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1、
基礎回扣練——集合與常用邏輯用語
(建議用時:60分鐘)
一、選擇題
1.(20xx·新課標全國Ⅰ卷)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},則A∩B=( ).
A.{1,4} B.{2,3}
C.{9,16} D.{1,2}
解析 ∵B={x|x=n2,n∈A}={1,4,9,16},∴A∩B={1,4}.
答案 A
2.(20xx·上饒模擬)設全集U=R,集合M={x|x>1},P={x|x2>1},則下列關系中正確的是( ).
A.M=P B.PM
C.MP D.(?UM)∩P=?
解析 ∵x2>1,∴x>1
2、或x<-1.故MP.
答案 C
3.(20xx·寶雞模擬)定義集合運算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B},設A={1,2},B={0, 2},則集合A*B的所有元素之和是( ).
A.0 B.2
C.3 D.6
解析 ∵z=xy,x∈A,y∈B,且A={1,2}, B={0,2},∴z的取值有:1×0=0;1×2=2;2×0=0;2×2=4.故A*B={0,2,4}.∴集合A*B的所有元素之和為0+2+4=6.
答案 D
4.(20xx·陜西五校質檢)已知兩個非空集合A={x|x(x-3)<4},B={x|≤a},若A∩B=B,則實數a的取值范圍是( ).
3、A.-1<a<1 B.-2<a<2
C.0≤a<2 D.a<2
解析 解不等式x(x-3)<4,得-1<x<4,所以A={x|-1<x<4};又B是非空集合,所以a≥0,B={x|0≤x≤a2}.而A∩B=B?B?A,借助數軸可知a2<4,解得0≤a<2,故選C.
答案 C
5.(20xx·渭南質檢)若集合P={1,2,3,4},Q={x|0<x<5,x∈R},則下列論斷正確的是( ).
A.x∈P是x∈Q的充分不必要條件
B.x∈P是x∈Q的必要不充分條件
C.x∈P是x∈Q 的充分必要條件
D.x∈P是x∈Q的既不充分也不必要條件
解析 P為Q的真子集,故P中元素一
4、定在Q中,反之不成立.故選A.
答案 A
6.(20xx·湖南卷)“1<x<2”是“x<2”成立的( ).
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
解析 當1<x<2時,必有x<2;而x<2時,如x=0,推不出1<x<2,所以“1<x<2”是“x<2”的充分不必要條件.
答案 A
7.(20xx·新課標全國Ⅰ卷)已知命題p:任意x∈R,2x<3x;命題q:存在x0∈R,x=1-x,則下列命題中為真命題的是( ).
A.p且q B.綈p且q
C.p且綈q D.綈p且綈q
解析 當x≤0時命題p為假命題,分別作出函數y=x
5、3,y=1-x2的圖像(圖略),易知命題q為真命題.故選B.
答案 B
8.(20xx·江西師大附中調研)下列命題為真命題的是( ).
A.若p或q為真命題,則p且q為真命題
B.“x=5”是“x2-4x-5=0”的充分不必要條件
C.命題“若x<-1,則x2-2x-3>0”的否命題為“若x<-1,則x2-2x-3≤0”
D.已知命題p:存在x∈R,使得x2+x-1<0,則綈p:任意x∈R,使得x2+x-1>0
解析 對于A,“p真q假”時,p或q為真命題,但p且q為假命題,故A錯;對于C,否命題應為“若x≥-1,則x2-2x-3≤0”,故C錯;對于D,綈p應為“任意x∈R,使
6、得x2+x-1≥0”,所以D錯;故選B.
答案 B
9.(20xx·高新一中檢測)已知p:≤0,q:4x+2x-m≤0,若p是q的充分條件,則實數m的取值范圍是( ).
A.(2+,+∞) B.(-∞,2+]
C.[2,+∞) D.[6,+∞)
解析 ≤0?0<x≤1?1<2x≤2,由題意知,22+2-m≤0,即m≥6,故選D.
