新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 專題探究課1 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的高考熱點(diǎn)問題 理 北師大版

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1、 一)　函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的高考熱點(diǎn)問題 (對應(yīng)學(xué)生用書第44頁) [命題解讀]　函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，因此，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是歷年高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，常涉及的問題有：討論函數(shù)的單調(diào)性(求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間)、求極值、求最值、求切線方程、求函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根、求參數(shù)的范圍、證明不等式等，涉及的數(shù)學(xué)思想有：函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想等，中、高檔難度均有． 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)的單調(diào)性、極值是局部概念，函數(shù)的最值是整體概念，研究函數(shù)的性質(zhì)必須在定義域內(nèi)進(jìn)行，因此，務(wù)必遵循定義域優(yōu)先的原則，本熱點(diǎn)主要有三種考查方式：(1)

2、討論函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)的極值或最值；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，求參數(shù)的范圍． 　(20xx·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a－2時(shí)，求a的取值范圍． [解]　(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝－a. 若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． 若a>0，則當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0； 當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0. 所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． (2)由(1)知，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上無最大值；

3、 當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在x＝取得最大值，最大值為 f＝ln＋a＝－ln a＋a－1. 因此f>2a－2等價(jià)于ln a＋a－1<0. 令g(a)＝ln a＋a－1，則g(a)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，g(1)＝0. 于是，當(dāng)01時(shí)，g(a)>0. 因此，a的取值范圍是(0,1)． [規(guī)律方法]　1.研究函數(shù)的性質(zhì)，必須在定義域內(nèi)進(jìn)行，因此利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)遵循定義域優(yōu)先的原則. 2.討論函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值問題，最終歸結(jié)到判斷f′(x)的符號問題上，而f′(x)＞0或f′(x)＜0，最終可轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元一次不等式或一元二次不

4、等式問題. 3.若已知f(x)的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解. [跟蹤訓(xùn)練]　(20xx·福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝aln x＋x2－ax(a∈R). 【導(dǎo)學(xué)號：79140096】 (1)若x＝3是f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)求g(x)＝f(x)－2x在區(qū)間[1，e]的最小值h(a)． [解]　(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)， f′(x)＝＋2x－a＝， 因?yàn)閤＝3是f(x)的極值點(diǎn)， 所以f′(3)＝＝0，解得a＝9. 所以f′(x)＝＝， 所以當(dāng)0＜x＜或x＞3時(shí)，f′(x)＞0； 當(dāng)＜

5、x＜3時(shí)，f′(x)＜0. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(3，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為. (2)由題知，g(x)＝f(x)－2x＝aln x＋x2－ax－2x. g′(x)＝－2＝. ①當(dāng)≤1，即a≤2時(shí)，g(x)在[1，e]上為增函數(shù)， h(a)＝g(1)＝－a－1； ②當(dāng)1＜＜e，即2＜a＜2e時(shí)，g(x)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)， h(a)＝g＝aln－a2－a； ③當(dāng)≥e，即a≥2e時(shí)，g(x)在[1，e]上為減函數(shù)， h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2－2e. 綜上，h(a)＝ 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題 研究函數(shù)零點(diǎn)的本質(zhì)就是研究函數(shù)的極值

6、的正負(fù)，為此，我們可以通過討論函數(shù)的單調(diào)性來解決，求解時(shí)應(yīng)注重等價(jià)轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，其主要考查方式有：(1)確定函數(shù)的零點(diǎn)、圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)由函數(shù)的零點(diǎn)、圖像交點(diǎn)的情況求參數(shù)的取值范圍． 　(20xx·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x. (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍. [解]　(1)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)， f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)． (ⅰ)若a≤0，則f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞減． (ⅱ)若a>0，則由f′(

7、x)＝0得x＝－ln a. 當(dāng)x∈(－∞，－ln a)時(shí)，f′(x)<0； 當(dāng)x∈(－ln a，＋∞)時(shí)，f′(x)>0. 所以f(x)在(－∞，－ln a)單調(diào)遞減，在(－ln a，＋∞)單調(diào)遞增． (2)(ⅰ)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)． (ⅱ)若a>0，由(1)知，當(dāng)x＝－ln a時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(－ln a)＝1－＋ln a. ①當(dāng)a＝1時(shí)，由于f(－ln a)＝0，故f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)； ②當(dāng)a∈(1，＋∞)時(shí)，由于1－＋ln a＞0， 即f(－ln a)>0，故f(x)沒有零點(diǎn)； ③當(dāng)a∈(0,1)時(shí)，1－＋ln a＜0，即f

8、(－ln a)＜0. 又f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2>－2e－2＋2>0， 故f(x)在(－∞，－ln a)有一個(gè)零點(diǎn)． 設(shè)正整數(shù)n0滿足n0＞ln， 則f(n0)＝e(ae＋a－2)－n0＞e－n0＞2－n0＞0. 由于ln＞－ln a， 因此f(x)在(－ln a，＋∞)有一個(gè)零點(diǎn)． 綜上，a的取值范圍為(0,1)． [規(guī)律方法]　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的兩種常用方法 (1)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；或用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，再用單調(diào)性和極值定位函數(shù)圖像求解零點(diǎn)問題. (2)將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決.

