新編人教版高中數(shù)學(xué)選修11：3.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 課時(shí)提升作業(yè)二十三 3.3.2 含解析

新編人教版精品教學(xué)資料 課時(shí)提升作業(yè)(二十三) 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) (25分鐘　60分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(2015·天津高二檢測(cè))函數(shù)y=f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),則下列說(shuō)法不正確的是　(　　) A.若函數(shù)在x=x0時(shí)取得極值,則f′(x0)=0 B.若f′(x0)=0,則函數(shù)在x=x0處取得極值 C.若在定義域內(nèi)恒有f′(x)=0,則y=f(x)是常數(shù)函數(shù) D.函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)常數(shù) 【解析】選B.f′(x0)=0是函數(shù)在x=x0處取得極值的必要不充分條件,故B錯(cuò)誤,A,C,D均正確. 2.設(shè)函數(shù)f(x)=xex,則　(　　) A.x=1為f(x)的極大值點(diǎn) B.x=-1為f(x)的極大值點(diǎn) C.x=1為f(x)的極小值點(diǎn) D.x=-1為f(x)的極小值點(diǎn) 【解析】選D.f′(x)=ex+xex,令f′(x)=0得x=-1,當(dāng)x<-1時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x>-1時(shí),f′(x)>0,故x=-1時(shí)取極小值. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)f(x)=2x+lnx,則　(　　) A.x=12為f(x)的極大值點(diǎn) B.x=12為f(x)的極小值點(diǎn) C.x=2為f(x)的極大值點(diǎn) D.x=2為f(x)的極小值點(diǎn) 【解析】選D.f′(x)=-2x2+1x=-2+xx2,令f′(x)=0得,x=2,當(dāng)x<2時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x>2時(shí),f′(x)>0,故x=2時(shí)取極小值. 3.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍 是　(　　) A.-1<a<2 B.-3<a<6 C.a<-1或a>2 D.a<-3或a>6 【解析】選D.f′(x)=3x2+2ax+a+6,函數(shù)f(x)有極大值和極小值,則 f′(x)=3x2+2ax+a+6=0有兩不相等的實(shí)數(shù)根,即有Δ=(2a)2-12(a+6)>0, 解得a<-3或a>6. 4.(2015·濟(jì)寧高二檢測(cè))已知f(x)=x3-px2-qx的圖象與x軸切于(1,0),則f(x)的極值情況是　(　　) A.極大值為f13,極小值為f(1) B.極大值為f(1),極小值為f13 C.極大值為f13,沒(méi)有極小值 D.極小值為f(1),沒(méi)有極大值 【解析】選A.由函數(shù)f(x)=x3-px2-qx的圖象與x軸切于點(diǎn)(1,0)得:p+q=1,p2+4q=0.解出p=2,q=-1, 則函數(shù)f(x)=x3-2x2+x, 則f′(x)=3x2-4x+1,令f′(x)=0得到:x=1或x=13. 當(dāng)x≥1或x≤13時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)13<x<1時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,所以極大值為f13,極小值為f(1). 【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2014·宿州高二檢測(cè))設(shè)a為實(shí)數(shù),求函數(shù)f(x)=ex-2x+2a,x∈R的單調(diào)區(qū)間與極值. 【解析】因?yàn)閒′(x)=ex-2,令f′(x)=0, 解得x=ln2, 當(dāng)x<ln2時(shí),f′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減; 當(dāng)x>ln2時(shí),f′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增; 故函數(shù)的減區(qū)間為(-∞,ln2), 增區(qū)間為(ln2,+∞), 當(dāng)x=ln2時(shí)函數(shù)取極小值, 極小值f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2-2ln2+2a. 5.若a>0,b>0,且函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值,則ab的最大值等 于　(　　) A.2 B.3 C.6 D.9 【解題指南】利用函數(shù)在x=1處有極值得到a,b的關(guān)系式,再利用基本不等式求最大值. 【解析】選D.f′(x)=12x2-2ax-2b, 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值, 所以f′(1)=12-2a-2b=0, 即a+b=6,則ab≤a+b22=9(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí),等號(hào)成立). 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.函數(shù)f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1時(shí)有極值0,則m+n=　　　　. 【解析】f′(x)=3x2+6mx+n,則f'(-1)=0,f(-1)=0, 代入解得m=2,n=9,或m=1,n=3, 當(dāng)m=1,n=3時(shí), f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0, 函數(shù)f(x)無(wú)極值,舍去. 故m=2,n=9,故m+n=11. 