新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第6章 不等式、推理與證明 第6節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 理 北師大版

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1、 第六節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法 [考綱傳真] (教師用書獨(dú)具)1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題. (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第104頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法 證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行: (1)驗(yàn)證:當(dāng)n取第一個(gè)值n0(如n0=1或2)時(shí),命題成立. (2)在假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥n0)時(shí)命題成立的前提下,推出當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立. 根據(jù)(1)(2)可以斷定命題對(duì)一切從n0開始的正整數(shù)n都成立. 2.?dāng)?shù)學(xué)歸納法的框圖表示 圖6-1-1 [基本能力自測(cè)] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(

2、正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí),第一步是驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立.(  ) (2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明.(  ) (3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí),歸納假設(shè)可以不用.(  ) (4)不論是等式還是不等式,用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),由n=k到n=k+1時(shí),項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng).(  ) (5)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,驗(yàn)證n=1時(shí),左邊式子應(yīng)為1+2+22+23.(  ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.已知n為正偶數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明1-+-+…-=2時(shí),若已假設(shè)n

3、=k(k≥2,且k為偶數(shù))時(shí)命題為真,則還需要用歸納假設(shè)再證(  ) A.n=k+1時(shí)等式成立  B.n=k+2時(shí)等式成立 C.n=2k+2時(shí)等式成立 D.n=2(k+2)時(shí)等式成立 B [k為偶數(shù),則k+2為偶數(shù).] 3.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n-3)條時(shí),第一步檢驗(yàn)n等于(  ) A.1    B.2     C.3     D.0 C [因?yàn)橥筺邊形最小為三角形,所以第一步檢驗(yàn)n等于3,故選C.] 4.(教材改編)已知{an}滿足an+1=a-nan+1,n∈N+,且a1=2,則a2=__________,a3=__________,a4=_____

4、_____,猜想an=__________. [答案] 3 4 5 n+1 5.用數(shù)學(xué)歸納法證明:“1+++…+1)”由n=k(k>1)不等式成立,推證n=k+1時(shí),左邊應(yīng)增加的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是__________. 2k [當(dāng)n=k時(shí),不等式為1+++…+

5、n=2時(shí),左邊=f(1)=1, 右邊=2=1,左邊=右邊,等式成立. (2)假設(shè)n=k(k≥2,k∈N+)時(shí),結(jié)論成立,即 f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1], 那么,當(dāng)n=k+1時(shí), f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)·f(k)-k =(k+1)-k =(k+1)f(k+1)-(k+1)=(k+1)[f(k+1)-1], 所以當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論仍然成立. 由(1)(2)可知:f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N+). [規(guī)律方法] 數(shù)學(xué)歸納法證明等式的思路和注意

6、點(diǎn) (1)思路:用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題,要“先看項(xiàng)”,弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式兩邊各有多少項(xiàng),初始值n0是多少. (2)注意點(diǎn):由n=k時(shí)等式成立,推出n=k+1時(shí)等式成立,一要找出等式兩邊的變化(差異),明確變形目標(biāo);二要充分利用歸納假設(shè),進(jìn)行合理變形,正確寫出證明過程. 易錯(cuò)警示:不利用歸納假設(shè)的證明,就不是數(shù)學(xué)歸納法. [跟蹤訓(xùn)練] 求證:(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1)(n∈N+). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140214】 [證明] (1)當(dāng)n=1時(shí),等式左邊=2,右邊=2,故等式成立; (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí)等式成立,

7、即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k·1·3·5·…·(2k-1), 那么當(dāng)n=k+1時(shí), 左邊=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k+1) =(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)(2k+2) =2k·1·3·5·…·(2k-1)(2k+1)·2 =2k+1·1·3·5·…·(2k-1)(2k+1), 所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立. 根據(jù)(1)(2)可知,對(duì)所有n∈N+等式成立. 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式  (20xx·武漢調(diào)研)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知對(duì)任意的n∈N+,點(diǎn)(n,Sn)均在函數(shù)y=bx+r(b>0,且b≠1

