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1、
課時作業(yè)43 空間幾何體的表面積與體積
一、選擇題
1.如圖是某一幾何體的三視圖,則這個幾何體的體積為( )
A.4 B.8
C.16 D.20
解析:由三視圖知,此幾何體是一個三棱錐,底面為一邊長為6,高為2的三角形,三棱錐的高為4,所以體積為V=××6×2×4=8.故選B.
答案:B
2.(20xx·黃岡中學(xué)月考)某空間組合體的三視圖如圖所示,則該組合體的體積為( )
A.48 B.56
C.64 D.72
解析:該組合體由兩個棱柱組成,上面的棱柱體積為2×4×5=40,下面的棱柱體積為4×6×1=24,故組合體的體積為64.故選C.
2、
答案:C
3.以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于( )
A.2π B.π
C.2 D.1
解析:以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所得的圓柱的底面半徑為1,母線長為1.故側(cè)面積為2πr·l=2π·1·1=2π.
答案:A
4.如圖所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為1,且AA1⊥底面ABC,則三棱錐B1-ABC1的體積為( )
A. B.
C. D.
解析:在△ABC中,BC邊上的高為,即棱錐A-BB1C1的高為,又S△BB1C1=,所以VB1-ABC1=VA-BB1C1=×
3、×=.
答案:A
5.(20xx·江西九江一模)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1,粗線是一個棱錐的三視圖,則此棱錐的表面積為( )
A.6+4+2 B.8+4
C.6+6 D.6+2+4
解析:直觀圖是四棱錐P-ABCD,如圖所示,S△PAB=S△PAD=S△PDC=×2×2=2,S△PBC=×2×2×sin60°=2,S四邊形ABCD=2×2=4,因此所求棱錐的表面積為6+4+2.故選A.
答案:A
6.(20xx·河南洛陽測試)已知點A,B,C,D均在球O上,AB=BC=,AC=3,若三棱錐D-ABC體積的最大值為,則球O的表面積為( )
A.36π
4、B.16π
C.12π D.π
解析:由題意可得,∠ABC=,△ABC的外接圓半徑r=,當三棱錐的體積取最大值時,VD-ABC=S△ABC·h(h為點D到底面ABC的距離)?=··h?h=3,設(shè)R為球O的半徑,則(3-R)2=R2-r2?R=2.故球O的表面積為4π·22=16π.
答案:B
二、填空題
7.(20xx·北京卷)某四棱柱的三視圖如圖所示,則該四棱柱的體積為________.
解析:通過俯視圖可知該四棱柱的底面為等腰梯形,則四棱柱的底面積S==,通過側(cè)(左)視圖可知四棱柱的高h=1,所以該四棱柱的體積V=Sh=.
答案:
8.(20xx·浙江卷)某幾何體的
5、三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的表面積是________cm2,體積是________cm3.
解析:
將三視圖還原成直觀圖如圖所示,它由2個長方體組合而成,其體積V=2×2×2×4=32 cm3,表面積為6×2×4+6×2×2=72 cm2.
答案:32 72
9.一個圓錐過軸的截面為等邊三角形,它的頂點和底面圓周在球O的球面上,則該圓錐的體積與球O的體積的比值為________.
解析:設(shè)等邊三角形的邊長為2a,
則V圓錐=·πa2·a=πa3;
又R2=a2+(a-R)2,所以R=a,
故V球=·3=a3,
則其體積比為.
答案:
三、解答題
1
6、0.一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位:m)
(1)試畫出它的直觀圖;
(2)求它的表面積和體積.
解:解:(1)直觀圖如圖所示.
(2)由三視圖可知該幾何體是長方體被截去一個三棱柱,且該幾何體的體積是以A1A,A1D1,A1B1為棱的長方體的體積的,
在直角梯形AA1B1B中,作BE⊥A1B1于E,則四邊形AA1EB是正方形,AA1=BE=1,
在Rt△BEB1中,BE=1,EB1=1,
所以BB1=.
