新編人教版高中數學選修11：1.2 充分條件與必要條件 課時提升作業(yè)五 1.2.2 含解析

新編人教版精品教學資料 課時提升作業(yè)(五) 　充要條件的應用 (25分鐘　60分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.設α,β∈-π2,π2,那么“α<β”是“tanα<tanβ”的　(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】選C.在-π2,π2中,函數y=tanx為增函數,所以設α,β∈-π2,π2,那么“α<β”是“tanα<tanβ”的充要條件. 2.(2015·北京高考)設a,b是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的　(　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件　 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】選A.由a·b=|a||b|得cos<a,b>=1,<a,b>=0,所以a與b同向.而a∥b包括同向與反向兩種情況. 3.設a,b是實數,則“a>b”是“a2>b2”的　(　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【解題指南】利用不等式的性質驗證充分性與必要性. 【解析】選D.當ab<0時,由a>b不一定推出a2>b2,反之也不一定成立. 4.(2015·湖北高考)l1,l2表示空間中的兩條直線,若p:l1,l2是異面直線,q:l1,l2不相交,則　(　　) A.p是q的充分條件,但不是q的必要條件 B.p是q的必要條件,但不是q的充分條件 C.p是q的充分必要條件 D.p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件 【解析】選A.若p:l1,l2是異面直線,由異面直線的定義知,l1,l2不相交,所以命題q:l1,l2不相交成立,即p是q的充分條件,反過來,若q:l1,l2不相交,則l1,l2可能平行,也可能異面,所以不能推出l1,l2是異面直線,即p不是q的必要條件. 5.(2015·煙臺高二檢測)已知a,b∈R,ab≠0,則“a>0,b>0”是“a+b2≥ab” 的　(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】選C.當a>0,b>0時由基本不等式可得a+b2≥ab. 當且僅當a=b時取等號. 反之,當a+b2≥ab時,由ab有意義結合a,b≠0,可得a,b同號,即a>0,b>0或a<0,b<0,而當a<0,b<0時a+b2<0與a+b2≥ab矛盾. 故必有a>0,b>0成立, 故“a>0,b>0”是“a+b2≥ab”的充要條件. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.(2015·鄭州高二檢測)等差數列{an}的首項為a,公差為d,其前n項和為Sn,則數列{Sn}為遞增數列的充要條件是　　　　　. 【解題指南】若{Sn}為遞增數列,則Sn+1>Sn(n∈N*),據此轉化求解. 【解析】由Sn+1>Sn(n∈N*)?(n+1)a+n(n+1)2d>na+n(n-1)2d(n∈N*)?dn+a>0(n∈N*)?d≥0且d+a>0.因此數列{Sn}為遞增數列的充要條件是d≥0且d+a>0. 答案:d≥0且d+a>0 7.(2015·三明高二檢測)直線x+y+m=0與圓(x-1)2+(y-1)2=2相切的充要條件是　　　　　. 【解析】直線x+y+m=0與圓(x-1)2+(y-1)2=2相切?圓心(1,1)到直線x+y+m=0的距離等于2 ?|1+1+m|2=2?|m+2|=2?m=-4或0. 答案:m=-4或0 【補償訓練】“x2-2x>0”的充要條件是　　　　　. 【解析】x2-2x>0?x·(x-2)>0?x>2或x<0. 答案:x>2或x<0 8.下列命題: ①“x>2且y>3”是“x+y>5”的充要條件; ②“b2-4ac<0”是“不等式ax2+bx+c<0解集為R”的充要條件; ③“a=2”是“直線ax+2y=0平行于直線x+y=1”的充分不必要條件; ④“xy=1”是“l(fā)gx+lgy=0”的必要而不充分條件. 其中真命題的序號為　　　　　. 【解析】①x>2且y>3時,x+y>5成立,反之不一定,如x=0,y=6,所以“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要條件; ②不等式解集為R的充要條件是a<0且b2-4ac<0.故②為假命題; ③當a=2時,兩直線平行,反之,兩直線平行,a1=21,所以a=2, 因此,“a=2”是“兩直線平行”的充要條件; ④lgx+lgy=lg(xy)=0, 所以xy=1且x>0,y>0. 所以“l(fā)gx+lgy=0”成立,xy=1必成立,反之不然. 因此“xy=1”是“l(fā)gx+lgy=0”的必要而不充分條件. 綜上可知,真命題是④. 答案:④ 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.求方程3x2-10x+k=0有兩個同號且不相等的實根的充要條件. 【解析】方程3x2-10x+k=0有兩個同號且不相等的實根等價于Δ=100-12k>0,x1x2=k3>0,解得0<k<253, 所以方程3x2-10x+k=0有兩個同號且不相等的實根的充要條件0<k<253. 10.(2015·南京師大附中高二檢測)已知數列{an}的前n項和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求證:數列{an}為等比數列的充要條件為q=-1. 【證明】充分性:當q=-1時,a1=S1=p-1; 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),且n=1時也成立. 