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1、
1
2、 1
課時(shí)提升作業(yè)(十三)
一、選擇題
1.函數(shù)y=sin(2x+1)的導(dǎo)數(shù)是( )
(A)y′=cos(2x+1) (B)y′=2xsin(2x+1)
(C)y′=2cos(2x+1) (D)y′=2xcos(2x+1)
2.(20xx·合肥模擬)若拋物線y=x2在點(diǎn)(a,a2)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為16,則a=( )
3、
(A)4 (B)±4 (C)8 (D)±8
3.(20xx·寶雞模擬)下列曲線的所有切線構(gòu)成的集合中,存在無數(shù)對互相垂直的切線的曲線是( )
(A)f(x)=ex (B)f(x)=x3
(C)f(x)=lnx (D)f(x)=sinx
4.(20xx·贛州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上周期為2的可導(dǎo)函數(shù),若f(2)=2,且limx→0f(x+2)-22x=-2,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程是( )
(A)y=-2x+2 (B
4、)y=-4x+2
(C)y=4x+2 (D)y=-12x+2
5.如圖,其中有一個(gè)是函數(shù)f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖像,則f(-1)為( )
(A)2 (B)-13 (C)3 (D)-12
6.(20xx·阜陽模擬)如圖,函數(shù)y=f(x)的圖像在點(diǎn)P處的切線方程是y=kx+b,若f(1)-f′(1)=2,則b=( )
(A)-1 (B)1 (C)2 (D)-2
7.(20xx·新余模擬)設(shè)函數(shù)f(x
5、)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處切線的斜率為( )
(A)4 (B)-14 (C)2 (D)-12
8.已知直線y=2x-m是曲線y=ln2x的切線,則m等于( )
(A)0 (B)1 (C)12 (D)-12
9.等比數(shù)列{an}中,a1=2,a8=4,函數(shù)f(x)=x(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8),則
f′(0)=( )
(A)26 (B)29 (C)212 (D)215
10.(20
6、xx·安慶模擬)若存在過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y=x3和y=ax2+154x-9都相切,則a等于( )
(A)-1或-2564 (B)-1或214
(C)-74或-2564 (D)-74或7
二、填空題
11.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且滿足f(x)=3x2+2xf′(2),則f′(5)=
.
12.(20xx·宜春模擬)若過原點(diǎn)作曲線y=ex的切線,則切點(diǎn)的坐標(biāo)為 ,切線的斜率為 .
13.(20xx·鎮(zhèn)江模擬)設(shè)a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線
7、的傾斜角的取值范圍為[0,π4],則點(diǎn)P到曲線y=f(x)的對稱軸的距離的取值范圍為 .
14.(能力挑戰(zhàn)題)若曲線f(x)=ax2+lnx存在垂直于y軸的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
三、解答題
15.(20xx·宿州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=ax-bx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式.
(2)證明:曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值,并求此定值.
答案解析
1.【解析】選C. y′=cos(2x+1)·(2x+1)′
=2cos(2x+1).
8、
2.【解析】選B.y′=2x,所以在點(diǎn)(a,a2)處的切線方程為:y-a2=2a(x-a),令x=0,得y=-a2;令y=0,得x=12a,所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=12×|-a2|×|12a|=14|a3|=16,解得a=±4.
3.【解析】選D.設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1,x2,
則存在無數(shù)對互相垂直的切線,即f′(x1)·f′(x2)=-1有無數(shù)對x1,x2使之成立,
對于A由于f′(x)=ex>0,
所以不存在f′(x1)·f′(x2)=-1成立;
對于B由于f′(x)=3x2≥0,
所以也不存在f′(x1)·f′(x2)=-1成立;
對于C由于f(x)=lnx
9、的定義域?yàn)?0,+∞),
∴f′(x)=1x>0;
對于D,由于f′(x)=cosx,
所以f′(x1)·f′(x2)=cosx1·cosx2,
若x1=2mπ,m∈Z,x2=(2k+1)π,k∈Z,
則f′(x1)·f′(x2)=-1恒成立.
4.【解析】選B.因?yàn)閒(x)的周期為2,所以f(0)=f(2)=2.
由limx→0f(x+2)-22x=-2得12limx→0f(x)-f(0)x=-2,即12f′(0)=-2,得f′(0)=-4,故曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為y=-4x+2.
5.【解析】選B.∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1),
∴導(dǎo)函
10、數(shù)f′(x)的圖像開口向上.
又∵a≠0,∴其圖像必為(3).
由圖像特征知f′(0)=0,且對稱軸x=-a>0,
∴a=-1,故f(-1)=-13.
6.【解析】選C.由函數(shù)y=f(x)的圖像知,點(diǎn)P(1,f(1)),故f′(1)=k,又f(1)=k+b,由f(1)-f′(1)=2得b=2.
7.【解析】選A.因?yàn)榍€y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1,所以
g′(1)=2.
又f′(x)=g′(x)+2x,故曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為f′(1)=
g′(1)+2=4.
8.【解析】選B.設(shè)切點(diǎn)為(x0,ln2x0),則由y=
11、ln2x得y′=12x·2=1x,
故f'(x0)=2,2x0-m=ln2x0,即1x0=2,2x0-m=ln2x0,
解得x0=12,m=1.