答案:11 7.(2015·陜西高考)函數(shù)y=xex在其極值點(diǎn)處的切線方程為　　　　. 【解析】依題意得y′=ex+xex, 令y′=0,可得x=-1, 所以y=-1e. 因此函數(shù)y=xex在其極值點(diǎn)處的切線方程為y=-1e. 答案:y=-1e 8.(2015·邢臺(tái)高二檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極值10,則f(-1)=　　　　. 【解析】f′(x)=3x2+2ax+b,由題意得 f'(1)=0,f(1)=10,得3+2a+b=0,1+a+b+a2=10, 解得:a=-3,b=3,或a=4,b=-11.所以f(x)=x3-3x2+3x+9或f(x)=x3+4x2-11x+16,故f(-1)=2或f(-1)=30. 答案:2,30 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.(2015·安徽高考)已知函數(shù)f(x)=ax(x+r)2(a>0,r>0), (1)求f(x)的定義域,并討論f(x)的單調(diào)性. (2)若ar=400,求f(x)在(0,+∞)內(nèi)的極值. 【解析】(1)由題意知x≠-r, 所以定義域?yàn)?∞,-r∪(-r,+∞), f(x)=ax(x+r)2=axx2+2rx+r2, f′(x)=a(x2+2rx+r2)-ax(2x+2r)(x2+2rx+r2)2=a(r-x)(x+r)(x+r)4, 所以當(dāng)x<-r或x>r時(shí),f′(x)<0, 當(dāng)-r<x<r時(shí),f′(x)>0. 因此,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是-∞,-r,(r,+∞);f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-r,r). (2)由(1)可知f(x)在(0,r)上單調(diào)遞增,在(r,+∞)上單調(diào)遞減,因此,x=r是f(x)的極大值點(diǎn),所以f(x)在(0,+∞)內(nèi)的極大值為f(r)=ar(2r)2=a4r=100. 10.設(shè)f(x)=(x2-2x+2-a2)ex, (1)討論該函數(shù)的單調(diào)性. (2)設(shè)g(a)為函數(shù)f(x)的極大值,證明:g(a)<2. 【解析】(1)因?yàn)閒(x)=(x2-2x+2-a2)ex, 所以f′(x)=(x-a)(x+a)ex, ①a>0,由f′(x)>0,可得x<-a或x>a,由f′(x)<0,可得-a<x<a; ②a<0,由f′(x)>0,可得x<a或x>-a,由f′(x)<0,可得a<x<-a; ③a=0,函數(shù)在R上遞增, 綜上,a>0,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-a),(a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-a,a);a<0,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,a),(-a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(a,-a);a=0,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞). (2)由(1)知g(a)=2(a+1)e-a,a>0,2(-a+1)ea,a<0, 因?yàn)間(-a)=2(-a+1)ea,a<0,2(a+1)e-a,a>0=g(a), 所以g(a)是偶函數(shù), a<0時(shí),g(a)=2(-a+1)ea,g′(a)=-2aea>0, 所以g(a)在(-∞,0)上為增函數(shù),所以g(a)<2, a>0時(shí),g(a)=g(-a)<2, 綜上,g(a)<2. (20分鐘　40分) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.(2015·西安高二檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=13x3+12ax2+2bx+c(a,b,c∈R),且函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)取得極大值,在區(qū)間(1,2)內(nèi)取得極小值,則z=(a+3)2+b2的取值范圍為　(　　) A.22,2 B.12,4 C.(1,2) D.(1,4) 【解析】選B.f′(x)=x2+ax+2b,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)取得極大值, 在區(qū)間(1,2)內(nèi)取得極小值,所以f'(0)>0,f'(1)<0,f'(2)>0. 即b>0,a+2b+1<0,a+b+2>0,畫出可行域如圖所示,z=(a+3)2+b2表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到(-3,0)距離的平方,由圖可知,距離的最小值為|-3+0+2|2=22,距離的最大值為2(均取不到),則z的取值范圍為12,4. 2.(2015·邢臺(tái)高二檢測(cè))若f(x)=13x3-12ax2+x+1在12,3上有極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　(　　) A.2,52 B.2,103 C.2,103 D.2,52 【解題指南】利用函數(shù)在12,3上有極值點(diǎn),分離出a后求a的范圍. 【解析】選B.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x33-a2x2+x+1, 所以f′(x)=x2-ax+1, 若函數(shù)f(x)=x33-a2x2+x+1在區(qū)間12,3上有極值點(diǎn), 則f′(x)=x2-ax+1在區(qū)間12,3內(nèi)有零點(diǎn). 由x2-ax+1=0可得a=x+1x, 因?yàn)閤∈12,3,故a=x+1x在12,1上是減函數(shù),在(1,3)上是增函數(shù). 所以2≤a<103. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)y=x3-ax在(0,1)上有極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍 是　(　　) A.(3,+∞) B.