新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習學(xué)案訓(xùn)練課件: 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第2節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式學(xué)案 文 北師大版

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新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習學(xué)案訓(xùn)練課件: 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第2節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式學(xué)案 文 北師大版_第1頁
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1、 1

2、 1 第二節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式 [考綱傳真] 1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin2α+cos2α=1,=tan α.2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出±α,π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式. (對應(yīng)學(xué)生用書第41頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 (1)平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1; (2)商數(shù)關(guān)系:tan

3、α=. 2.誘導(dǎo)公式 組序 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+ α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos_α 余弦 cos α -cos α cos α -cos_α sin α -sin α 正切 tan α tan α -tan α -tan_α 口訣 函數(shù)名不變,符號看象限 函數(shù)名改變符號看象限 [知識拓展] 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的幾種變形 (1)(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α.

4、 (2)sin2α=1-cos2α=(1+cos α)(1-cos α). (3)cos2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α). (4)sin α=tan αcos α. [基本能力自測] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)若α,β為銳角,則sin2α+cos2β=1.(  ) (2)若α∈R,則tan α=恒成立.(  ) (3)sin(π+α)=-sin α成立的條件是α為銳角.(  ) (4)若sin(kπ-α)=(k∈Z),則sin α=.(  ) [答案] (1)× (2)× (3)×

5、 (4)× 2.(教材改編)已知α是第二象限角,sin α=,則cos α等于(  ) A.-    B.-    C.    D. B [∵sin α=,α是第二象限角, ∴cos α=-=-.] 3.(20xx·陜西質(zhì)檢(二))若tan α=,則sin4α-cos4α的值為(  ) A.- B.- C. D. B [sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)(sin2α+cos2α)===-,故選B.] 4.(20xx·四川高考)sin 750°=________.  [sin 750°=sin(750°-360°×2)=sin 30°=.

6、] 5.已知sin=,α∈,則sin(π+α)=________. - [因為sin=cos α=,α∈,所以sin α==,所以sin(π+α)=-sin α=-.] (對應(yīng)學(xué)生用書第41頁) 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用  (1)(20xx·全國卷Ⅲ)若tan α=,則cos2α+2sin 2α=(  ) A.     B.     C.1     D. (2)(20xx·寧德模擬)已知α為第二象限角,sin α+cos α=,則cos 2α=________. 【導(dǎo)學(xué)號:00090085】 (1)A  (2) - [(1)∵tan α=,則cos

7、2α+2sin 2α====,故選A. (2)由(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=得2sin αcos α=-, 所以(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=, 又α是第二象限角,所以cos α-sin α<0, 所以cos α-sin α=-, 因此cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)=×=-.] [規(guī)律方法] 1.利用sin2α+cos2α=1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以實現(xiàn)角α的弦切互化. 2.應(yīng)用公式時要注意方程思想的應(yīng)用:對于sin α+

8、cos α,sin αcos α,sin α-cos α這三個式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二. 3.注意公式逆用及變形應(yīng)用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. [變式訓(xùn)練1] (1)已知=5,則sin2α-sin αcos α的值為(  ) A.- B.- C. D. (2)若α是三角形的內(nèi)角,且tan α=-,則sin α+cos α的值為________. (1)D (2)- [(1)依題意得:=5, ∴tan α=2. ∴sin2α-sin αcos α

9、= ===. (2)由tan α=-,得sin α=-cos α, 將其代入sin2α+cos2α=1, 得cos2α=1,∴cos2α=,易知cos α<0, ∴cos α=-,sin α=, 故sin α+cos α=-.] 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用  (1)已知A=+(k∈Z),則A的值構(gòu)成的集合是(  ) A.{1,-1,2,-2}   B.{-1,1} C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2} (2)(20xx·郴州模擬)已知sin=,則cos=________. 【導(dǎo)學(xué)號:00090086】 (1)C (2) [(1)當k為偶數(shù)時,

10、A=+=2; k為奇數(shù)時,A=-=-2. (2)因為+=. 所以cos=cos=sin=.] [規(guī)律方法] 1.利用誘導(dǎo)公式應(yīng)注意已知角或函數(shù)名稱與所求角或函數(shù)名稱之間存在的關(guān)系,尤其是角之間的互余、互補關(guān)系,選擇恰當?shù)墓?,向所求角和三角函?shù)進行化歸. 2.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則:負化正、大化小、小化銳、銳求值. [變式訓(xùn)練2] 已知cos=,則cos-sin2的值為________. - [∵cos=cos =-cos=-, sin2=sin2=sin2 =1-cos2=1-2=, ∴cos-sin2=--=-.] 同角關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用

11、  (1)(20xx·全國卷Ⅰ)已知θ是第四象限角,且sinθ+=,則tan=________. (2)(20xx·鄭州質(zhì)檢)已知cos=2sin,則的值為________. (1)- (2) [(1)由題意知sin=,θ是第四象限角,所以cos>0,所以cos==. 又-=,所以sin=cos=,cos=-sin=-,從而tan==-. (2)∵cos=2sin, ∴-sin α=-2cos α,則sin α=2cos α, 代入sin2α+cos2α=1,得cos2α=. = ==cos2α-=.] [規(guī)律方法] 利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式化

12、簡三角函數(shù)的基本思路和化簡要求:(1)基本思路:①分析結(jié)構(gòu)特點,選擇恰當公式;②利用公式化成單角三角函數(shù);③整理得最簡形式. (2)化簡要求:①化簡過程是恒等變形;②結(jié)果要求項數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,結(jié)構(gòu)盡可能簡單,能求值的要求出值. [變式訓(xùn)練3] (1)(20xx·安徽皖南八校聯(lián)考)已知sin α=,α是第二象限角,則tan(π-α)=________. (2)(20xx·九江模擬)已知tan θ=3,則cos=________. 【導(dǎo)學(xué)號:00090087】 (1) (2) [(1)∵sin α=,α是第二象限角,∴cos α=-, ∴tan α=-,故tan(π-α)=-tan α=. (2)因為tan θ=3,所以cos=sin 2θ====.]

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