2、AE＝2，
由余弦定理得BE＝＝＝1，
所以BE＝1.
2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，點M為棱PC的中點，點E，F(xiàn)分別為棱AB，BC上的動點(E，F(xiàn)與所在棱的端點不重合)，且滿足BE＝BF.
(1)證明：平面PEF⊥平面MBD；
(2)當三棱錐F-PEC的體積最大時，求二面角C-MF-E的余弦值．
解：(1)證明：連接AC交BD于N，連接MN.
因為底面ABCD為正方形，
所以AC⊥BD，AN＝CN，
又PM＝MC，所以MN∥PA.
因為PA⊥底面ABCD，
所以MN⊥底面ABCD，
因為AC?底面ABCD，
3、
所以AC⊥MN.
因為BD∩MN＝N，BD?平面MBD，MN?平面MBD，
所以AC⊥平面MBD.
因為BE＝BF，BA＝BC，所以＝，即EF∥AC.
所以EF⊥平面MBD.
因為EF?平面PEF，所以平面PEF⊥平面MBD.
(2)設BE＝BF＝x，則S△CEF＝x(2－x)．
又PA＝2，所以VF-PEC＝VP-EFC＝×x(2－x)×2＝－(x－1)2＋.
當三棱錐F-PEC的體積最大時，x＝1，即E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點．
分別以A為坐標原點，，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz.
則C(2,2,0)，F(xiàn)(2,1,0)
4、，E(1,0,0)，M(1,1,1)，
＝(1,0，－1)，＝(－1，－1,0)，＝(0,1,0)．
設n＝(x1，y1，z1)是平面MEF的法向量，
則即可取n＝(1，－1,1)．
設m＝(x2，y2，z2)是平面MCF的法向量，
則即可取m＝(1,0,1)．
則cos〈n，m〉＝＝＝.
由圖知所求二面角為鈍角，
所以二面角C-MF-E的余弦值為－.
3．某客戶準備在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為三級過濾，使用壽命為十年．如圖所示，兩個一級過濾器采用并聯(lián)安裝，二級過濾器與三級過濾器為串聯(lián)安裝．
其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)．在使用過程中，一級濾芯和二級濾芯都需
5、要不定期更換(每個濾芯是否需要更換相互獨立)，三級濾芯無需更換．若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯，則一級濾芯每個80元，二級濾芯每個160元．若客戶在使用過程中單獨購買濾芯，則一級濾芯每個200元，二級濾芯每個400元．現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數(shù)量，為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關數(shù)據(jù)制成的圖表，其中圖1是根據(jù)200個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的柱狀圖，表1是根據(jù)100個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表．
二級濾芯更換的個數(shù)
5
6
頻數(shù)
60
40
表1
以200個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生
6、的概率，以100個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率．
(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為30的概率；
(2)記X表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的一級濾芯總數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望；
(3)記m，n分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù)，若m＋n＝28，且n∈{5,6}，以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù)，試確定m，n的值．
解：(1)由題意可知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為30，則該套凈水系統(tǒng)中的兩個一級過濾器均需更換12個濾芯，二級過濾
7、器需要更換6個濾芯．
設“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為30”為事件A.
因為一個一級過濾器需要更換12個濾芯的概率為0.4，二級過濾器需要更換6個濾芯的概率為0.4，
所以P(A)＝0.4×0.4×0.4＝0.064.
(2)由柱狀圖可知，
一個一級過濾器需要更換的濾芯個數(shù)為10,11,12，對應的概率分別為0.2,0.4,0.4，
由題意，X可能的取值為20,21,22,23,24，并且
P(X＝20)＝0.2×0.2＝0.04，
P(X＝21)＝0.2×0.4×2＝0.16，
P(X＝22)＝0.4×0.4＋0.2×0.4×2＝0.32，
P(X
8、＝23)＝0.4×0.4×2＝0.32，
P(X＝24)＝0.4×0.4＝0.16.
所以X的分布列為
X
20
21
22
23
24
P
0.04
0.16
0.32
0.32
0.16
E(X)＝20×0.04＋21×0.16＋22×0.32＋23×0.32＋24×0.16＝22.4.
(3)因為m＋n＝28，n∈{5,6}，
所以若m＝22，n＝6，
則該客戶在十年使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為
22×80＋200×0.32＋400×0.16＋6×160＝2 848.
若m＝23，n＝5，
則該客戶在十年使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用
9、的期望值為
23×80＋200×0.16＋5×160＋400×0.4＝2 832.
故m，n的值分別為23,5.
選考系列(請在下面的兩題中任選一題作答)
4．[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ2＝，點P的極坐標為.
(1)求C的直角坐標方程和P的直角坐標；
(2)設l與C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，求|PM|.
解：(1)由ρ2＝，得ρ2＋ρ2sin2θ＝2，①
將ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ代入①并整理得，曲線C的直角坐標方程為
10、＋y2＝1.
設點P的直角坐標為(x，y)，
因為點P的極坐標為，
所以x＝ρcos θ＝cos＝1，y＝ρsin θ＝sin＝1.
所以點P的直角坐標為(1,1)．
(2)法一：將代入＋y2＝1，并整理得41t2＋110t＋25＝0，
Δ＝1102－4×41×25＝8 000>0，故可設方程的兩根分別為t1，t2，
則t1，t2為A，B對應的參數(shù)，且t1＋t2＝－.
依題意，點M對應的參數(shù)為，
所以|PM|＝＝.
法二：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
則x0＝，y0＝.
由消去t，得y＝x－.將y＝x－代入＋y2＝1，并整理得41x2－16x
11、－16＝0，
因為Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝2 880>0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝－.
所以x0＝，y0＝x0－＝×－＝－，即M.
所以|PM|＝＝＝.
5．[選修4－5：不等式選講]
已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|ax－3|(a>0)．
(1)當a＝2時，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若y＝f(x)的圖象與x軸圍成直角三角形，求a的值．
解：(1)當a＝2時，不等式f(x)>1即|x＋1|－|2x－3|>1.
當x≤－1時，原不等式可化為－x－1＋2x－3>1，
解得x>5，因為x≤－1，所以此時原不等式無解；
當－1
12、化為x＋1＋2x－3>1，
解得x>1，所以1時，原不等式可化為x＋1－2x＋3>1，解得x<3，所以0，所以>0，
所以f(x)＝
因為a>0，所以f(－1)＝－a－3<0，f＝1＋>0.
當01時，f(x)的圖象如圖3所示，要使得y＝f(x)的圖象與x軸圍成直角三角形，則(1－a)(a＋1)＝－1，解得a＝±，因為a>1，所以a＝.
綜上，所求a的值為.
法二：因為a>0，所以>0，
所以f(x)＝
若y＝f(x)的圖象與x軸圍成直角三角形，
則(a－1)(a＋1)＝－1或(a＋1)(1－a)＝－1，
解得a＝0(舍去)或a＝或a＝－(舍去)．
經(jīng)檢驗，a＝符合題意，
所以所求a的值為.
備戰(zhàn)新課標高考理科數(shù)學2020：“3＋1”保分大題強化練八 Word版含解析