所以幾何體的表面積S=S正方形ABCD+S矩形A1B1C1D1+2S梯形AA1B1B+S矩形BB1C1C+S正方形AA1D1D=1+2×1+2××(1+2)
7、×1+1×+1=(7+)(m2).
所以幾何體的體積V=×1×2×1=(m3).
所以該幾何體的表面積為(7+)m2,體積為m3.
11.(20xx·新課標全國卷Ⅲ)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點.
(Ⅰ)證明MN∥平面PAB;
(Ⅱ)求四面體N-BCM的體積.
解:(Ⅰ)由已知得AM=AD=2.
取BP的中點T,連接AT,TN,由N為PC的中點知TN∥BC,TN=BC=2.
又AD∥BC,故TN綊AM,四邊形AMNT為平行四邊形,于是MN∥AT.
因為
8、AT?平面PAB,MN?平面PAB,所以MN∥平面PAB.
(Ⅱ)因為PA⊥平面ABCD,N為PC的中點,所以N到平面ABCD的距離為PA.
取BC的中點E,連接AE,由AB=AC=3得AE⊥BC,AE==.
由AM∥BC得M到BC的距離為,故S△BCM=×4×=2.
所以四面體N-BCM的體積
VN-BCM=×S△BCM×=.
1.(20xx·新課標全國卷Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是( )
A.4π B.
C.6π D.
解析:由題意可得若V最大,則球與直三棱柱的部分
9、面相切,若與三個側(cè)面都相切,可求得球的半徑為2,球的直徑為4,超過直三棱柱的高,所以這個球放不進去,則球可與上下底面相切,此時球的半徑R=,該球的體積最大,Vmax=πR3=×=.
答案:B
2.(20xx·云南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三適應(yīng)性考試)已知三棱錐O-ABC的頂點A,B,C都在半徑為2的球面上,O是球心,∠AOB=120°,當△AOC與△BOC的面積之和最大時,三棱錐O-ABC的體積為( )
A. B.
C. D.
解析:設(shè)球O的半徑為R,
因為S△AOC+S△BOC=R2(sin∠AOC+sin∠BOC),所以當∠AOC=∠BOC=90°時,
S△AOC+S△B
10、OC取得最大值,此時OA⊥OC.
OB⊥OC,OB∩OA=O,
所以O(shè)C⊥平面AOB,
所以VO-ABC=VC-OAB=OC·OA·OBsin∠AOB=R3sin∠AOB=,故選B.
答案:B
3.(20xx·浙江卷)如圖,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,若平面ABC外的點P和線段AC上的點D,滿足PD=DA,PB=BA,則四面體PBCD的體積的最大值是________.
解析:由AB=BC=2,∠ABC=120°,可得AC=2,要求四面體PBCD的體積,關(guān)鍵是尋找底面三角形BCD的面積S△BCD和點P到平面BCD的距離h.易知h≤2.
設(shè)AD=x,則DP=
11、x,DC=2-x,S△DBC=×(2-x)×2×sin30°=,其中x∈(0,2),且h≤x,所以VP-BCD=×S△BCD×h=×h≤·x≤()2=,當且僅當2-x=x,即x=時取等號.故四面體PBCD的體積的最大值是.
答案:
4.(20xx·江蘇卷)現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫,它由上下兩部分組成,上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1,下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍.
(1)若AB=6 m,PO1=2 m,則倉庫的容積是多少?
(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6 m,則當PO1為多少時,倉庫的容積最大?
解
12、:(1)由PO1=2知O1O=4PO1=8.
因為A1B1=AB=6,
所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積V錐=·A1B·PO1=×62×2=24(m3).
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).
所以倉庫的容積V=V錐+V柱=24+288=312(m3).
(2)設(shè)A1B1=a m,PO1=h m,則00,V是單調(diào)遞增函數(shù);
當2