9.【解析】選C.因?yàn)閒′(x)=x′·[(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8)]+x·[(x-a1)·
(x-a2)·…·(x-a8)]′,所以f′(0)=(-a1)(-a2)·…·(-a8)=a1·a2·…
·a8=(a1·a8)4=84=212.
10.【思路點(diǎn)撥】先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程,最后由點(diǎn)(1,0)在切線上求出切點(diǎn)后再求a的值.
【解析】選A.設(shè)過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y=x3相切于點(diǎn)(
12、x0,x03),所以切線方程為y-x03=3x02(x-x0),
即y=3x02x-2x03.又(1,0)在切線上,則x0=0或x0=32,
當(dāng)x0=0時(shí),由y=0與y=ax2+154x-9相切可得
Δ=(154)2-4a(-9)=0,
解得a=-2564,
同理,當(dāng)x0=32時(shí),由y=274x-274與y=ax2+154x-9相切可得a=-1,所以選A.
【方法技巧】導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用
導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率,應(yīng)用時(shí)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:
(1)已知切點(diǎn)A(x0,f(x0))求斜率k,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值:k=f′(x0).
(2)已知斜率k,求切點(diǎn)A(x1,f(
13、x1)),即解方程f′(x1)=k.
(3)已知過某點(diǎn)M(x1,f(x1))(不是切點(diǎn))的切線斜率為k時(shí),常需設(shè)出切點(diǎn)A(x0,f(x0)),利用k=f(x1)-f(x0)x1-x0求解.
11.【解析】對f(x)=3x2+2xf′(2)求導(dǎo),得f′(x)=6x+2f′(2).令x=2,得
f′(2)=-12.再令x=5,得f′(5)=6×5+2f′(2)=6.
答案:6
12.【解析】y′=ex,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則y0x0=ex0,即ex0x0=ex0,∴x0=1,因此切點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,e),切線的斜率為e.
答案:(1,e) e
13.【解析】∵y=f(x)在點(diǎn)P
14、(x0,f(x0))處切線的傾斜角的取值范圍為[0,π4],∴0≤f′(x0)≤1,即0≤2ax0+b≤1.又∵a>0,
∴-b2a≤x0≤1-b2a,∴0≤x0+b2a≤12a,即點(diǎn)P到曲線y=f(x)的對稱軸的距離的取值范圍為[0,12a].
答案:[0,12a]
14.【思路點(diǎn)撥】求出導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn),求a的取值范圍.
【解析】由題意該函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),且f′(x)=2ax+1x.因?yàn)榇嬖诖怪庇趛軸的切線,故此時(shí)斜率為0,問題轉(zhuǎn)化為x>0時(shí)導(dǎo)函數(shù)f′(x)=2ax+1x存在零點(diǎn)的問題.
方法一(圖像法):再將之轉(zhuǎn)化為g(x)=-2ax與h(x)=1x存在交點(diǎn).
15、
當(dāng)a=0時(shí)不符合題意,當(dāng)a>0時(shí),如圖1,數(shù)形結(jié)合可得沒有交點(diǎn),當(dāng)a<0時(shí),如圖2,此時(shí)正好有一個(gè)交點(diǎn),故有a<0,應(yīng)填(-∞,0).
方法二(分離變量法):上述也可等價(jià)于方程2ax+1x=0在(0,+∞)內(nèi)有解,顯然可得a=-12x2∈(-∞,0).
答案:(-∞,0)
15.【解析】(1)方程7x-4y-12=0可化為y=74x-3.
當(dāng)x=2時(shí),y=12.又f′(x)=a+bx2,
于是2a-b2=12,a+b4=74,解得a=1,b=3.故f(x)=x-3x.
(2)設(shè)P(x0,y0)為曲線上任一點(diǎn),由y′=1+3x2知曲線在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程為y-y0
16、=(1+3x02)(x-x0),即y-(x0-3x0)=(1+3x02)(x-x0).
令x=0得y=-6x0,從而得切線與直線x=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-6x0).令y=x得y=x=2x0,從而得切線與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0),
所以點(diǎn)P(x0,y0)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形面積為S=12|-6x0||2x0|=6.
故曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形的面積為定值,此定值為6.
【變式備選】已知函數(shù)f(x)=x3+x-16.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,-6)處的切線方程.
(2)如果曲線y=f(x)的某一
17、切線與直線y=-14x+3垂直,求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程.
【解析】(1)可判定點(diǎn)(2,-6)在曲線y=f(x)上.
∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,
∴在點(diǎn)(2,-6)處的切線的斜率為k=f′(2)=13,
∴切線的方程為y=13(x-2)+(-6),
即y=13x-32.
(2)∵切線與直線y=-14x+3垂直,
∴切線的斜率k=4.
設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),則f′(x0)=3x02+1=4,
∴x0=±1,
∴x0=1,y0=-14或x0=-1,y0=-18.∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-14)或(-1,-18),
切線方程為y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.
即y=4x-18或y=4x-14.
新版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第二章 第十節(jié)
