新編高考數(shù)學(xué)文二輪復(fù)習(xí)練習(xí)：第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題2 數(shù)列 專題限時(shí)集訓(xùn)5 Word版含答案

專題限時(shí)集訓(xùn)(五)　數(shù)列的通項(xiàng)與求和 [建議A、B組各用時(shí)：45分鐘] [A組　高考達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，則an＝(　　) A．2n＋1　　　 B．2n　　　 C．2n－1　　　 D．2n－2 A　[由Sn＝2an－4可得Sn－1＝2an－1－4(n≥2)，兩式相減可得an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．又a1＝2a1－4，a1＝4，所以數(shù)列{an}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則an＝4×2n－1＝2n＋1，故選A.] 2．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，且當(dāng)n≥2時(shí)，an＝an－1，則a5＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024063】 A. B. C.5 D．6 A　[因?yàn)閍1＝1，且當(dāng)n≥2時(shí)，an＝an－1，則＝，所以a5＝····a1，即a5＝××××1＝.故選A.] 3.＋＋＋…＋的值為(　　) A. B.－ C.－ D.－＋ C　[∵＝＝ ＝， ∴＋＋＋…＋＝ ＝ ＝－.] 4．(20xx·廣州二模)數(shù)列{an}滿足a2＝2，an＋2＋(－1)n＋1an＝1＋(－1)n(n∈N*)，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S100＝(　　) A．5 100 B．2 550 C.2 500 D．2 450 B　[由an＋2＋(－1)n＋1an＝1＋(－1)n(n∈N*)，可得a1＋a3＝a3＋a5＝a5＋a7＝…＝0，a4－a2＝a6－a4＝a8－a6＝…＝2，由此可知，數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)相鄰兩項(xiàng)的和為0，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為a2＝2、公差為2的等差數(shù)列，所以S100＝50×0＋50×2＋×2＝2 550，故選B.] 5．(20xx·呼和浩特一模)等差數(shù)列{an}中，a2＝8，前6項(xiàng)的和S6＝66，設(shè)bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，則Tn＝(　　) A．1－ B．1－ C.－ D.－ D　[由題意得解得 所以an＝2n＋4，因此bn＝＝＝－，所以Tn＝－＋－＋…＋－＝－，故選D.] 二、填空題 6．(20xx·西安模擬)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，an＝4Sn－3，則S4＝__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024064】 　[∵an＝4Sn－3，∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝4a1－3，解得a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，∵4Sn＝an＋3，∴4Sn－1＝an－1＋3，∴4an＝an－an－1，∴＝－，∴{an}是以1為首項(xiàng)，－為公比的等比數(shù)列，∴S4＝＝×＝.] 7．(20xx·東北三省四市聯(lián)考)《九章算術(shù)》是我國(guó)第一部數(shù)學(xué)專著，下面有源自其中的一個(gè)問題：“今有金箠(chuí)，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤．問金箠重幾何？”意思：“現(xiàn)有一根金箠，長(zhǎng)5尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問金箠重多少斤？”根據(jù)上面的已知條件，若金箠由粗到細(xì)的重量是均勻變化的，則答案是________． 15斤　[由題意可知金箠由粗到細(xì)各尺的重量成等差數(shù)列，且a1＝4，a5＝2，則S5＝＝15，故金箠重15斤．] 8．(20xx·廣州二模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝12，Sn＝kn2－1(n∈N*)，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為__________． 　[令n＝1得a1＝S1＝k－1，令n＝2得S2＝4k－1＝a1＋a2＝k－1＋12，解得k＝4，所以Sn＝4n2－1，＝＝＝，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為＋＋…＋＝＝.] 三、解答題 9．(20xx·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和． [解] (1)因?yàn)閍1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故當(dāng)n≥2時(shí)， 2分 a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)， 兩式相減得(2n－1)an＝2， 所以an＝(n≥2)． 4分 又由題設(shè)可得a1＝2，滿足上式， 所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝． 6分 (2)記的前n項(xiàng)和為Sn. 由(1)知＝＝－，9分 則Sn＝－＋－＋…＋－＝． 12分 10．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024065】 [解] (1)因?yàn)閍1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，① 所以當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，② 2分 ①－②得3n－1an＝，所以an＝(n≥2)． 6分 在①中，令n＝1，得a1＝，滿足an＝，所以an＝(n∈N*)． 6分 (2)由(1)知an＝，故bn＝＝n×3n. 則Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，③ 3Sn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1，④ 8分 ③－④得－2Sn＝3＋32＋33＋34＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1， 11分 所以Sn＝＋(n∈N*)． 12分 [B組　名校沖刺] 一、選擇題 1．已知函數(shù)y＝loga(x－1)＋3(a>0，a≠1)所過(guò)定點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別是等差數(shù)列{an}的第二項(xiàng)與第三項(xiàng)，若bn＝，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則T10等于(　　) A.　　　　　　 B． C. D. B　[y＝loga(x－1)＋3恒過(guò)定點(diǎn)(2,3)， 即a2＝2，a3＝3，又{an}為等差數(shù)列， ∴an＝n，∴bn＝， ∴T10＝1－＝，故選B.] 2．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問第二天走了(　　) A．192里 B．96里 C．48里 D．24里 B　[由題意，知每天所走路程形成以a1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則＝378，解得a1＝192，則a2＝96，即第二天走了96里．故選B.] 3．(20xx·湘潭三模)已知Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若m＞T10＋1 013恒成立，則整數(shù)m的最小值為(　　) A．1 026 B．1 025 C．1 024 D．1 023 C　[由＝1＋得Tn＝n＋＝n＋1－， 所以T10＋1 013＝11－＋1 013＝1 024－， 又m＞T10＋1 013，所以整數(shù)m的最小值為1 024，故選C.] 4．已知數(shù)列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，則|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于(　　) A．445 B．765 C．1 080 D．3 105 B　[∵an＋1＝an＋3，∴an＋1－an＝3，∴{an}是以－60為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列， ∴an＝－60＋3(n－1)＝3n－63. 令an≤0，得n≤21，∴前20項(xiàng)都為負(fù)值． ∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a20)＋a21＋…＋a30＝－2S20＋S30. ∵Sn＝n＝×n，∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝765，故選B.] 二、填空題 5．(20xx·山西四校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，則S2 016＝__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024066】 3×21 008－3　[∵數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n①， ∴n＝1時(shí)，a2＝2，n≥2時(shí)，an·an－1＝2n－1②，∵①÷②得＝2，∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，∴S2 016＝＋＝3×21 008－3.] 6．(20xx·合肥二模)已知數(shù)列{an}中，a1＝2，且＝4(an＋1－an)(n∈N*)，則其前9項(xiàng)的和S9＝________. 1 022　[由＝4(an＋1－an)可得a－4an＋1an＋4a＝0，則(an＋1－2an)2＝0，即an＋1＝2an，又a1＝2，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)和公比都是2的等比數(shù)列，則其前9項(xiàng)的和S9＝＝210－2＝1 022.] 三、解答題 7．(20xx·福州一模)已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其公差為2，a2a4＝4a3＋1. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求a1＋a3＋a9＋…＋a3n. [解](1)依題意，an＝a1＋2(n－1)，an＞0． 2分 因?yàn)閍2a4＝4a3＋1， 所以(a1＋2)(a1＋6)＝4(a1＋4)＋1， 4分 所以a＋4a1－5＝0， 解得a1＝1或a1＝－5(舍去)， 5分 所以an＝2n－1． 6分 (2)由(1)知，a1＋a3＋a9＋…＋a3n ＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×32－1)＋…＋(2×3n－1)7分 ＝2(1＋3＋32＋…＋3n)－(n＋1) 9分 ＝2×－(n＋1)11分 ＝3n＋1－n－2． 12分 8．已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)滿足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0. (1)令cn＝，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝3n－1，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn. [解](1)因?yàn)閍nbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0(bn≠0，n∈N*)， 所以－＝2， 2分 即cn＋1－cn＝2.3分 又c1＝＝1， 所以數(shù)列{cn}是以首項(xiàng)c1＝1，公差d＝2的等差數(shù)列，故cn＝2n－1. 5分 (2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1， 7分 于是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和 Sn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n－1， 8分 3Sn＝1·31＋3·32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n， 9分 相減得－2Sn＝1＋2·(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)3n，11分 所以Sn＝(n－1)3n＋1． 12分