答案 D
10.已知數列{an}是等比數列,命題p:“若a1<a2<a3,則數列{an}是遞增數列”,則在命題p及其逆命題、否命題和逆否命題中,真命題的個數為( ).
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 若已知a1<a2<a3,則設
7、數列{an}的公比為q,有a1<a1q<a1q2.當a1>0時,解得q>1,此時數列{an}是遞增數列;當a1<0時,解得0<q<1,此時數列{an}也是遞增數列.反之,若數列{an}是遞增數列,顯然有a1<a2<a3,所以命題p及其逆命題都是真命題.由于命題p的逆否命題和命題p是等價命題,命題p的否命題和命題p的逆命題互為逆否命題,也是等價命題,所以命題p的否命題和逆否命題都是真命題,故選D.
答案 D
二、填空題
11.(20xx·江蘇卷)集合{-1,0,1}共有________個子集.
解析 所給集合的子集個數為23=8個.
答案 8
12.已知集合A={0,2},B={1,
8、a2},若A∪B={0,1,2,4},則實數a的值為________.
解析 由題意知a2=4,所以a=±2.
答案 ±2
13.已知f(x)=ln(1+x)的定義域為集合M,g(x)=2x+1的值域為集合N,則M∩N=________.
解析 由對數與指數函數的知識,得M=(-1,+∞),N=(1,+∞),故M∩N=(1,+∞).
答案 (1,+∞)
14.已知命題p:“存在x0∈(0,+∞),x0>”,命題p的否定為命題q,則q是“________”;q的真假為________.(填“真”或“假”)
解析 全稱命題的否定為特稱命題,所以命題q為:任意x∈(0,+∞),x≤.
9、
答案 任意x∈(0,+∞),x≤ 假
15.(20xx·吉安模擬)若命題“存在x∈R,使得x2+(a-1)x+1<0”是真命題,則實數a的取值范圍是________.
解析 ∵存在x∈R,使得x2+(a-1)x+1<0是真命題,
∴Δ=(a-1)2-4>0,即(a-1)2>4,
∴a-1>2或a-1<-2,
∴a>3或a<-1.
答案 (-∞,-1)∪(3,+∞)
16.(20xx·昆明質檢)下面有三個命題:
①關于x的方程mx2+mx+1=0(m∈R)的解集恰有一個元素的充要條件是m=0或m=4;
②存在m0∈R,使函數f(x)=m0x2+x是奇函數;
③命題“x,y是
10、實數,若x+y≠2,則x≠1或y≠1”是真命題.
其中真命題的序號是________.
解析?、僦校攎=0時,原方程無解,故①是假命題;②中,當m=0時,f(x)=x顯然是奇函數,故②是真命題;③中,命題的逆否命題“x,y是實數,若x=1且y=1,則x+y=2”為真命題,故原命題為真命題,因此③為真命題.
答案 ②③
三、解答題
17.已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R}.
(1)若A∩B=[1,3],求實數m的值;
(2)若A??RB,求實數m的取值范圍.
解 A={x|-1≤x≤3},
B={x|m-2≤x≤m+
11、2}.
(1)∵A∩B=[1,3],∴得m=3.
(2)?RB={x|x<m-2,或x>m+2}.
∵A??RB,∴m-2>3或m+2<-1.
∴m>5或m<-3.
故實數m的取值范圍是(-∞,-3)∪(5,+∞).
18.已知命題p:關于x的不等式ax>1(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0},命題q:函數y=lg(ax2-x+a)的定義域為R,如果p或q為真命題,p且q為假命題,求實數a的取值范圍.
解 由關于x的不等式ax>1(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0},知0<a<1;
由函數y=lg(ax2-x+a)的定義域為R,知不等式ax2-x+a>0的解集為R,則解得a>.
因為p或q為真命題,p且q為假命題,所以p和q一真一假,當p假,q真時,由?a>1;
當p真,q假時,由?0<a≤.
綜上,知實數a的取值范圍是∪(1,+∞).