(-∞,0) C.(0,1) D.(0,3) 【解析】選D.y′=3x2-a,解y′=0得x=±a3, 則0<a3<1,解得0<a<3. 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.已知函數(shù)f(x)=mx+x在x=14處有極值,則m=　　　　. 【解析】f′(x)=m+12x, 則f′14=m+1214=m+1=0,解得m=-1. 答案:-1 4.如圖是函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d的大致圖象,則x12+x22=　　　　. 【解題指南】根據(jù)函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)求出b,c,d,又得到x1,x2是方程f′(x)=0的根,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求值. 【解析】由圖象可知f(0)=d=0,又f(-1)=0,f(2)=0, 解得b=-1,c=-2,故f(x)=x3-x2-2x, f′(x)=3x2-2x-2, 由圖象可知x1,x2是方程3x2-2x-2=0的兩個(gè)根, 故x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=169. 答案:169 三、解答題(每小題10分,共20分) 5.已知函數(shù)f(x)=(x2+ax+a)ex(a≤2,x∈R) (1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間. (2)是否存在實(shí)數(shù)a,使f(x)的極大值為3?若存在,求出a的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解析】(1)f(x)=(x2+x+1)ex,f′(x)=(2x+1)ex+(x2+x+1)ex=(x2+3x+2)ex, 當(dāng)f′(x)>0時(shí),解得x<-2或x>-1, 當(dāng)f′(x)<0時(shí),解得-2<x<-1, 所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-2),(-1,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(-2,-1). (2)f′(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+a)ex=[x2+(2+a)x+2a]ex=(x+a)(x+2)ex=0, 所以x=-a,或x=-2, 列表如下:因?yàn)閍≤2,所以-a≥-2. x (-∞,-2) -2 (-2,-a) -a (-a,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 極大 ↘ 極小 ↗ 由表可知 f(x)極大=f(-2)=(4-2a+a)e-2=3, 解得a=4-3e2≤2,所以存在實(shí)數(shù)a≤2,使f(x)的極大值為3. 6.(2015·重慶高考)設(shè)函數(shù)f(x)=3x2+axex(a∈R). (1)若f(x)在x=0處取得極值,確定a的值,并求此時(shí)曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程. (2)若f(x)在3,+∞上為減函數(shù),求a的取值范圍. 【解析】(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f′(x) =(6x+a)ex-(3x2+ax)exex2=-3x2+(6-a)x+aex. 因?yàn)閒(x)在x=0處取得極值,所以f′(0)=0, 即a=0. 當(dāng)a=0時(shí),f(x)=3x2ex,f′(x)=-3x2+6xex,故f(1)=3e,f′(1)=3e,從而 y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-3e=3e(x-1),化簡(jiǎn)得3x-ey=0. (2)由(1)知f′(x)=-3x2+(6-a)x+aex, 令g(x)=-3x2+(6-a)x+a, 由g(x)=0解得x1=6-a-a2+366,x2=6-a+a2+366. 當(dāng)x<x1時(shí),g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)為減函數(shù); 當(dāng)x1<x<x2時(shí),g(x)>0,即f′(x)>0,故f(x)為增函數(shù); 當(dāng)x>x2時(shí),g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)為減函數(shù); 由f(x)在3,+∞上為減函數(shù), 知x2=6-a+a2+366≤3,解得a≥-92, 故a的取值范圍為-92,+∞. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知f(x)=x3+bx2+cx+2. ①若f(x)在x=1時(shí)有極值-1,求b,c的值. ②在①的條件下,若函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=k的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 【解析】①因?yàn)閒(x)=x3+bx2+cx+2, 所以f′(x)=3x2+2bx+c. 由已知得f′(1)=0,f(1)=-1, 所以3+2b+c=0,1+b+c+2=-1, 解得b=1,c=-5. 經(jīng)驗(yàn)證,b=1,c=-5符合題意. ②由①知f(x)=x3+x2-5x+2, f′(x)=3x2+2x-5. 由f′(x)=0得x1=-53,x2=1. 當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如表: x -∞,-53 -53 -53,1 1 (1,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 根據(jù)表格,當(dāng)x=-53時(shí)函數(shù)取得極大值且極大值為f-53=22927,當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取得極小值且極小值為f(1)=-1. 根據(jù)題意結(jié)合上圖可知k的取值范圍為-1,22927. 關(guān)閉Word文檔返回原板塊