于是an+1an=pn·(p-1)pn-1·(p-1)=p(p≠0且p≠1),即{an}為等比數列. 必要性:當n=1時,a1=S1=p+q; 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1). 因為p≠0且p≠1,所以當n≥2時,an+1an=pn·(p-1)pn-1·(p-1)=p,可知等比數列{an}的公比為p. 故a2a1=p(p-1)p+q=p,即p-1=p+q,解得q=-1. 綜上可知,q=-1是數列{an}為等比數列的充要條件. 【誤區(qū)警示】本題易弄錯充分性與必要性而導致錯誤. (20分鐘　40分) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.(2014·福建高考)直線l:y=kx+1與圓O:x2+y2=1相交于A,B兩點,則“k=1”是“△OAB的面積為12”的　(　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件 【解題指南】小集合推出大集合. 【解析】選A.直線過定點(0,1)在圓上,不妨設其為A點,而B點也在圓上, S△OAB=12OA·OBsin∠AOB=12sin∠AOB, 因此∠AOB必為直角,所以S△OAB=12的等價條件是k=±1. 2.(2015·西安高二檢測)函數f(x)=a+sinx+3cosx有零點的充要條件 為　(　　) A.a≤2 B.a≥-2 C.-2<a<2 D.-2≤a≤2 【解析】選D.函數f(x)=a+sinx+3cosx有零點?方程a+sinx+3cosx=0有實數根?方程-a=sinx+3cosx有實數根,由于-a=sinx+3cosx=2sin(x+60°), 所以-2≤-a≤2,即-2≤a≤2. 【延伸探究】本題改為函數沒有零點的充要條件為　　　　　. 【解析】函數f(x)=a+sinx+3cosx有零點?方程a+sinx+3cosx=0有實數根?方程-a=sinx+3cosx有實數根. 由于-a=sinx+3cosx=2sin(x+60°), 所以-2≤-a≤2,即-2≤a≤2. 所以函數f(x)=a+sinx+3cosx沒有零點的充要條件為a<-2或a>2. 答案:a<-2或a>2 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.(2015·佛山高二檢測)數列{an}既是等差數列又是等比數列的充要條件為　　　　　. 【解析】依題意,an+1-an=d,且an+1an=q(d,q為常數),對一切正整數n都成立,則qan-an=d,所以an(q-1)=d對一切正整數n都成立,故d=0,q=1,數列{an}為常數列. 由于an=0不是等比數列,所以數列{an}既是等差數列又是等比數列的充要條件是數列{an}是非零常數列. 答案:數列{an}為非零常數列 4.(2015·廣州高二檢測)設函數f(x)=|log2x|,則f(x)在區(qū)間(m-2,2m)內有定義,且不是單調函數的充要條件是　　　　　　. 【解析】由題意知函數f(x)=|log2x| =log2x,x≥1,-log2x,0<x<1, 要使f(x)在區(qū)間(m-2,2m)內有定義且不是單調函數, 則0≤m-2<1<2m,所以2≤m<3. 答案:[2,3) 三、解答題(每小題10分,共20分) 5.(2015·汕頭高二檢測)已知數列{an}的前n項和為Sn=(n+1)2+c,探究{an}是等差數列的充要條件. 【解析】當{an}是等差數列時, 因為Sn=(n+1)2+c, 所以當n≥2時,Sn-1=n2+c, 所以an=Sn-Sn-1=2n+1, 所以an+1-an=2為常數. 又a1=S1=4+c, 所以a2-a1=5-(4+c)=1-c, 因為{an}是等差數列, 所以a2-a1=2,所以1-c=2. 所以c=-1,反之,當c=-1時,Sn=n2+2n, 可得an=2n+1(n≥1,n∈N*)為等差數列, 所以{an}為等差數列的充要條件是c=-1. 6.(2015·煙臺高二檢測)設a,b,c分別是△ABC的三個內角A,B,C所對的邊,證明:“a2=b(b+c)”是“A=2B”的充要條件. 【解題指南】從充分性與必要性兩個方面證明. 【證明】充分性:由a2=b(b+c)=b2+c2-2bccosA可得1+2cosA=cb=sinCsinB. 即sinB+2sinBcosA=sin(A+B). 化簡,得sinB=sin(A-B). 由于sinB>0且在三角形中, 故B=A-B, 即A=2B. 必要性:若A=2B, 則A-B=B,sin(A-B)=sinB, 又sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB. 所以sin(A+B)=sinB(1+2cosA). 因為A,B,C為△ABC的內角, 所以sin(A+B)=sinC, 即sinC=sinB(1+2cosA). 所以sinCsinB=1+2cosA=1+b2+c2-a2bc=b2+c2-a2+bcbc,即cb=b2+c2+bc-a2bc. 化簡得a2=b(b+c). 所以“a2=b(b+c)”是“A=2B”的充要條件. 【補償訓練】已知{an}為等差數列,且a1+a4=10,a1+a3=8,前n項和為Sn.求證:a1,ak,Sk+2成等比數列的充要條件是k=6. 【證明】設數列{an}的公差為d,由題意得2a1+3d=10,2a1+2d=8,解得a1=2,d=2,所以an=2+2(n-1)=2n, 由此得Sn=n(a1+an)2=n(2+2n)2=n(1+n). 充分性:當k=6時,a1=2,ak=a6=12,Sk+2=S6+2=S8=8×9=72, 因為a6a1=122=7212=S8a6,所以a1,a6,S6+2成等比數列,即a1,ak,Sk+2成等比數列. 必要性:由a1,ak,Sk+2成等比數列,得ak2=a1Sk+2,從而(2k)2=2(k+2)(k+3),即k2-5k-6=0,解得k=-1(舍去)或k=6. 綜上可知,k=6是a1,ak,Sk+2成等比數列的充要條件. 關閉Word文檔返回原板塊