高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第十章 ：第五節(jié)古典概型突破熱點(diǎn)題型

△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△ 第五節(jié)　古 典 概 型 考點(diǎn)一 簡單古典概型的求法 　 [例1]　(1)(2013·江西高考)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，從A，B中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是(　　) A. B. C. D. (2)(2013·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是(　　) A. B. C. D. [自主解答]　(1)從A，B中各任意取一個數(shù)，共有6種取法，其中兩數(shù)之和為4的是(2,2)，(3,1)．所以兩數(shù)之和等于4的概率為＝. (2)任取兩個數(shù)共有6種取法，取出兩個數(shù)之差的絕對值為2的有(1,3)，(2,4)2種結(jié)果． 所以概率為＝. [答案]　(1)C　(2)B 【互動探究】 在本例(1)中，若將“則這兩數(shù)之和等于4的概率”改為“則這兩數(shù)之和等于5的概率”，則結(jié)果如何？ 解：由原題知從A，B中各任意取一個數(shù)共有6種取法，其中兩數(shù)之和等于5的是(2,3)，(3,2)，故其概率為＝.　　　　 【方法規(guī)律】 1．求古典概型概率的基本步驟 (1)算出所有基本事件的個數(shù)n. (2)求出事件A包含的所有基本事件數(shù)m. (3)代入公式P(A)＝，求出P(A)． 2．基本事件個數(shù)的確定方法 (1)列舉法：此法適合于基本事件較少的古典概型． (2)列表法：此法適合于從多個元素中選定兩個元素的試驗，也可看成是坐標(biāo)法. (2014·重慶模擬)有編號為A1，A2，A3，A4，A5，A6的6位同學(xué)，進(jìn)行100米賽跑，得到下面的成績： 編號 A1 A2 A3 A4 A5 A6[來源:] 成績(秒) 12.2[來源:] 12.4 11.8 13.1 11.8 13.3 其中成績在13秒內(nèi)的同學(xué)記為優(yōu)秀． (1)從上述6名同學(xué)中，隨機(jī)抽取一名，求這名同學(xué)成績優(yōu)秀的概率； (2)從成績優(yōu)秀的同學(xué)中，隨機(jī)抽取2名，用同學(xué)的編號列出所有可能的抽取結(jié)果，并求這2名同學(xué)的成績都在12.3秒內(nèi)的概率． 解：(1)由所給的成績可知，優(yōu)秀的同學(xué)有4名，設(shè)“從6名同學(xué)中隨機(jī)抽取一名是優(yōu)秀”為事件A，則P(A)＝＝. (2)優(yōu)秀的同學(xué)編號是A1，A2，A3，A5，從這4名同學(xué)中抽取2名，所有的可能情況是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A5)，(A2，A3)，(A2，A5)，(A3，A5)；設(shè)“這2名同學(xué)成績都在12.3以內(nèi)”為事件B，符合要求的情況有：(A1，A3)，(A1，A5)，(A3，A5)，所以P(B)＝＝. 考點(diǎn)二 較復(fù)雜古典概型的概率 　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　 [例2]　(1)(2013·安徽高考)若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會均等，則甲或乙被錄用的概率為(　　) A. B. C. D. (2)某飲料公司對一名員工進(jìn)行測試以便確定其考評級別，公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共5杯，其顏色完全相同，并且其中3杯為A飲料，另外2杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從5杯飲料中選出3杯A飲料．若該員工3杯都選對，則評為優(yōu)秀；若3杯選對2杯，則評為良好；否則評為合格．假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力． ①求此人被評為優(yōu)秀的概率； ②求此人被評為良好及以上的概率． [自主解答]　(1)記事件A為“甲或乙被錄用”．從五人中錄用三人，基本事件有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10種可能，而A的對立事件僅有(丙，丁，戊)一種可能，則A的對立事件的概率為P()＝.故P(A)＝1－P()＝. (2)將5杯飲料編號為：1,2,3,4,5，編號1,2,3表示A飲料，編號4,5表示B飲料，則從5杯飲料中選出3杯的所有可能情況為(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共有10種． 令D表示事件“此人被評為優(yōu)秀”，E表示事件“此人被評為良好”，F(xiàn)表示事件“此人被評為良好及以上”，則①P(D)＝.②因為P(E)＝＝，所以P(F)＝P(D)＋P(E)＝. [答案]　(1)D 【方法規(guī)律】 求較復(fù)雜事件的概率問題的方法 (1)將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解． (2)先求其對立事件的概率，再利用對立事件的概率公式求解． 甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率； (2)若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率． 解：(1)甲校兩名男教師分別用A，B表示，女教師用C表示；乙校男教師用D表示，兩名女教師分別用E，F(xiàn)表示． 從甲校和乙校報名的教師中各任選1名的所有可能的結(jié)果為：(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，共9種． 從中選出兩名教師性別相同的結(jié)果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，共4種， 所以選出的2名教師性別相同的概率為P＝. (2)從甲校和乙校報名的教師中任選2名的所有可能的結(jié)果為：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15種． 從中選出兩名教師來自同一學(xué)校的結(jié)果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共6種． 所以選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率為P＝＝. 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)三 古典概型與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用　　 1．古典概型與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用，是高考命題的熱點(diǎn)，多以解答題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題． 2．