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第五節(jié) 古 典 概 型
考點一
簡單古典概型的求法
[例1] (1)(2013·江西高考)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，從A，B中各任意取一個數，則這兩數之和等于4的概率是( )
A. B. C. D.
(2)(2013·新課標全國卷Ⅰ)從1,2,3,4中任取2個不同的數，則取出的2個數之差的絕對值為2的概率是( )
A. B. C. D.
[自主解答] (1)從A，B中各任意取一個數，共有6種取法，其中兩數之和為4的是(2,2)，
2、(3,1)．所以兩數之和等于4的概率為＝.
(2)任取兩個數共有6種取法，取出兩個數之差的絕對值為2的有(1,3)，(2,4)2種結果．
所以概率為＝.
[答案] (1)C (2)B
【互動探究】
在本例(1)中，若將“則這兩數之和等于4的概率”改為“則這兩數之和等于5的概率”，則結果如何？
解：由原題知從A，B中各任意取一個數共有6種取法，其中兩數之和等于5的是(2,3)，(3,2)，故其概率為＝.
【方法規(guī)律】
1．求古典概型概率的基本步驟
(1)算出所有基本事件的個數n.
(2)求出事件A包含的所有基本事件數m.
(3)代入公式P(A)＝，求出P(
3、A)．
2．基本事件個數的確定方法
(1)列舉法：此法適合于基本事件較少的古典概型．
(2)列表法：此法適合于從多個元素中選定兩個元素的試驗，也可看成是坐標法.
(2014·重慶模擬)有編號為A1，A2，A3，A4，A5，A6的6位同學，進行100米賽跑，得到下面的成績：
編號
A1
A2
A3
A4
A5
A6[來源:]
成績(秒)
12.2[來源:]
12.4
11.8
13.1
11.8
13.3
其中成績在13秒內的同學記為優(yōu)秀．
(1)從上述6名同學中，隨機抽取一名，求這名同學成績優(yōu)秀的概率；
(2)從成績優(yōu)秀的同學中，隨機抽取2名，用同
4、學的編號列出所有可能的抽取結果，并求這2名同學的成績都在12.3秒內的概率．
解：(1)由所給的成績可知，優(yōu)秀的同學有4名，設“從6名同學中隨機抽取一名是優(yōu)秀”為事件A，則P(A)＝＝.
(2)優(yōu)秀的同學編號是A1，A2，A3，A5，從這4名同學中抽取2名，所有的可能情況是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A5)，(A2，A3)，(A2，A5)，(A3，A5)；設“這2名同學成績都在12.3以內”為事件B，符合要求的情況有：(A1，A3)，(A1，A5)，(A3，A5)，所以P(B)＝＝.
考點二
較復雜古典概型的概率
[例
5、2] (1)(2013·安徽高考)若某公司從五位大學畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為( )
A. B. C. D.
(2)某飲料公司對一名員工進行測試以便確定其考評級別，公司準備了兩種不同的飲料共5杯，其顏色完全相同，并且其中3杯為A飲料，另外2杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從5杯飲料中選出3杯A飲料．若該員工3杯都選對，則評為優(yōu)秀；若3杯選對2杯，則評為良好；否則評為合格．假設此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力．
①求此人被評為優(yōu)秀的概率；
②求此人被評為良好及以上的概率．
[自主解答]
6、 (1)記事件A為“甲或乙被錄用”．從五人中錄用三人，基本事件有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10種可能，而A的對立事件僅有(丙，丁，戊)一種可能，則A的對立事件的概率為P()＝.故P(A)＝1－P()＝.
(2)將5杯飲料編號為：1,2,3,4,5，編號1,2,3表示A飲料，編號4,5表示B飲料，則從5杯飲料中選出3杯的所有可能情況為(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，
7、(2,4,5)，(3,4,5)，共有10種．
令D表示事件“此人被評為優(yōu)秀”，E表示事件“此人被評為良好”，F表示事件“此人被評為良好及以上”，則①P(D)＝.②因為P(E)＝＝，所以P(F)＝P(D)＋P(E)＝.
[答案] (1)D
【方法規(guī)律】
求較復雜事件的概率問題的方法
(1)將所求事件轉化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．
(2)先求其對立事件的概率，再利用對立事件的概率公式求解．
甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結果，并求選出的2名教師性別相同
8、的概率；
(2)若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結果，并求選出的2名教師來自同一學校的概率．
解：(1)甲校兩名男教師分別用A，B表示，女教師用C表示；乙校男教師用D表示，兩名女教師分別用E，F表示．
從甲校和乙校報名的教師中各任選1名的所有可能的結果為：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9種．
從中選出兩名教師性別相同的結果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4種，
所以選出的2名教師性別相同的概率為P＝.
(2)從甲校和乙校報名的教師中任選2名的所有可能的結果為：(A，B)
9、，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15種．
從中選出兩名教師來自同一學校的結果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6種．
所以選出的2名教師來自同一學校的概率為P＝＝.
