的值.
解析 （1）由，得，即，解得.因?yàn)?，所?
（2）由，得，又，所以.
由余弦定理得，所以.
從而由正弦定理得.
4. （20xx四川文17）在中，角的對(duì)邊分別為，且
.
（1）求的值；推導(dǎo)的前項(xiàng)和公式；
（2）若，求向量在方向上的投影.
4.
17、分析 （1）由三角形內(nèi)角和定理得，即，然后利用兩角
和的余弦公式求得.
（2）借助正、余弦定理求角后再利用向量投影公式求解．
解析 （1）由，得.則，即.
又，則.
（2）由正弦定理，有，所以.
故題意知，則，故.
根據(jù)余弦定理，有.解得或（負(fù)值舍去）.
故向量在方向上的投影為.
5. (20xx浙江文18）在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.
（1）求角的大?。?
（2）若，，求的面積.
5.分析 （1）利用已知條件和正弦定理可求出，進(jìn)而求出；（2）利用余弦定理求出
，再用面積公式求面積.
解析 （1）由及正弦定理，得.因?yàn)槭卿J角，
所以.
（2）由余弦定理，得
18、.
又，所以.
由三角形面積公式，得的面積為.
6.（20xx四川文8）如圖所示，從氣球上測(cè)得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為，，此時(shí)氣球的高是，則河流的寬度等于（ ）.
A. B.
C. D.
7.（20xx新課標(biāo)Ⅰ文16）如圖所示，為測(cè)量山高，選擇和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測(cè)得.已知山高，
則山高 .
8．（20xx湖北文13）在中，角所對(duì)的邊分別為.
19、 輸入
開始
否
是
結(jié)束
輸出
已知，，，則 .
9.（20xx北京文12）在中，，，，則 ；
.
9. 解析 由余弦定理知，故；由，，知，由知.
10.（20xx陜西文16）（本小題滿分12分）
的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.
（1）若成等差數(shù)列，求證：；
（2）若成等比數(shù)列，且，求的值.
11. （20xx安徽文16）（本小題滿分12分）
設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長分別是，且，，的面積為，求與的值.
11. 解析 由三角形面積公式，得，故.因?yàn)椋?
①當(dāng)時(shí)，由余弦定理得，所以.
②當(dāng)時(shí)，
20、由余弦定理得，所以.
評(píng)注 本題考查解三角形，解題時(shí)要注意已知求時(shí)有兩解，防止漏解.
12.（20xx大綱文18）（本小題滿分12分）
的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，求B.
13.（20xx遼寧文17）（本小題滿分12分）
在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，已知，，，求：
（1）和的值；
（2）的值.
14.（20xx山東文17）（本小題滿分12分）
中，角所對(duì)的邊分別為. 已知.
（1）求的值；
（2）求的面積.
15.（20xx浙江文18）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.
（1）求角的大??；
（2）已知，的面積為，求邊長的值.
16.（20x
21、x重慶文18）（本小題滿分12分）
在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.
（1）若，求的值；
（2）若，且的面積，求和的值.
17. （20xx新課標(biāo)Ⅱ文17）（本小題滿分12分）
四邊形的內(nèi)角與互補(bǔ)，，，.
（1）求和；
（2）求四邊形的面積.
18.（20xx湖南文19）（本小題滿分13分）
如圖所示，在平面四邊形中，，.
（1）求的值；
（2）求的長.
19.（20xx湖北文）如圖所示，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂在西偏北的方向上，行駛m后到達(dá)處，測(cè)得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度=
22、 m.
19.解析 中，，，所以，
因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，即m，在中，因?yàn)?，，所以，所以m.
20.（20xx湖南）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，.
（1）證明：；
（2）若，且為鈍角，求，，.
20.解析 （1）由及正弦定理，得，所以.
（2）因?yàn)?
所以 .
由（1）知，因此，所以，
又為鈍角，故，由知，
從而.
綜上所述，，，.
21.（20xx上海文10）已知的三邊長分別為，，，則該三角形的外接圓半徑等于 .
21.解析 不妨設(shè)，，，則，故，因此.
22.（20xx四川文18）在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，且
23、.
（1）求證：；
（2）若，求.
22.解析 （1）根據(jù)正弦定理，可設(shè)，則，，.
代入中，有，
可變形得
在中，由，有，
所以
（2）由已知，根據(jù)余弦定理，有.
所以.由（1）得，，
所以，故
23.（20xx全國1文11）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，，則（ ）.
A． B． C． D．
23.解析 由題意得
，
即，所以.
由正弦定理，得，即，得.故選B.
24.（20xx全國2文16）的內(nèi)角，B，C的對(duì)邊分別為，，，若，則 .
24.解析 解法一:由正弦定理可得
.
解法二：如圖
24、所示，由射影定理知，，所以，所以，所以..
25.（20xx山東文17）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，，求和.
25.解析 因?yàn)椋?，?，所以，
因此， 且，所以.又，所以.
由余弦定理，得，
所以.
26.（20xx天津文15）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
26.解析 （1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，則.
又因?yàn)?，所以由余弦定理?
（2）因?yàn)椋?，?
因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?
又因?yàn)?，所以，所以?
所以，
所以.
27.（20xx浙江14）已知，，.?點(diǎn)為延長線上的一點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)，則的面積是________
25、___，__________.
27.解析 如圖所示，取的中點(diǎn)為，在等腰中,，所以，，
所以的面積為．因?yàn)?，所以是等腰三角形，所以，，解得?
28.（20xx江蘇18）如圖所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱臺(tái)形玻璃容器的高均為，容器的底面對(duì)角線的長為，容器的兩底面對(duì)角線，的長分別為和． 分別在容器和容器中注入水，水深均為． 現(xiàn)有一根玻璃棒，其長度為（容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)）.
（1）將放在容器中，的一端置于點(diǎn)處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分
的長度；
（2） 將放在容器中，的一端置于點(diǎn)處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部
分的長度．
28.解析 （
26、1）由正棱柱的定義，平面，所以平面平面，．
記玻璃棒的另一端落在上點(diǎn)處，如圖所示為截面的平面圖形．因?yàn)?，，所以，從?記與水面的交點(diǎn)為， 過點(diǎn)作，為垂足，則平面，故，從而．
答：玻璃棒沒入水中部分的長度為．
（2）如圖所示為截面的平面圖形，，是正棱臺(tái)兩底面的中心．
由正棱臺(tái)的定義，平面， 所以平面平面，．
同理，平面平面，．
記玻璃棒的另一端落在上點(diǎn)處．
過作，為垂足，則．
因?yàn)?，，所以?
從而．
設(shè)，，則．
因?yàn)?，所以?
在中，由正弦定理可得，解得．
因?yàn)?，所以?
于是
．
記與水面的交點(diǎn)為，過作，為垂足，則平面，
故，從而．
答：玻璃棒沒入水中部分的長度為．
評(píng)注 此題本質(zhì)上考查解三角形的知識(shí)，但在這樣的大背景下構(gòu)造的應(yīng)用題讓學(xué)生有畏懼之感，且該應(yīng)用題的實(shí)際應(yīng)用性也不強(qiáng)．
也有學(xué)生第（1）問采用相似法解決，解法如下：
，，所以，，
所以由，，即，解得．
答：玻璃棒沒入水中部分的長度為．
題型 正、余弦定理與向量的綜合——暫無
新版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 文科 第四章 三角函數(shù)第4節(jié)解三角形