8、,b,r均為常數(shù))的圖像上. (1)求r的值; (2)當(dāng)b=2時(shí),記bn=2(log2an+1)(n∈N+). 證明:對(duì)任意的n∈N+,不等式··…·>成立. [解] (1)由題意,Sn=bn+r, 當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=bn-1+r, 所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1), 由于b>0,且b≠1,所以n≥2時(shí),{an}是以b為公比的等比數(shù)列,又a1=b+r,a2=b(b-1),=b,即=b,解得r=-1. (2)證明:由(1)知an=2n-1,因此bn=2n(n∈N+),所證不等式為··…·>. ①當(dāng)n=1時(shí),左式=,右式=, 左式>右式,所以結(jié)論成立. ②假設(shè)

9、n=k時(shí)結(jié)論成立,即··…·>, 則當(dāng)n=k+1時(shí),··…··>·=, 要證當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立, 只需證≥, 即證≥, 由基本不等式可得 =≥成立, 故≥成立,所以當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論成立. 根據(jù)①②可知,n∈N+時(shí), 不等式··…·>成立. [規(guī)律方法] 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的適用范圍與關(guān)鍵 (1)適用范圍:當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí),應(yīng)用其他辦法不容易證,則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法. (2)關(guān)鍵:用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k時(shí)命題成立,證明n=k+1時(shí)命題也成立,在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明,充分應(yīng)用基本不等式

10、、不等式的性質(zhì)等放縮技巧,使問題得以簡(jiǎn)化.即一湊歸納假設(shè),二湊證題目標(biāo). (3)特別注意:證n=k+1時(shí),知n=k時(shí)命題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)需增加或減少多少項(xiàng). [跟蹤訓(xùn)練] (20xx·浙江高考節(jié)選)已知數(shù)列{xn}滿足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+ xn+1)(n∈N+). 證明:當(dāng)n∈N+時(shí),00. 當(dāng)n=1時(shí),x1=1>0. 假設(shè)n=k時(shí),xk>0, 那么n=k+1時(shí), 若xk+1≤0,則00. 因此xn>0(n∈N+). 所以xn=xn+1+ln

11、(1+xn+1)>xn+1. 因此0

12、n∈N+時(shí)猜想正確. ①當(dāng)n=2時(shí)已證; ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,且k∈N+)時(shí),有ak<成立, 那么≤,ak+1≤ak-a=-+<-+=-=<=, ∴當(dāng)n=k+1時(shí),猜想正確. 綜上所述,對(duì)于一切n∈N+,都有an<. [規(guī)律方法] 解決“歸納—猜想—證明”問題的一般思路:通過觀察有限個(gè)特例,猜想出一般性的結(jié)論,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用. 易錯(cuò)警示:猜想{an}的通項(xiàng)公式時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn):(1)準(zhǔn)確計(jì)算a1,a2,a3發(fā)現(xiàn)規(guī)律(必要時(shí)可多計(jì)算幾項(xiàng));(2)證明ak+1時(shí),ak+1的求解過程與a2,a3的求解過程相

13、似,注意體會(huì)特殊與一般的辯證關(guān)系. [跟蹤訓(xùn)練] (20xx·常德模擬)設(shè)a>0,f(x)=,令a1=1,an+1=f(an), n∈N+. (1)寫出a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論. [解] (1)∵a1=1, ∴a2=f(a1)=f(1)=; a3=f(a2)==; a4=f(a3)==. 猜想an=(n∈N+). (2)證明:①易知,n=1時(shí),猜想正確. ②假設(shè)n=k(k≥1且k∈N+)時(shí)猜想正確,即ak=, 則ak+1=f(ak)== ==. 這說明,n=k+1時(shí)猜想正確. 由①②知,對(duì)于任何n∈N+, 都有an=.

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