高頻考點
考點三 古典概型與統計的綜合應用
1．古典概型與統計的綜合應用，是高考命題的熱點，多以解答題的形式呈現，試題難度不大，多為容易題或中檔題．
2．高考對古典概型與統計的綜合應用的考查主要有以下幾個命題角度：
10、(1)由頻率來估計概率；
(2)由頻率估計部分事件發(fā)生的概率；
(3)求方差(或均值)等．
[例3] (2013·天津高考)某產品的三個質量指標分別為x，y，z，用綜合指標S＝x＋y＋z評價該產品的等級．若S≤4, 則該產品為一等品．現從一批該產品中，隨機抽取10件產品作為樣本，其質量指標列表如下：
產品編號
A1
A2
A3
A4
A5
質量指標
(x, y, z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
產品編號
A6
A7
A8
A9
A10
質量指標
(x, y, z)
(
11、1,2,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(1,1,1)
(2,1,2)[來源:]
(1)利用上表提供的樣本數據估計該批產品的一等品率；
(2)在該樣本的一等品中， 隨機抽取2件產品，
①用產品編號列出所有可能的結果；
②設事件B為“在取出的2件產品中， 每件產品的綜合指標S都等于4”， 求事件B發(fā)生的概率．
[自主解答] (1)計算10件產品的綜合指標S，如下表：
產品編號
A1
A2
A3[來源:學§科§網]
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1，A2，
12、A4，A5，A7，A9，共6件，故該樣本的一等品率為＝0.6，從而可估計該批產品的一等品率為0.6.
(2)①在該樣本的一等品中，隨機抽取2件產品的所有可能結果為{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15種．
②在該樣本的一等品中，綜合指標S等于4的產品編號分別為A1，A2，A5，A7，則事件B發(fā)生的所有可能結果為{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7
13、}，{A5，A7}，共6種．所以P(B)＝＝.
古典概型與統計綜合應用的常見類型及解題策略
(1)由頻率來估計概率．利用頻率與概率的關系來估計．
(2)由頻率來估計部分事件發(fā)生的概率．往往結合題設條件．注意事件的互斥、對立，利用概率的加法公式求解．
(3)求方差(或均值)．結合題設中的數據、方差(或均值公式)求解．
一汽車廠生產A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產量如下表(單位：輛)：
轎車A
轎車B
轎車C
舒適型
100
150
z
標準型
300
450
600
按類用分層抽樣的方法在這個月生產的轎車中抽取50輛，
14、其中有A類轎車10輛．
(1)求z的值；
(2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本．將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；
(3)用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經檢測它們的得分如下：
9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，
把這8輛轎車的得分看成一個總體，從中任取一個數，求該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的概率．
解：(1)依據條件可知，轎車A、B的抽樣，A類轎車抽樣比為.
因此本月共生產轎車×50＝2 000(輛)．
故z＝2 000－(100＋300＋150＋450＋600)＝400
15、(輛)．
(2)設所抽取樣本中有a輛舒適型轎車，
由題意得＝，則a＝2.
因此抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標準型轎車．
用A1，A2表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3表示3輛標準型轎車，用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，
則基本事件空間包含的基本事件有：
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10個．
事件E包含的基本事件有：
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，
16、(A2，B2)，(A2，B3)，共7個．
故P(E)＝，即所求概率為.
(3)樣本平均數＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.
設D表示事件“從樣本中任取一個數，該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5”，則基本事件空間中有8個基本事件，事件D包含的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7，9.3，9.0，共6個，所以P(D)＝，即所求概率為.
————————————[課堂歸納——通法領悟]————————————————
3種方法——基本事件個數的確定方法
(1)列舉法：(見本節(jié)考點一[方法規(guī)律])；
(2)列表法：(見本節(jié)考點一[方
17、法規(guī)律])；
(3)樹狀圖法：樹狀圖是進行列舉的一種常用方法，適合于有順序的問題及較復雜問題中基本事件個數的探求.
2個技巧——求解古典概型問題概率的技巧
(1)較為簡單問題可直接使用古典概型的概率公式計算；
(2)較為復雜的概率問題的處理方法：一是轉化為幾個互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式進行求解；二是采用間接法，先求事件A的對立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求事件A的概率．
1個構建——構建不同的概率模型解決問題[來源:]
(1)原則：建立概率模型的一般原則是“結果越少越好”，這就要求選擇恰當的觀察角度，把問題轉化為易解決的古典概型問題；
(2)作用：一方面，對于同一個實際問題，我們有時可以通過建立不同“模型”來解決，即“一題多解”，在這“多解”的方法中，再尋求較為“簡捷”的解法；另一方面，我們又可以用同一種“模型”去解決很多“不同”的問題，即“多題一解”.
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高考數學復習：第十章 ：第五節(jié)古典概型突破熱點題型