9、 [跟蹤訓(xùn)練]　(20xx·武漢調(diào)研)已知f(x)＝ln x－x3＋2ex2－ax，a∈R，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)． (1)若f(x)在x＝e處的切線的斜率為e2，求a； (2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍． [解]　(1)f′(x)＝－3x2＋4ex－a， f′(e)＝＋e2－a＝e2，∴a＝. (2)由ln x－x3＋2ex2－ax＝0，得－x2＋2ex＝a. 記F(x)＝－x2＋2ex， 則F′(x)＝－2(x－e)． x∈(e，＋∞)，F(xiàn)′(x)＜0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減． x∈(0，e)，F(xiàn)′(x)＞0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增， ∴F(x)max＝F(e)＝＋e2

10、， 而x→0時(shí)，F(xiàn)(x)→－∞， x→＋∞時(shí)，F(xiàn)(x)→－∞.故a＜＋e2. 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題(答題模板) 導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用是每年高考的必考內(nèi)容，且以解答題的形式考查，難度較大，屬中高檔題，突出轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想的考查．常見的命題角度有：(1)證明不等式；(2)由不等式恒成立求參數(shù)范圍問題；(3)不等式恒成立、能成立問題． 　(本小題滿分12分)(20xx·全國卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝(1－x2)ex. (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤ax＋1，求a的取值范圍． [規(guī)范解答]　(1)f′(x)＝(1－2x－x2)ex. 令f′(x)＝

11、0得x＝－1－或x＝－1＋. 2分 當(dāng)x∈(－∞，－1－)時(shí)，f′(x)＜0； 當(dāng)x∈(－1－，－1＋)時(shí)，f′(x)＞0； 當(dāng)x∈(－1＋，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0. 4分 所以f(x)在(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)單調(diào)遞減，在(－1－，－1＋)單調(diào)遞增. 5分 (2)f(x)＝(1＋x)(1－x)ex. 當(dāng)a≥1時(shí)，設(shè)函數(shù)h(x)＝(1－x)ex，h′(x)＝－xex＜0(x>0)，因此h(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞減．而h(0)＝1，故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1. 8分 當(dāng)0

12、－1＞0(x＞0)，所以g(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞增，而g(0)＝0，故ex≥x＋1. 當(dāng)0(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝，則x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)＞ax0＋1. 10分 當(dāng)a≤0時(shí)，取x0＝，則x0∈(0,1)，f(x0)＞(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1. 11分 綜上，a的取值范圍是[1，＋∞). 12分 [閱卷者說] 易錯(cuò)點(diǎn) 防范措施 函數(shù)h(x)與函數(shù)g(x)的構(gòu)造 認(rèn)真分析不等式的結(jié)構(gòu)特征，通過構(gòu)造h(x)，利用不等式

13、的性質(zhì)，證明命題成立，通過構(gòu)造g(x)，為舉反例說明命題不成立創(chuàng)造了條件 [規(guī)律方法]　1.求單調(diào)區(qū)間的一般步驟 (1)求定義域. (2)求f′(x)，令f′(x)＞0，求出f(x)的增區(qū)間；令f′(x)＜0，求出f(x)的減區(qū)間. (3)寫出結(jié)論. 2.恒成立問題的三種解法 (1)分離參數(shù)，化為最值問題求解. (2)構(gòu)造函數(shù)，分類討論，如f(x)≥g(x)，即F(x)＝f(x)－g(x)，求F(x)min≥0. (3)轉(zhuǎn)變主元，選取適當(dāng)?shù)闹髟?，可使問題簡化. [跟蹤訓(xùn)練]　設(shè)函數(shù)f(x)＝e2x－aln x. (1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)； (2)

14、證明：當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)≥2a＋aln. 【導(dǎo)學(xué)號：79140097】 [解]　(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－(x>0)． 當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，f′(x)沒有零點(diǎn)； 當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)u(x)＝e2x，v(x)＝－， 因?yàn)閡(x)＝e2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，v(x)＝－在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． 又f′(a)>0，假設(shè)存在b滿足00時(shí)，f′(x)存在唯一零點(diǎn)． (2)證明：由(1)，可設(shè)f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零點(diǎn)為x0，當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，f′(x)<0； 當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0. 故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝x0時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(x0)． 由于2e－＝0，所以f(x0)＝＋2ax0＋aln≥2a＋aln . 故當(dāng)a>0時(shí)，f(x)≥2a＋aln .