高考對古典概型與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用的考查主要有以下幾個命題角度： (1)由頻率來估計概率； (2)由頻率估計部分事件發(fā)生的概率； (3)求方差(或均值)等． [例3]　(2013·天津高考)某產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標(biāo)分別為x，y，z，用綜合指標(biāo)S＝x＋y＋z評價該產(chǎn)品的等級．若S≤4, 則該產(chǎn)品為一等品．現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標(biāo)列表如下： 產(chǎn)品編號 A1 A2 A3 A4 A5 質(zhì)量指標(biāo) (x, y, z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 產(chǎn)品編號 A6 A7 A8 A9 A10 質(zhì)量指標(biāo) (x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)[來源:] (1)利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產(chǎn)品的一等品率； (2)在該樣本的一等品中， 隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品， ①用產(chǎn)品編號列出所有可能的結(jié)果； ②設(shè)事件B為“在取出的2件產(chǎn)品中， 每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S都等于4”， 求事件B發(fā)生的概率． [自主解答]　(1)計算10件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S，如下表： 產(chǎn)品編號 A1 A2 A3[來源:學(xué)§科§網(wǎng)] A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5 其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故該樣本的一等品率為＝0.6，從而可估計該批產(chǎn)品的一等品率為0.6. (2)①在該樣本的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15種． ②在該樣本的一等品中，綜合指標(biāo)S等于4的產(chǎn)品編號分別為A1，A2，A5，A7，則事件B發(fā)生的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6種．所以P(B)＝＝. 古典概型與統(tǒng)計綜合應(yīng)用的常見類型及解題策略 (1)由頻率來估計概率．利用頻率與概率的關(guān)系來估計． (2)由頻率來估計部分事件發(fā)生的概率．往往結(jié)合題設(shè)條件．注意事件的互斥、對立，利用概率的加法公式求解． (3)求方差(或均值)．結(jié)合題設(shè)中的數(shù)據(jù)、方差(或均值公式)求解． 一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)： 轎車A 轎車B 轎車C 舒適型 100 150 z 標(biāo)準(zhǔn)型 300 450 600 按類用分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛． (1)求z的值； (2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本．將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率； (3)用隨機(jī)抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下： 9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2， 把這8輛轎車的得分看成一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率． 解：(1)依據(jù)條件可知，轎車A、B的抽樣，A類轎車抽樣比為. 因此本月共生產(chǎn)轎車×50＝2 000(輛)． 故z＝2 000－(100＋300＋150＋450＋600)＝400(輛)． (2)設(shè)所抽取樣本中有a輛舒適型轎車， 由題意得＝，則a＝2. 因此抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車． 用A1，A2表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3表示3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”， 則基本事件空間包含的基本事件有： (A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10個． 事件E包含的基本事件有： (A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7個． 故P(E)＝，即所求概率為. (3)樣本平均數(shù)＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9. 設(shè)D表示事件“從樣本中任取一個數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5”，則基本事件空間中有8個基本事件，事件D包含的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7，9.3，9.0，共6個，所以P(D)＝，即所求概率為. ————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 3種方法——基本事件個數(shù)的確定方法 (1)列舉法：(見本節(jié)考點(diǎn)一[方法規(guī)律])； (2)列表法：(見本節(jié)考點(diǎn)一[方法規(guī)律])； (3)樹狀圖法：樹狀圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法，適合于有順序的問題及較復(fù)雜問題中基本事件個數(shù)的探求. 2個技巧——求解古典概型問題概率的技巧 (1)較為簡單問題可直接使用古典概型的概率公式計算； (2)較為復(fù)雜的概率問題的處理方法：一是轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式進(jìn)行求解；二是采用間接法，先求事件A的對立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求事件A的概率． 1個構(gòu)建——構(gòu)建不同的概率模型解決問題[來源:] (1)原則：建立概率模型的一般原則是“結(jié)果越少越好”，這就要求選擇恰當(dāng)?shù)挠^察角度，把問題轉(zhuǎn)化為易解決的古典概型問題； (2)作用：一方面，對于同一個實際問題，我們有時可以通過建立不同“模型”來解決，即“一題多解”，在這“多解”的方法中，再尋求較為“簡捷”的解法；另一方面，我們又可以用同一種“模型”去解決很多“不同”的問題，即“多題一解”. 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品